1、2019/4/16,1,二阶常系数齐次线性微分方程的通解,2019/4/16,2,一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,2019/4/16,3,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,2019/4/16,4, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2019/4/16,5,反之：,2019/4/16,6, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,2019/4/16,7,反之：,2019/4/16,8, 有一对共轭复根,重
2、新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,2019/4/16,9,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,2019/4/16,10,例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.,解 该方程的特征方程为 r2 - 2r 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3,其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x,所以方程的通解为,2019/4/16,11,例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.,解
3、 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，,求得,将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，,y = (1 + 2x)e2x.,其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根 r = 2.,2019/4/16,12,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,2019/4/16,13,例 3 求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解.,解 该方程的特征方程为 2r2 + 2r + 3 = 0，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,2019/4/16,
4、14,例 4 求方程 y + 4y = 0 的通解.,解 该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭复根 r1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2.,对应的两个线性无关的解 y1 = cos 2x.,y2 = sin 2x.,所以方程的通解为,2019/4/16,15,2019/4/16,16,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,2019/4/16,17,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,2019/4/16,18,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例4,2019/4/16,19,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),2019/4/16,20,2019/4/16,21,思考题,求微分方程 的通解.,
