1、1中考中的三角板、直尺、量角器直尺、三角板、量角器是数学学习中的必备工具，学生最熟悉不过了。许多中考命题选取这些学习工具进行考查，既是对熟悉的图形性质的检验，也是关注学生的生活，引导大家从数学角度关注熟悉的图形。现分类总结如下：一、考查求角度1.量角器例 1.（兰州市 2010） 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上点 A、 B 的读数分别为 86、30，则 ACB 的大小为A15 B28 C29 D34 分析： ACB 为圆周角，利用圆周角与圆心角之间关系，圆心角与所对的弧的度数关系。解： ACB= 21AOB= (86 30 )=28故选择 B O2.三角板例 2
2、. (菏泽市 2011)一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则 等于A.30 B.45 C.60 D.75分析： 既可看作三角形的内角也看作三角形的外角。利用内角和定理或外角性 质即可。解： =30 +45=75或 =180 （90 30） （90 45）=75 3. 直尺与量角器结合例 3.（衢州市 2011）如图，直尺一边 AB 与量角器的零刻度线 CD 平行，若量角器的一条刻度线 OF 的读数为 70，OF 与 AB 交于点 E，那么AEF= 分析：由平行线的性质，两直线平行、同位角相等，得出AEF 等于量角器的一条刻度线OF 的读数解：由已知量角器的一条刻度线 OF 的读
3、数为 70，即COF=70，ABCD，AEF=COF=70，故答案为：704. 三角板与直尺结合例 4.（遵义市 2011）把 一块直尺与一块三角板如图放置，若 0451，则 2的度数为A. 015 B. 012 30452C. 0145 D. 0135分析：由平行线的性质，两直线平行、同位角相等，得出 2与3 相等，而利用外角性质可找出3 与1 的关系。解：由直尺的对边平行，可得 2=3而3=1+90=45+90=135所以 =135故选择 D.在求角度的问题中，主要利用直尺的对边平行，即平行线的性质。三角板的各个内角的度数、三角形的内角及外角的性质。量角器可看作一个半圆，利用其中的圆周角、
4、圆心角、圆心角对应弧的度数之间的关系。二、考查求线段方面1.求线段长度(1)量角器例 5.（威海市 2011）如图，将一个量角器与一张 等腰三角形（ ABC）纸片放置成轴对称图形。 ACB=90， CD AB，垂足为 D，半圆（量角器）的圆心与点 D 重合，测得CE=5 ；将量角器沿 DC 方向平移 2 ，半圆（量角器）恰与 ABC 的边 AC， BC 相切，如图。则 AB 的边长为_ 。 （精确到 0.1 ）分析： ABC 是一个等腰直角三角形，故 AB=2CD，只需求出 CD 即可。利用相切和三角函数就可求出。解：设量角器的半径为 r,在图中，则 CF=CE-2=3sinDCB= CFr即
5、： 3= sin45= 2解之得：r= 所以 AB=2DC=2(r+CE)=2( 3+5)= 16224.5(2)三角板例 6.（乐山市 2011）如图，直角三角板 ABC 的斜边 AB=12，A=30，将三角板 ABC绕 C 顺时针旋转 90至三角板 ABC的位置后，再沿 CB 方向向左平移，使点 B落在原三角板 ABC 的斜边 AB 上，则三角板 平移的距离为 ( )A BCED A BCFD图 图3(A) 6 (B) 4 （C） （6 23 ） （D） （ 436）分析：如上图右图，找出 BD 就是所求的距离。在直角三角形 A BD 中，解之即得 。解：过 B 作 BDBC,交 AB 于
6、 D在 Rt ABC 中，AB=12, A=30,得：AC= 36,BC=6A B=AC-C B=AC-BC= 36-6在 Rt ABC 中，A B= 6, A=30得：BD= A B tan30=( 366) =6 23故选择 C例 7.（威海市 2011）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB CF， F= ACB=90， E=45， A=60， AC=10，试求 CD 的长。分析:CD 在BDC 中不好求，过 B 作 FC 垂线段，构造出直 角三角形。求出 EC 与 ED 即可。解：过 B 作 BEFC，垂足为 E在 RtABC 中， A=60， AC=10，可得：B
7、C=ACtan60=10 3=10在 RtEBC 中， BCE=30， BC=10 ，可得：EC=BCcos30=10 3 2=15;BE= BCsin30=5 3又由题意可得：ED=BE=5所以：CD=ECED=155 32.求线段之间的关系ACBDFE4例 8.（威海市 2008）（1）把两个含有 45角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连结 BE， AD， AD 的延长线交 BE 于点 F 求证： AF BE 分析：线段之间的垂直 ，只要说明 BFD=90，利用等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理可得出。解：在 ACD 和 BCE 中， AC BC， DCA ECB90
