1、1,2,3,4,1、抽象化方法如质点、刚体等概念 2、演绎方法（从公理出发，借助数学工具推理出经典力学的全部推论） 如牛顿定律动量定理动量矩定理,5,早在(公元前287212)古希腊阿基米德著的论比重就奠定了静力学基础。意大利的达芬奇(14521519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。波兰的哥白尼(14731543)创立宇宙“日心说”。德国的开普勒(15711630)提出行星运动三定律。,6,意大利的伽利略(15641642)自由落体规律、惯性定律及加速度的概念。英国伟大科学家牛顿(16431727)在1687年版的自然哲学的数学原理一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等。
2、是力学奠基人。,7,Bernoulli (Swiss, 16671748) found the principle of virtual displacements. 瑞士的伯努利(16671748)虚位移原理。Euler (Swiss, 17071783) published the book Mechanics which used differential equations to study mechanics. 瑞士的欧拉(17071783)著作分析力学用微分方程研究。.,8,DAlembert (French, 17171785) evolved dAlemberts princi
3、ple 法国达朗伯(17171785)名著动力学专论达朗伯原理。Lagrange (French, 17361813) brought forward the lagrange equations of the second kind. 法国拉格朗日(17361813)提出第二类拉格朗日方程。,9,五、理论力学的适用范围 1.物体运动的速度远少于光速 2.宏观物体（天体-原子） 作用量=能量x时间h=6.602X10(-34)（JS）,10,参考书,郭士堃：理论力学上、下册 H.戈德斯坦（美）：经典力学 费恩曼 （Feynman)：物理学讲义.第一卷） 汪家訸：分析力学 理论力学习题集,11,
4、第1章 质点力学,12,1.1 运动的描述方法 1.2 速度、加速度的分量表示式 1.4 质点运动定律 1.5 质点运动微分方程 1.7 功与能 1.9 有心力,本章主要学习内容,13,具有一定质量的几何点。,可以在空间自由移动的质点。确定它在空间的位置需要三个独立变量。,第1章 质点力学,1.1 运动的描述方法,一、参照系与坐标系,质点,自由质点,参照系,坐标系,为描述物体的运动而选取的参考物体。,用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。,计算系统=坐标系+时间,14,二、运动方程与轨道,第1章 质点力学,1.1 运动的描述方法,运动方程：物体的运动位置随时间的变化关系,具体一般选择直角坐标
5、系、极坐标系 和自然坐标系来描述具体问题,15,第1章 质点力学,1.1 运动的描述方法,从运动方程中消去时间 t，就得到轨迹方程f(x,y,z)=0。,自然坐标系,16,设质点作曲线运动t时刻位于A点，位矢 ，t+t时刻位于B点，位矢 。,三、位移、速度和加速度,第1章 质点力学,1.1 运动的描述方法,(Displacement, velocity and acceleration),位移 (displacement)：,17,第1章 质点力学,1.1 运动的描述方法,速度是位矢随时间的变化率。,速度的大小：,18,加速度是指速度随时间变化率。,第1章 质点力学,1.1 运动的描述方法,加
6、速度的大小和方向？,极限定义法,19,由 求导可得：,速度表示：,速率的表示：,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,一、直角坐标系,20,加速度表示：,加速率表示：,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,21,第1章 质点力学,1.1 运动的描述方法,22,第1章 质点力学,1.1 运动的描述方法,23,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,二、极坐标系,24,于是得到,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,25,速度的变化为速度大小的变化及方向方向的变化二者产生效果的叠加！,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,26,推
