1、课前回顾,x,y,z,Q,r,o,1、球坐标系,2、球坐标系与直角坐标系互化,z,其中 称为矢径， 相当于经度， 称为余纬度。,课前回顾,3、柱坐标系,4、柱坐标系与直角坐标系互化,其中 称为极径， 为极角， 称为竖直坐标。,课前一练,A,Q(3, , ),P(3, , ),B,=,课前一练,O,课前一练,4.2.1 曲线的极坐标方程的意义,学习目标 1掌握极坐标方程的意义; 2能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程; 3感受与应用极坐标方程的意义;,高中数学选修4-4坐标系与参数方程,1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义； 3、叙述求曲
2、线方程的步骤；,知识回顾,情境：以极点O为圆心, 5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。,互动思考,问题：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？,因此, 以极点为圆心, 5为半径的圆可用方程=5来表示.,在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足曲线方程。,定义：一般地, 若一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (,)0； 反之, 极坐标适合方程 f (,)0的点都在曲线上, 则这个方程称为这条曲线的极坐标方程, 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.,我们知道：在直角坐标平面上,曲线可以用 x、y的二元方程f
3、 (x,y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。,同理:在极坐标平面上, 曲线也可以用关于、的二元方程f (,)0来表示, 这种方程称为曲线的极坐标方程。,互动思考,求曲线的极坐标方程：,类似于曲线直角坐标方程求法的基本步骤，可以得求曲线的极坐标方程基本步骤： （1）建立适当的极坐标系；（建系） （2）在曲线上任取一点 ；（设点） （3）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；（列式） （4）用极坐标 表示上述等式,并化简极坐标方程；（化简） （5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程；（证明）,例1 求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程。,解：如图所示，在所求直线 L上任取一点
4、P(,)， 连结OP,则 OP，POA,在RtPOA中，由于OA/OP=cos，,即 2/cos,所以 cos=2为所求直线的极坐标方程。,求曲线的极坐标方程：,要注意：数形结合！,变式训练1：已知点P的极坐标为(1,)，求过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程。,解：如图所示，在所求直线 L上任取一点A(,)， 连结OP,则 OA，XOA,在RtAPO中，由于OP/OA=cos( -)，,即 1/-cos,所以 cos= -1为所求直线的极坐标方程。,要注意：数形结合！,例2: 求圆心在C(r,0),半径为r的圆的极坐标方程。,解：如图所示，,|OP|OA|cosPOA,故所求圆的极坐标方程为,
5、2rcos,设P（,）为圆上任意一点，由于OPAP,即 2rcos,|OA|=2r，POA则,示例分析,变式训练2：求圆心在C（r,/2), 半径为r的圆的极坐标方程,解：,如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。,设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为（r, /2)。,设圆上任意一点为P（，），连结PA，则,OP，POx,在RtPOA中，由于cosPOA=|OP|/|OA|，,所以,故2rsin为所求圆的极坐标方程。,特别结论,我们知道,在直角坐标系中，x=k (k为常数) 表示一条平行于y轴的直线；y=k (k为常数) 表示一条
6、平行于x轴的直线。,类似可有：在极坐标系中，k (k为常数) 表示圆心在极点、半径为k的圆；,k (k为常数) 表示极角为k的一条直线（过极点）。,例3.根据要求解题： （1）化直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程； （2）化极坐标方程=6cos(-/3) 为直角坐标方程。,解(1)因为则有经检验所求方程为：,示例分析,(2)解:因为=6cos(-/3) 所以经检验所求方程为：,（2）化极坐标方程=6cos(-/3) 为直角坐标方程。,变式训练3：,1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1) cos=4, (2) =5, (3) =2rsin,（1）解：把 代入上式，得它的直角坐标方程x=4,（2）解：两边同时平方，得2=25,把2=x2+y2代入上式，得它的直角坐标方程x2+y2=25,(3)解：两边同时乘以，得2=2rsin, 把2=x2+y2 , sin=y代入上式，得它的直角x2+y2=2ry 即x2+(y-r)2=r2,1. 在极坐标系中,我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置.,2. 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法.,课 堂 小 结,