8、， DC EC， ACD BCE（SAS） DAC EBC ADC BDF， EBC BDF DAC ADC=90 BFD=90 AF BE例 9.（徐州市 2008）28.如图 1，一副直角三角板满足ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q【探究一】在旋转过程中，（1） 如右图，当 C2A时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由.分析：求的是 EP 与 EQ 的数量关系，直接从图形中看不出联
9、系，通过作垂线构造出直角三角形来解。解：作 EMAB 于点 M,ENBC 于点 N 90ABC EM/BC。AMEABC， 31E同理， 2N BCA1E图 1 AFBCEDFC(E)BA(D)QPDEF CBA5FDNMPQECBA若 M、P 重合，显然 21ENMQP若点 M、P 不重合， MEP NEQ90 PEN，RtEMPRtENQ 21E综上， Q对于考查线段方面的题目，多数是关于三角板方面的，这时要充分利用解直角三角形、相似、全等方面的知识来综合解题。三、考查图形面积或判断图形形状例 10. (枣 庄 市 2011)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面
10、积是_cm 2. 分析：阴影部分是一个等腰直角三角形，求出 AC 即可。解：在 RtA BC 中， AB=14，B=30,得：AC= 2AB= 14=7，依题意可知A FC 是等腰直角三角形。所以阴影A FC 的面积= 21ACAC= 49例 11.（盐城市 2011 中考）5将 两 个 形 状 相 同 的 三 角 板 放 置 在 一 张 矩 形 纸 片 上 ， 按 图 示画 线 得 到 四 边 形 ABCD， 则四边形 ABCD 的形状是 分析：根据同一底上两上角相等的梯形是等腰梯形来判定。解：利用矩形对边平行，可知ADBC,B=C=60所以四 边 形 ABCD 等腰梯形对于图形一类的题目，
11、都是关于三角板的。抓住三角板的特点，问题就可迎刃而解。四、考查函数、方程等综合知识例 12.（2011丽水）如图，将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中，B（2，0） ，AOB=60，点 A 在第一象限，过点 A 的双曲线为 在 x 轴上取一点 P，过点 P 作=DCBA例 11 图ACE DBF 3045（图 1）6直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴，线段 OB 经轴对称变换后的像是 OB（1）当点 O与点 A 重合时，点 P 的坐标是 （4，0） ；（2）设 P（t，0） ，当 OB与双曲线有交点时，t 的取值范围是 4t 或25t4 25分析：（1）当点 O与点 A 重
12、合时，即点 O 与点 A 是关于 l 对称点，利用直角三角形30的性质是解答即可；（2）注意到 OB 是固定的，变化的是对称轴，由对称性质可知：OB 的所有关于 l 的对称线段是平行的。从 O与点 A 重合时与函数图象有交点，沿 OA 平移，直至到 B在函数图象上止。只要求出 B在函数图象上时，P 的坐标，即可确定取值范围。同时，注意双曲线有两支。解：（1）当点 O与点 A 重合时,l 交 OA 于 D 点，则 OD= 2OABAO=30，OB=2OA=4， OD=2 在直角三角形 ODP 中，DPO=30，OD=2OP=2OD=4，点 P 的坐标是（4，0） ，故答案为：（4，0） （2）解
13、：连结 B B交 l 于 D, 则 lB B.过 B作 BCOP，垂足为 C。AOB=60，ABO=90，OB=2AB=2 3点 A（2，2 ）点 A 在双曲线为 ，=72 3= 2k可得：k=4所以 xy34设 BC=m， 则 BC=BCtan60= 3m.点 B在双曲线 上。 3m= 24m即： 03，化简得： 042m解之得： ,51512（舍去）B B=2m=2（ -）=在 RtBDP 中，BPD=30BP=2BD=B B=OP=OB+BP=2+ 25=即此时 t=当点 O与点 A 重合时，点 P 的坐标是（4，0）4t2 5 当处于第三象限时，由对称性可得或2 t-4 ，5故答案为：4t2 或2 t45 5在考查函数、方程等综合知识中，重点要依据条件找出函数、方程，三角板此时只是起着直角三角形的作用。总之，在平时，既要熟悉三角板、直尺、量角器的使用方法，更要熟悉这些工具的性质。如直尺的对边平行；量角器可看作半圆，具有圆的性质；三角板具有直角三角形的性质等等。这样在解题时便可抓住性质，综合分析选择合适的方法。
