1、1,复变函数与积分变换（B）,复变函数(四版),西安交通大学高等数学教研室 编,2013-2014学年第一学期,教材,2,联系方式,闻国光 理学院数学系 电子邮件：,3,2013年9月3日,第一章 复数与复变函数,4,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、 共形映射、傅立叶变换和拉普 拉斯变换等,复数与复变函数、解析函数、,5,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注
2、 意复数域上特有的性质与结果,6,背 景,十六世纪,在解代数方程时引进复数 为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩大到复数域 在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数” 直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念 应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和发展.,7,十九世纪奠定复变函数的理论基础 三位代表人物:A.L.Cauchy （1789-186
3、6) K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数 G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质 通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.,8,1. 复数的概念2. 代数运算3. 共轭复数,1复数及其代数运算,9,一般, 任意两个复数不能比较大小.,1. 复数的概念,判断复数相等,10,定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y
4、1y2)+i(x2y1+x1y2),2. 代数运算,四则运算,11,z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，,12,共轭复数的性质,3.共轭复数,定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),13,14,1. 点的表示2. 向量表示法3. 三角表示法4. 指数表示法,2 复数的表示方法,15,1. 点的表示,数z与点z同义.,16,2. 向量表示法,称向量
5、的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),17,辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，,z=0时，辐角不确定.,18,当z落于一,四象限时，不变.,当z落于第二象限时，加 .,当z落于第三象限时，减 .,19,20,21,22,由向量表示法知,3. 三角表示法,4. 指数表示法,23,24,引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.,例1 用复数方程表示: （1）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线； （2）中
6、心在点(0, -1),半径为2的圆.,解 （1） z=z1+t (z2-z1)（-t +）,25,例2 方程 表示什么图形？,解,26,27,注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.,28,2013年9月4日,29,30,31,32,1. 复数的乘积与商2. 复数的乘幂3.复数的方根,3 复数的乘幂与方根,33,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.,证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2)= r1r
7、2cos (1+2)+isin(1+2)=r1r2e i(1+2),1. 乘积与商,因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,34,几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,定理1可推广到n 个复数的乘积.,35,由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同的, 也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反过来也一样。,注意： Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,36,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,37,定理2 两个复数的商的模等于它们的模
8、的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,证明, Argz=Argz2-Argz1,由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 |z|z1|=|z2| 及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）,38,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein.,2.复数的乘幂,定义,39,问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的复数.,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,40,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.,几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半
9、 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点.,41,42,1. 区域的概念2. 简单曲线（或Jordan曲线)3. 单连通域与多连通域,4 区 域,43,1. 区域的概念,邻域,复平面上以 z 0为中心，任意 0为半径的圆 | z -z 0|(或 0 | z z 0|) 内部的点 的集合称为点 z 0 的（去心）邻域 . 记为(z0 ,) 即，,设G是一平面上点集,44,连通是指,D-区域,45,46,47,2. 简单曲线（或Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t) atb ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， atb,48,49,3. 单连通域与多连通域
10、,简单闭曲线的性质,50,例如 |z|0）是单连通的；0r|z|R是多连通的.,多连通域,单连通域,51,作业,P31 1（）（），（）（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）,52,53,54,55,1. 复变函数的定义2. 映射的概念3. 反函数或逆映射,5 复变函数,1. 复变函数的定义,与实变函数定义相类似,例1,例2,在几何上， w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,2. 映射的概念,复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）.,在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几
11、何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,见图1-11-2,旋转变换(映射),见图2,例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,3. 反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*,例 已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在平面w上的象.,例,2008.10.8 (第三次课),1. 函数的极限2. 运算性质3.函数的连续性,6 复变函数的极限与连续性,1. 函数的极限,几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定
12、的 邻域中,(1) 意义中 的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.,(2) A是复数.,2. 运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,例1,例2,例3,3.函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续.,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数.,有界性：,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念第二节 函数解析的充要条件第三节 初等函数,1. 复变函数的导数定义2. 解析函数的概念,2.1 解析函数的概念,一. 复变函数的
13、导数,(1)导数定义,如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导.,(1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零.,(2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z),例1,(2)求导公式与法则, 常数的导数 c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然数).,证明 对于复平面上任意一点z0，有,-实函数中求导法则的推广, 设函数f (z),g (z) 均可导，则f (z)g (z) =f (z)g(z)，f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z),复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g(z)，其中w=g(z).