7、广到柱坐标:,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,27,例 小船M被水冲走后，用一绳将它拉回岸边A点。假定水流速度C1沿河岸不变，而拉绳子的速度为C2。如果小船可以看作一个质点，求小船的轨迹。,第1章 质点力学,28,第1章 质点力学,29,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,例 已知一质点的运动方程为 ，其中b、c为常数。求其速度、加速度。,30,把轨道的切线和法线作为坐标系，称为自然坐标系。 (Natural Coordinate System ),第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,三、自然坐标中的速度和加速度,（曲线弧长s为坐标变量）,3
8、1,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,速度大小：,速度方向为曲线的切线方向，是S 增加的方向,32,加速度：,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,33,（ 为曲率半径）,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,因为ds0,所以要求d0,弧坐标具有以下要素：,1、有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点) 2、一般以点的运动方向作为正向 3、有相应的坐标系(自然轴系),34,密切面,曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做该点的密切面。,在密切面内， 与 同向，故 在密切面内，所以 在密切面内。,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表
9、示式,在密切面内并和切线垂直的 过切点的法向矢量叫主法线， 单位矢量为 或 。,Osculation plane,35,定义: 垂直于密切面, 称为副发线方向单位矢， ( , , )构成空间正交自然坐标系。,其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关（内禀方程）。,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,36,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,例 一质点沿螺线运动， ， 求 。,37,例 求平抛物体任一时刻t的轨道曲率半径。,解：如图,平抛物体的运动方程为：,则，速率,切向加速度,加速度大小,由法向加速度,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,3
10、8,第1章 质点力学,1.2 速度、加速度的分量表示式,例 质点由曲线 的正焦弦（ ） 的一端以 出发，求到达正焦弦的另一端时的速率。已知 。,39,第一定律 任何作为质点的物体没有受到其他物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动状态。,第二定律 当质点受到外力作用，该质点所获 得的加速度与外力成正比，与其质量成反比，加速度 方向与外力方向一致。,第1章 质点力学,1.4 质点运动定律,一、牛顿运动定律,第三定律 当物体A对物体B有一作用力F1 的同时，物体B对物体A有一个反作用力F2，作用力与反作用力等值反向，且在同一直线上。,40,1、质点的概念 有质量的几何点。（线度可以忽略不计的物体，或
11、作平动的物体）,第一定律的说明：,牛顿第二定律的说明：,1、定量地表述了力、加速度和质量三者之间的关系,第1章 质点力学,1.4 质点运动定律,2、惯性的概念： 物体保持其运动状态不变的性质。,3、惯性参照系的概念：是指惯性定律在其中成立的参照系 。,4、力的概念： 是物体间的相互作用。,41,第1章 质点力学,1.4 质点运动定律,2、惯性质量的定义：,引力质量与惯性质量的关系,牛顿第三定律的说明,1、定律在任何参照系中均成立。当它只适用于机械相互作用,2、利用此定律可将第二定律推广到质点组系统。,42,1、表述： 对于一个相对于惯性系作匀速直线运动的系统，其内部所发生的一切力学过程都不受系
