1、1多元函数条件极值的解法与应用【摘要】 多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等问题上的应用.【关键词】 极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；应用【Abstract】The multivariate function conditional extreme value is an important part of the differential calculus. This artic
2、le maninly analicys substitution method，Lagrange multiplier method, Substitution of standard quantum method,Inequality method, Quadratic equation discriminent method,Gradient method and Mathematical combination method in solving the multivariate function conditional extreme value. And discuss the ap
3、plications of multiple function conditional extreme value in proving inequality , physics and production sales.【key words】Extremum,Conditional extreme value,Lagrange multiplier method,Gradient method, Application1.引 言多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多
4、学者研究的问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.如文1讨论了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用，文2讨论了柯西不等式在求解一些特殊的多元函数条件极值问题时的应用.本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各种解法进行分析类比，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法，其中最常用的是拉格朗日乘数法，但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用问题.2.简单介绍多元函数极值与条件极值的有
5、关概念2.1 函数的极值定义 2.1.1 设 元函数 在点 的某个邻域内有n(2)312(,)nzfx 0012(,)nx定义,如果对该邻域内任一异于 的点 都有0012(,n 12,)n(或 )，则称函数在点01212(,)(,)nnfxfx 00,)(,fxfx 有极大值(或极小值) .极大值、极小值统称为极值，使函数0, 012n取得极值的点称为极值点.2.2 函数的条件极值定义 2.2.1 函数 在 个约束条件 312(,)nzfx m12(,)0inx下的极值称为条件极值.(1,2;)imn23. 多元函数普通极值存在的条件定理 3.1（必要条件）若 元函数 在点 存在偏n(2)12
6、(,)nzfx 0012(,)nx导数，且在该点取得极值，则有 001,)ixnf ,i备注：使偏导数都为 的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.0定理 3.2 （充分条件）设 元函数 在 附近具有二3 n(2)12(,)nfx 0012(,)nx阶连续偏导数，且 为 的驻点.那么当二次型0012(,x 12,nzf0012,),)ijnxnijijgfx正定时， 为极小值；当 负定时， 为极大值；当0012()nfx (g0012(,)nfx不定时， 不是极值.()g,x记 ，并记0012()ijijxnaf，1213212kkkaaA它称为 的 阶 矩阵.对于二次型 正负定的判断有如下定理：
7、fkHes()g定理 3.3 若 ，则二次型 是正定的，此时3dt0kA1,2)n ()g为极小值；若 ，则二次型 是负定的，此0012(,)nfx (1)det0kA(,k时 为极大值.x特殊地，当 时，有如下推论：推论 3.1 若二元函数 某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，0(,)(,)zfxyy在 点 的且 00(,),(,xyff令 00),(,)xyABCfx则 当 时， .2C,A取 极 大 值取 极 小 值当 时，没有极值.20AB当 时，不能确定，需另行讨论.34介绍多元函数条件极值的若干解法4.1 代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问
8、题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例 4.1.1 求函数 在 条件下的极值.(,)fxyz0xyz解 由 解得，0xyz2将上式代入函数 ，得 (,)fxyzg(,)=2-x+)解方程组 2 0yg得驻点 12P=3（ 0， ） ， （ ， -）， ， 2xgxyygx在点 处，1,ABC，所以 不是极值点22=04C1P从而函数 在相应点 处无极值；(,)fxyz(0,2)在点 处，2P,33ABC，244()C又 ，所以 为极小值点02因而，函数 在相应点 处有极小值(,)fxyz2(,)3极小值为 .8
9、3274.2 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数 在条件函数 组限制下的12(,)nfx 12(,)0,(12,)knxkmn 极值，若 及 有连续的偏导数， 且 Jacobi 矩阵,f 12(,)knx的秩为 ，则122112nmmnxxJx 可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数 12112121(,)(,)(,)mn nknLfxx 4然后，解方程组0,12,ikLnxim 从此方程组中解出驻点的坐标 ，所得驻点是函数极值的可疑0012(,)inPx (1,2)ik点，需进一