14、, 反函数的导数 ，其中: w=f (z) 与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.,例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？,例2,解,解,例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导.,证明,(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为z0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故.,(2) 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举.,(3)可导与连续,若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.,?,2.4 解析函数 1. 解析函数的概念,例如 (1) w=z2
15、 在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4).,定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0时) 均是D内的解析函数.,定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析,h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f g(z)在D内处处解析.,调和函数,在6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析
16、函数,所以解析函数有任意阶导数.本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系.,内 容 简 介,7 解析函数与调和函数的关系,定理,证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则,上面定理说明：,由解析的概念得：,现在研究反过来的问题：,如,定理,公式不用强记！可如下推出：,类似地，,然后两端积分得，,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解 析函数的关系.,例1,解,曲线积分法,故,又解,凑 全 微分 法,又解,偏 积分 法,又解,不定 积分 法,1. 解析函数的充要条件2. 举例,2 函数解析的充要条件,如果复变函数
17、 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析.,本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.,问题 如何判断函数的解析性呢？,一. 解析函数的充要条件,记忆,2008.10.15 第四次课,定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，
18、且满足Cauchy-Riemann方程,上述条件满足时,有,证明 （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）.,函数 w =f (z)点 z可导，即,则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且,u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y) +i(bx+ay+2x+1y),令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib，(z)=1+i2 故（1）式可写为,因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y,所以u(x
19、, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.,（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：,定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,利用该定理可以判断那些函数是不可导的.,使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，ii) 验
20、证C-R条件.,iii) 求导数：,前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.,二. 举例,例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：,解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则,解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny,仅在点z = 0处满足C-R条件，故,解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则,例2 求证函数,证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：,
21、故函数w=f (z)在z0处解析，其导数为,例3,证明,例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，且f (z)0，那么曲线族u(x, y)=C1，v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数.,那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为,解,利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交.,ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=，k2=0（由C-R方程）,即：两族
22、曲线在交点处的切线一条是水平的，另 一条是铅直的, 它们仍互相正交.,练习:,a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2,1. 指数函数2. 三角函数和双曲函数3. 对数函数4. 乘幂与幂函数5. 反三角函数与反双曲函数,3 初等函数,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它们的解析性.,内 容 简 介,一. 指数函数,它与实变指数函数有类似的性质：,定义,这个性质是实变指数函数所没有的.,例1,例2,二. 三角函数和双曲函数,推广到复变数情形,正弦与余弦函数的性质,思考题：,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义(详见P51),双曲正弦
23、和双曲余弦函数的性质,三. 对数函数,(1) 对数的定义,故,特别,2008.10.22 第五次课,(2) 对数函数的性质,见1-6例1,例4,四. 乘幂 与幂函数,乘幂ab,定义,多值,一般为多值,q支,(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的n次根意义一致.,(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂意义一致.,解,例5,幂函数zb,当b = n (正整数),w=z n 在整个复平面上是单值解析函数,除去b为正整数外，多值函数， 当b为无理数或复数时，无穷多值.,作 业,P67 2,8,15,18,第三章 复变函数的积分,1. 有向曲线2. 积分的定义3. 积分存在的条件
24、及其计算法4. 积分性质,1 复变函数积分的概念,1. 有向曲线,2. 积分的定义,定义,3. 积分存在的条件及其计算法,定理,证明,由曲线积分的计算法得,4. 积分性质,由积分定义得：,例1,解,又解,例2,解,=,=,-,=,-,=,-,+,+,0,0,0,2,),(,),(,0,1,0,1,0,n,n,i,z,z,dz,z,z,dz,r,z,z,n,C,n,p,第六次课 10月29日,例3,解,解:,例4,分析1的积分例子:,2 Cauchy-Goursat基本定理,猜想：积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通有关.,先将条件加强些，作初步
25、的探讨,Cauchy 定理,Cauchy-Goursat基本定理：,也称Cauchy定理,(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.,推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意 两点z0, z1B, 积分c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关.,复合闭路定理：,3 基本定理推广复合闭路定理,证明,B,A,A,E,E,F,F,G,H,说明,此式说明一个解析函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 f(z)的不解析点. 闭路变形原理,例,解,练习,解,1. 原函数与不定积分的概念2. 积分计算公式