12、统作为整体的匀速直线运动的影响。,二、伽利略相对性原理,惯性参照系：,牛顿定律成立的参照系。否则称非惯性参照系。,伽利略相对性原理,第1章 质点力学,1.4 质点运动定律,如：太阳-恒星,43,伽利略相对性原理的重要性在于:,（1）该原理指明了所有惯性系彼此等价，惯性系没有优劣之分。,（2）该原理为不同时间、不同地点做重复性实验探讨物理规律提供了理论根据。,（3）该原理可以使研究不同惯性系中的物体运动规律得以简化。,例如：设S 系相对S系作惯性运动，已知S系中质点动能为 ，由于该原理，立即可以得到S系中质点的动能为 。,44,2、伽利略变换,那么，加速度对伽利略变换是不变的：,从而牛顿定律,对
13、伽利略变换是不变的,指形式不变：,第1章 质点力学,1.4 质点运动定律,45,1、在牛顿第二定律中力一般是位矢、速度及时间的函数。即:,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,一、运动微分方程的建立,2、运动微分方程：牛顿第二定律在具体问题中的数学表达式常称为运动微分方程，也称为动力学方程。形式上可写为：,46,限制质点某方面运动的曲线或曲面称为约束，这些曲线或曲面的方程称为约束方程或约束条件。,3、约束及约束方程,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,在非自由质点的运动（约束运动）问题中，一般将约束去掉，代以约束反作用力。这样，质点就成了自由质点。,47,第1章 质点力学,1.5
14、 质点运动微分方程,约束反作用力的特点：一般是未知的；不完全决定于约束本身（可能与质点运动状态及质点受到的其他力有关；约束反作用力不能单独改变质点的运动）。,约束反作用力常称为“被动力”或“约束力”，不是约束的力则称为“主动力”。,48,二、运动微分方程的分量式,直角坐标系下：,初始条件：,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,49,平面极坐标系下：,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,自然坐标系下,对于光滑约束，,50,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,选择坐标系的基本原则：,51,二、运动微分方程的求解,已知运动求力,已知力求运动,第1章 质点力学,1.5 质点运动
15、微分方程,1、力仅是时间的函数， 。,52,例1：研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动,解：设电子速度较光速很小，沿x轴的电场强度,角频率,初（位）相,e、E0、为常数。,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,53,电子运动的微分方程,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,54,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,55,讨论,该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似。,1) 为振荡项，电子在电场的作用下的受迫振动，产生电磁波，对电磁波的传播有贡献;,2) 其余部分描述电子的匀速直线运动, 对电磁波的传播没有贡献，仅给出电子的细致运动;,第1章 质点力学,1.5
16、质点运动微分方程,56,3) 可以证明(在高频下)电离层中:,n为电子密度，e为电极化率。,相速：,因此，任何入射到电离层的电磁波都可以反射回到地面；当1时e0，即，微波可以通过电离层。,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,57,2. 力仅是速度的函数F=F(v)-抛射体在空中的运动,1.5 质点运动微分方程,第1章 质点力学,58,当R=Kvn 时，,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,59,例如：阻力R=bv，建立坐标系如图，,运动微分方程:,投影方程:,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,60,再积分：,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,同理可得：,61