10、步判断得出函数的极值.定理 4.2.1（充分条件） 设点 及 个常数0012(,)nx m12,m满足方程组 ，10miikklLfxx(,;,2)l 则当方阵 20,12(,)mkl nx为正定（负定）矩阵时， 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此 为满足约束0 0()fx条件的条件极小（大）值.例 4.2.1 求椭球 在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体221xyzabc积.解 此椭球在点 处的切平面为0(,)Pxyz0 0222()()xzabc化简,得 00221xya此平面在三个坐标轴上的截距分别为：200,abcxyz则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2
11、06aVxyz由题意可知，体积存在最小值，要使 最小，则需 最大；即求目标函数 在条件 下的最大值，(,)fxyz221xyzabc其中 ，拉格朗日函数为0,x522(,)(1)xyzLxyzabc由 解得 ;2220;0;1yxzbLcxyzab,33abcxyzmin 3(,)23cVabc说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.4.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其
12、余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例 4.3.1 设 ,求 的最小值.4xyza22uxyz解 取 为标准量, 3令 ,xy则 ( 为任意实数),az从而有 222)()33au22 22()33aa等号当且仅当 , 即 时成立，0xyz所以 的最小值为 .u23a4.4 不等式法 464.4.1 利用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式为 ，1212nnna这里 ，且等号成立的充分条件是 .0,12kan 2n例 4.4.1.1 已知 ， ，求
13、 的极小值.1xyz(0,)xyz(,)2fxyzyz解 0,()2fxyzyz14()2xA()yzz4(3)xxy2)36当且仅当 时，等号成立.xyz4.4.2 利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数 和 ，总有 12,na 12,nb 212()nabab,当且仅当实数 与 对22211()()nnaabb iiR, 1,2应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值.例 4.4.2.1 已知 ，求 的最值.222()()(4)9xyz(,)2fxyzyz解 首先将 变形为,fz；(,)fxyz2
14、()(1)0yz再设 ，,2()4gx于是，根据柯西不等式及已知条件，有22()(1)4xyz2222()1()(1)(4)81xyz即： 9(149xyz当且仅当 222()()()kxyz时，等号成立；7即当 时， ；1435kxyzmax(,)9gyz当 时， ，103kxyzmin(,)9gxyz所以， ， .max(,)19fin(,)1fz4.5 二次方程判别式符号法例 4.5.1 若 ,试求 的极值.522yz2fxyz解 因为 ,1()xf代入 得22yz()104xf即 (1)225(84)0zxzfz这个关于 的二次方程要有实数解, 必须22(4)0()zfzfz即 95解
15、关于 的二次不等式,得:f22(1)(1)1zfzz显然,求函数 的极值, 相当于求f(2)25()fzz或(3)2(1)1fzz的极值.由(2)得 (4)229450zf这个关于 的二次方程要有实数解,必须8,22163(5)0ff即 9解此关于 的二次不等式,得 .f 3f所以 , .max3in把 代入(4),得f2z再把 , 代入(1),得 ,313x最后把 , , 代入 ,得 .fz(2)yzf23y所以,当 , , 时,函数 达到极大值 3.1x2yzf同理可得,当 , , 时,函数 达到极小值 -3.33也可以从(3)作类似讨论得出 的极大值 3 和极小值-3.f4.6 梯度法
16、6用梯度法求目标函数 在条件函数时12(,)nfx 12(,)0inx组限制下的极值，方程组(1,2,)imn 12 121(,)(,)0,(,)mniinigradfxgradx 的解,就是所求极值问题的可能极值点.其中 表示目标函数 的梯度向量 ，gradf12(,)nfx 12(,)nffxx表示条件函数 的梯度向量i12(,)in 12(,)iiin例 4.6.1 从斜边之长为 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.l解:设两条直角边为 ,本题的实质是求 在条件xy(,)fxyl22xyl下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 2222()()gradlgradylxy9进一步求解
17、得 221,xyl容易解出 lxy根据题意 是唯一的极大值点,也是最大值点.2l所以，当两条直角边都为 时,直角三角形的周长最大.2l4.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例 4.7.1 设 ，求 的最值. 2219xy2xy解法一 数形结合法 7解 设 ,uv则 ， 22319xyv即 2219()()3u表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的 2 倍22)xyv显然最大值为长轴的长 38，最小值为 38解法二 消元法解 设 ， ，cosxrsinyr则 221(2)99sinxyr故当 ，即 时， 达到最小
18、值.sin2113xy238xy当 ，即 时， 达到最大值.i9210解法三 均值不等式法解 （1）若 注意到 0,xy2xy当且仅当 时等号成立因此： ，22221919xyxy当且仅当 时等号成立即 23()故 ，此时28xy193xy（2）若 ，设 ，则问题变为 求 的最值0,u2219xu2xu由于 ，2xu所以2222xuxu因此 222()38xu即最大值为 38（3）若 ，做变换 ，则问题转化为（1）0,y,xuyv（4）若 ，则问题转化为（2）x解法四 拉格朗日乘数法解 设 222(,)(19)Fyxy令 22)0(190xyFx则 2y若 ，则 ，x2319x193y此时 ；28y