26、,4 原函数与不定积分,1. 原函数与不定积分的概念,由2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关.,当起点固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作,定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且,上面定理表明 是f (z)的一个 原函数.,设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，,2. 积分计算公式,定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作,定理 设f (z)在单连通区域
27、B内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则,此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强,例1 计算下列积分：,解1),解),例3 计算下列积分：,小结 求积分的方法,第七次课 11月5日,利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.,5 Cauchy积分公式,分析,猜想积分,定理(Cauchy 积分公式),证明,一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上
28、的平均值.,例1,解,例2,解,本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式. 研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点与实变函数有本质区别.,6 解析函数的高阶导数,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明.,定理,证明 用数学归纳法和导数定义.,依次类推，用数学归纳法可得,一个解析函数的导数仍为解析函数.,例1,解,作业,P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5),解析函数与调和函数的关系,在6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节 利用这一重要
29、结论研究解析函数与调和函数之间 的关系.,内 容 简 介,7 解析函数与调和函数的关系,定理,证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则,上面定理说明：,由解析的概念得：,现在研究反过来的问题：,如,定理,公式不用强记！可如下推出：,类似地，,然后两端积分得，,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解 析函数的关系.,例1,解,曲线积分法,故,又解,凑 全 微分 法,又解,偏 积分 法,又解,不定 积分 法,第八次课 11月12日,1. 复数列的极限2. 级数的概念,第 四 章 级 数,1 复数项级数,1. 复数列的极限,定义,
30、又设复常数：,定理1,证明,2. 级数概念,级数的前n项的和,不收敛,例1,解,定理2,证明,由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题.,性质,定理3,证明,?,定义,由定理3的证明过程，及不等式,定理4,解,例2：P108,例3,解,练习(P108,例1)：,1. 幂级数概念2. 收敛定理3. 收敛圆与收敛半径4. 收敛半径的求法5. 幂级数的运算和性质,2 幂级数,1. 幂级数的概念,定义,设复变函数列：,级数的最前面n项的和,若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数,特殊情况，在级数(1)中,2. 收敛定理,同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：,定理1
31、阿贝尔(Able)定理,讨论P142：5,证明,(2)用反证法，,3. 收敛圆与收敛半径,由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：,(i) 若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛.,(ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.,显然， ,否则，级数(3)将在处发散.,将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，逐渐变大， 在c内部都是红色,逐渐变,小，在c外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错.故,播放,(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析.,(ii)幂级数(3)的收敛
32、范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.,4. 收敛半径的求法,定理2 (比值法),证明,定理3 (根值法),定理2 (比值法),第九次课 11月19日,例1：P111,解,综上,例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:,解 (1),p=1,p=2,该级数在收敛圆上是处处收敛的.,综上,该级数发散.,该级数收敛，,故该级数在复平面上是处处收敛的.,5. 幂级数的运算和性质,代数运算,-幂级数的加、减运算,-幂级数的乘法运算,-幂级数的代换(复合)运算,幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用.,例3：P116,解,解,分析
33、运算,定理4,-幂级数的逐项求导运算,-幂级数的逐项积分运算,作业,P103 30(1)(2),31 P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3),1. 泰勒展开定理2. 展开式的唯一性3. 简单初等函数的泰勒展开式,3 泰勒(Taylor)级数,1. 泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示.,定理（泰勒展开定理）,分析：,代入(1)得,-(*)得证！,证明 (不讲),(
34、不讲),证明 (不讲),2. 展开式的唯一性,结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数.,利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？,事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:,由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的.,-直接法,-间接法,代公式,由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和 已知函数的展开式来展开,函数展开成Taylor级数的方法：,3. 简单初等函数的泰勒展开式,例1,解,(P120),上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.,例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:,解,(2)由幂级数逐
35、项求导性质得：,(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z1.,定理,第十次课 11月26日,?,1. 预备知识2. 双边幂级数3. 函数展开成双边幂级数4. 展开式的唯一性,4 罗朗(Laurent)级数,由3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0R 内展开成 z - z0 的幂级数. 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z - z0R2 内解析， 那么，f (z
36、)能否用级数表示呢？,例如，P127,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础.,1. 预备知识,Cauchy 积分公式的推广到复连通域,-见第三章第18题P101,2. 双边幂级数,-含有正负幂项的级数,定义 形如,-双边幂级数,正幂项(包括常数项)部分：,负幂项部分：,级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散.,(2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,3. 函数展开成双边幂级数