17、,(3)和(4)消去t得轨道方程:,若阻力较小(b很小)或x很小:,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,62,由此可见：,(1) 若阻力较小(b很小)或x很小, 可以忽略x3以上的项，与真空中弹道一致。,(2)当mvx0-bx0, y 无穷, 说明轨道在x=mvx0/b处变成竖直直线。,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,63,3. 力仅是坐标的函数F=F(x), 振动问题,1)一维谐振动：,2)三维谐振动：,4.力是位置、速度和时间的函数（如阻尼受迫振动）:,(例子自学),第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,64,归纳步骤：,1. 准确理解题意；,2. 分析并作受力情
18、况草图；,3. 选取坐标系并规定质点的坐标；,4. 标出已知及未知力、加速度；,5. 写出质点运动微分方程；,6. 解微分方程；,7. 讨论，分析解的物理意义。,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,65,若,积分后并求得其解:,例、质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速度地自离地面 为h的地方竖直下落，若阻力与速度成正比，求其运动。,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,若选择的坐标原点在离地面h处，方向向下，运动微分方程又如何？,66,例 质量为m的小球以初速竖直上抛，空气的阻力为R = kmv2。 求：（1）上升的最大高度H；（2）返回到地面时小球的速度vm。,解：取地面为原
19、点，坐标轴oy竖直向上。,（1）上升时：,运动微分方程,由,得：,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,67,得,积分,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,68,（2）下降时：,运动微分方程：,积分：,得,将（1）中的H代入得,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,69,2) 带电粒子在正交电磁场中的运动,假定,t=0时，,粒子运动微分方程为:,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,70,粒子运动分量微分方程为:,由(1)和(2),由（1）,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,71,因此,积分得,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,72,讨论,(1)该
20、情况为vc，B、E为恒矢；,(2)粒子始终在xoy平面运动,其轨道, V=0的情况为:,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,圆滚线,73,v0时, 连滚带滑:,圆心速度：,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,74,例 质点m沿x2=4ay（光滑）自x=2a滑至x=0处，求v及其约束反力。,解: 画草图，受力分析， R、mg,第1章 质点力学,1.5 质点运动微分方程,代入（1）式得,75,例:质量为m和2m的两个质点,为一不可伸长的轻绳连接,绳挂在光滑的滑轮上. 在m的下端又用固有长度为a、倔强系数k=mg/a的弹性绳挂上质量为m的另一质点，在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性
21、绳拉紧，而有弹性的绳处于固有长度上。由此静止状态释放后，求证这一运动是简谐的。,解：各质点受力如图，ox1，ox2为惯性系， ox3为非惯性系,第1章 质点力学,1.6 非惯性动力学（一）,76,运动微分方程：,将后两式代入前三式相关项，可得,第1章 质点力学,1.6 非惯性动力学（一）,77,从（1）中解出 ,代入（2）、（3）得,故，,令,第1章 质点力学,1.6 非惯性动力学（一）,78,第1章 质点力学,1.6 非惯性动力学（一）,79,例: 一小环套在光滑大圈上，大圈以加速度a竖直向上作匀加速直线运动。求小环的相对运动速度和大圈对小环的约束反力。,解: 选圈为非惯性系，在其上建立自然
22、坐标系:,第1章 质点力学,80,第1章 质点力学,1.6 非惯性动力学（一）,81,第1章 质点力学,1.7 功与能,一、功和功率,1. 质点在恒力作用下沿曲线运动,力的累积效应有两类：,力的空间累积效应：功（力位移） 力的时间累积效应：冲量（力时间）,其中，r 是力的作用点的位移,82,2. 质点受变力沿曲线运动,功是标量，其值与坐标选取无关。,选直角坐标系较方便。在直角坐标系下：,第1章 质点力学,1.7 功与能,83,3. 若质点受几个力F1 ，F2，Fn作用, 合力,即：合力之功等于分力功之代数和。,4. 功率,描述做功快慢的量。,第1章 质点力学,1.7 功与能,84,说明：,当物
23、体不是质点时，力对物体所做的元功应看成是力与力的作用点的元位移的标积。（如轮子在粗糙水平面上做纯滚动） 当力的作用点不断地发生变迁时，且又没有元位移，则此力对物体不做功（如静摩擦力）。 对不同的惯性系，作用点的位移可能不同，因此力所做的功也不相同。,85,二、保守力、非保守力与耗散力,1. 力场,一般情况下，,若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F (r)，力是位置的单值、有界、可微函数，则该区域称为力场，F为场力。,如：万有引力场、静电场，若含有时间称为非稳定场。,第1章 质点力学,1.7 功与能,86,2. 保守力场,积分一般与路径有关. 若,若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单
24、值地由始末位置确定（与轨道形状无关）该力场为保守力场。质点受到的场力为保守力。,否则场力做功与路径有关，这种力为非保守力，力场为非保守力场。,如：摩擦力与路径有关耗散能量耗散力,第1章 质点力学,1.7 功与能,87,万有引力,静电力,弹性力,磁场力,摩擦力,粘滞力,空气阻力,第1章 质点力学,1.7 功与能,88,3. 保守力的判据,(a). F(x,y,z)为保守力的充要条件是:,即:,证: （一）必要性,因为 与路径无关只与始末位置有关，,必存在一可微函数V使得,第1章 质点力学,1.7 功与能,89,因此，,同理，,第1章 质点力学,1.7 功与能,90,（二）充分性,由Stokes定
25、理,即：积分与路径无关。,第1章 质点力学,1.7 功与能,(b). 从保守力的定义出发，寻求dU全微分； (c). 沿任何闭合曲线运动，力所做的功为零。,91,三、势能,函数V(x,y,z)称为质点在点P (x,y,z)的势能。,势能的物理意义：,保守力作的功等于势能的减少量。,第1章 质点力学,1.7 功与能,92,解：先验证力是否为保守力,第1章 质点力学,1.7 功与能,93,第1章 质点力学,1.7 功与能,94,第1章 质点力学,1.9 有心力,一、有心力的基本性质,1. 有心力,运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。凡力趋向力心的是引力，离开定点的是斥力
26、,有心力的量值一般为r的函数，,为斥力,为引力,95,a).对力心的力矩,2.基本性质,质点必在垂直于J的平面运动。,第1章 质点力学,1.9 有心力,b).对力心的动量矩,c).一般情况下，有心力只是位置的函数,所以F为保守力。,96,也可以从 判断有心力为保守力,第1章 质点力学,1.9 有心力,d).机械能守恒,97,1) 直角坐标系下,以力心为原点, 质点的运动平面为xy平面，则质点的运动微分方程为,第1章 质点力学,1.9 有心力,可见，在直角坐标系下解有心力的问题并不简便。,3. 运动微分方程,98,2) 平面极坐标系下,物理意义:动量矩守恒,第1章 质点力学,1.9 有心力,(径
27、向动量分量对力心的矩为零),99,3).基本定理,100,消去其中的,第1章 质点力学,1.9 有心力,101,解决有心力问题的两个基本方程组（出发点）:,第1章 质点力学,1.9 有心力,102,二、轨道微分方程比耐公式,( 目的: 从运动方程中消去t ),原则上可消去t得轨道，r = r(t)， = (t) ，但也可直接求r = r( )。,由,令,则,第1章 质点力学,1.9 有心力,103,代入,第1章 质点力学,1.9 有心力,104,说明,(1).F(u)o 时，斥力； F(u)0 时，为引力 (与 反方向 ),第1章 质点力学,1.9 有心力,(2).由比耐公式可求解,(a) 求
28、轨道方程： (b) 求有心力：,(3).从机械能守恒方程给出轨道微分方程：,参考：大学物理1990年，NO.4,105,三、平方反比引力行星运动,研究太阳（M）与行星（m）运动中行星的轨道方程。,1. 用比耐公式求解,代入 比耐公式:,第1章 质点力学,1.9 有心力,106,得,(二阶常系数非齐次方程， ）,令:,半正焦弦,偏心率,第1章 质点力学,1.9 有心力,107,可见，平方反比引力下行星的的运动是以太阳为焦点的圆锥曲线。此轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。,第1章 质点力学,1.9 有心力,108,讨论, e 1，椭圆。,近日点:,远日点:,消去c, 得:,第1章 质点