37、,定理,证明 由复连通域上的Cauchy积分公式：,式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子：,证毕！,(2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开.,4. 展开式的唯一性,结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数.,事实上，,由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法.在大多数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的La
38、urent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系 数的方法.,例1,解,例2,解,例3,解,例4,P132,解:,没 有 奇 点,注意首项,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式.,小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法：,解 (1) 在(最大的)去心邻域,例5,(2) 在(最大的)去心邻域,练习：,(2)根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数， 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数.,(3) La
39、urent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开求R, 找出收敛域.Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成级数.,计算沿封闭路线积分中的应用P135,作业,P143 12(1)(3),16(2)(3),第五章 留数,第十一次课 12月3日,1. 定义2. 分类3. 性质4. 零点与极点的关系,1 孤立奇点,1. 定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未 必是孤立的.,除此之外，其它奇点 不是孤立
40、的,2. 分类,以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类. 考察：,特点：,没有负幂次项,特点：,只有有限多个负幂次项,特点：,有无穷多个负幂次项,定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，若f (z)的洛朗级数,没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;,只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级（阶）极点;,有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点.,3. 性质,若z0为f (z)的可去奇点,若z0为f (z)的m (m 1) 级极点,例如：,z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点.,若z0为f (z)的
41、本性奇点,4. 零点与极点的关系,定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成,例如：,定理,事实上，,必要性得证！,充分性略！,例如,定理:,证明,“” 若z0为f (z)的m 级极点,例,解 显然，z=i 是(1+z2)的一级零点,综合,1. 留数的定义2. 留数定理3. 留数的计算规则,2 留数(Residue),1. 留数的定义,定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数 c1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res f (z), z0 或 Res f (z0).,由留数定义, Res f (z),
42、 z0= c1 (1),2. 留数定理,定理,证明,由复合闭路定理得：,用2i 除上式两边得:,得证！,求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数.,一般求 Res f (z), z0 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内 展开成洛朗级数求系数 c1 的方法, 但如果能先知道 奇点的类型，对求留数更为有利.,以下就三类孤立奇点进行讨论：,3. 留数的计算规则,规则I,规则II,事实上，由条件,（可以乘比m阶大的因式）,当m=1时，式(5)即为式(4).,规则III,事实上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故 由留数定理得：,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不
43、要死套规则.,如,是f (z)的三级极点.,-该方法较规则II更简单！,(2) 由规则II 的推导过程知，在使用规则II 时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更 简单.,如,第十二次课 12月10日,3.在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分,的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作,f (z)在圆环域 R|z|内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线.,这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域 R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.,定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有
44、有限个孤立奇点, 那末 f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有,所以规则4 成立.,定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.,例 6,作 业,P147 1（1）（4）（7）8（2）（4）（6）（8）9（1）（2）（5）,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数.这就要利用解析延拓的
45、概念.留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分.,3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分.实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：,1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数.,令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而,其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有,其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆
46、 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.,例1 计算 的值.,解 由于0p1, 被积函数的分母在0q 2p内不为零, 因而积分是有意义的.,由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此,在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.,例2 计算 的值.,解：令,例 3,解：,取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,例 4,例 5,解：,第十三次课 12月17日,也可写为,例6 计算 的值.,解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,例4 计算积分 的值.,解 因为 是偶函数, 所以,因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限,下面将证明,由于,所以,j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|2,而,由于,在r充分小时,第六章 共形映射,1. 曲线的切线2. 导数的几何意义3. 共形映射的概念,1 共形映射的概念,1. 曲线的切线,设连续曲线,