29、力学,1.9 有心力,109, e =1，抛物线。,第1章 质点力学,1.9 有心力,110, e 1，双曲线。,第1章 质点力学,1.9 有心力,111, 斥力情况:,为双曲线右边的一支！,第1章 质点力学,1.9 有心力,112,2. 运用第二组方程求解,（取无穷远处势能为零）,第1章 质点力学,1.9 有心力,113,代入得：,114,可解得:,（束缚态），椭圆,抛物线,双曲线,第1章 质点力学,1.9 有心力,可见，能量E为轨道类别的判据。,115,第1章 质点力学,1.9 有心力,四、开普勒定律,1.开普勒三大定律,第一定律（轨道定律1609）:行星绕太阳作椭圆运动, 太阳位于椭圆得
30、一个焦点上。 说明行星轨道方程:,e1，太阳位于椭圆的焦点上。,116,第二定律（面积定律，1609）:行星与太阳的连线，相同时间内扫过的面积相等。即,第三定律（周期定律，1619）：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。,牛顿万有引力发表于1687年。从三定律可推导万有引力定律。,第1章 质点力学,1.9 有心力,117,2. 从开普勒定律到万有引力定律,( 历史的发展途径如此 ),据第二定律有：,是常数, 即动量矩守恒, 行星所受的力对太阳的力矩为零, 因行星具有加速度, 所以受力不为零, 故行星所受力必定是有心力, 太阳是力心。,第1章 质点力学,1.9 有心力,118,据第一定
31、律，由,代入比耐公式，得,表明行星所受的力是引力，且与距离平方成反比。,第三定律可以给出行星的公转周期并确定 p 的大小。,第1章 质点力学,1.9 有心力,119,（当矢径扫过一周, A =ab）,代入第三定律:,第1章 质点力学,1.9 有心力,120,由此看出:,第1章 质点力学,1.9 有心力,121,2)行星周期与轨道半长轴的具体关系为:,开文迪许1798年测量了G的值，于是建立了万有引力定律。,注意,1)Kepler定律是近似的，忽略了太阳的运动。,第1章 质点力学,1.9 有心力,122,第1章 质点力学,1.9 有心力,五、宇宙速度与宇宙航行,宇宙速度（火箭发射速度）:,引力势
32、能：,由有心力基本运动方程：,用于平方反比引力时，可改写为,123,如果轨道为椭圆，则在近日点有初始条件,第1章 质点力学,1.9 有心力,124,如果轨道为抛物线，则在近日点有初始条件,第1章 质点力学,1.9 有心力,125,如果轨道为双曲线，则在近日点有初始条件,第1章 质点力学,1.9 有心力,126,第一宇宙速度（地球上发射人造地球卫星的最低速度， 绕地球作椭圆运动）:,第1章 质点力学,1.9 有心力,127,第二宇宙速度（脱离地球引力而成为太阳系的行星）,（抛物线轨道）,第1章 质点力学,1.9 有心力,128,第三宇宙速度（脱离太阳系需要的最低发射速度）,绕太阳运动是脱离太阳引
33、力的速度:,第1章 质点力学,1.9 有心力,129,相对于地球的发射速度,考虑地球引力因素:,考虑其它行星引力作用:,天体力学,第1章 质点力学,1.9 有心力,130,1. 讨论产生圆形轨道运动的条件：,由比耐公式,如果初速度垂直于位矢且满足（u与无关）,第1章 质点力学,1.9 有心力,六、圆形轨道的稳定性,131,2.讨论稳定性：,令 及 为某一具体圆形轨道的 和 之值，,显然有,第1章 质点力学,1.9 有心力,或写成,132,为了研究扰动，可以假设有一微扰，即令,将右边后两个因子各展成 的幂级数,（1.9.39）,第1章 质点力学,1.9 有心力,133,所以前式右边近似有,式中,
34、如果取一阶微量，则（1.9.39）式变为,第1章 质点力学,1.9 有心力,134,式中,为另一常数，其值对问题的性质无关。,（1.9.41）式的解分别为,（1.9.41）,第1章 质点力学,1.9 有心力,135,那么,上述两式相除，得,第1章 质点力学,1.9 有心力,（1.9.45）,136,即有,故在吸引力（1.9.45）的作用下作圆形轨道运动时，只有,才是稳定的。,第1章 质点力学,1.9 有心力,137,七、粒子散射,粒子：两个质子两个中子，氦核，2e电荷,r：粒子与核间距，：散射角，：瞄准距离,返回,138,与Ze间是斥力,轨道是双曲线的一支,见图,实验结果：,找出与的关系,由比耐公式：,139,由初始条件可确定A、B，,把,代入上式，得,角动量守恒，得与的关系：,最后：,140,与实验结果比较,定义：n 入射粒子束单位时间内通过垂直于粒子束的单位截面积的粒子数。dN 单位时间内在d内散射的粒子数,散射截面,141,卢瑟福公式,1911年，由卢瑟福首先导出，1913年由盖革马士登实验验证，与量子力学推出的结果一致。,
