1、1,虚位移原理,教案,2,内 容 提 要,14-2.虚位移原理,14-3. 虚位移原理的应用,(1)求解复杂系统的平衡问题.,(2)求约束反力,3,14-2. 虚位移原理,设具有双面,定常,理想约束的质点系,原处于 静止状态,则其在给定位置上保持平衡的必要 与充分条件是:所有主动力在质点系的任何虚 位移中的元功之和等于零.,4,原理证明：必要性 充分性,（1）必要性 若质点系处于平衡位置，则表达式成立,（2）充分性,成立,则质点系必处于平衡位置，采用反证法,5,14-3.虚位移原理的应用,(1)求解复杂系统的平衡问题.,1)选取适当的广义坐标.,2)利用几何法或解析法求各虚位移之间的关系.,3
2、)计算各主动力的虚功.,4)利用虚位移原理求解约束反力.,6,例题14-2-1. 套筒分别置于光滑水平面上互相垂直的滑道中,受力分别为P和Q ,如图所示.长为 l 的连杆和水平方向夹角为 ,摩擦均不计.求系统的平衡条件.,7,解:(1)画虚位移图.,I为AB杆的瞬心.,I,rA,rB,由虚位移原理得:,W(P)=PrA= - Pl cos,W(Q)= QrB =Ql sin,Ql sin - Pl cos = 0,tg = P/Q,8,(2)利用解析法求解.,yA=l sin yA= l cos,xB=l cos xB= -l sin,由虚位移原理得:,(-P )(l cos )+(-Q )(
3、- l sin)=0,- Pl cos + Ql sin = 0,tg = P/Q,P = -P j,Q = - Q i,9,例题14-2-2. 多跨梁由AC和CE用铰C连接而成.荷载分布如图示.P=50KN,均布荷载q=4KN/m,力偶矩m=36KN.m ;求支座A.B和E的约束反力.,10,解: 解除支座A的约束,代之约束反力RA,画虚位移图如下. 其中Q1=24KN, Q2=24KN.,1,2,rA,rC,B是AC杆的瞬心.,E是CE杆的瞬心.,利用虚位移图得:,rC = (BC)1 = (CE)2,1 = 22,B,E,11,W(RA) =6 RA1,W(P) = -1501,6RA1
4、-1501+721+2162 - 362 = 0,RA = -2KN,W(Q1) =721,W(Q2) = 2162,W(m) = - 362,由虚位移原理得:,利用虚位移图计算虚功,12,解除支座B的约束,代之约束反力RB ,画虚位移图.,E是CE杆的瞬心.,利用虚位移图得:,rC = (AC)1 = (CE)2,1 = 2 = ,rC,1,2,RB,E,13,W(P) =1501,由虚位移原理得:,RB = 91KN,W(RB) = - 6RB1,W(Q1) = 2161,W(Q2) = 2162,W(m) = - 362,-6RB1+1501+2161+2162 -362 = 0,利用虚
5、位移图计算虚功,14,解除支座E的约束,代之约束反力RE画虚位移图.,rE,利用虚位移图计算虚功,W(RE) = 12RE,W(m) = -36,W(Q2) = -72,由虚位移原理得:,12RE - 72 - 36 = 0,RE = 9KN,RE,15,(2)求约束反力,2)利用几何法或解析法求各虚位移之间的关系.,3)计算各主动力的虚功.,4)利用虚位移原理求解约束反力.,1)解除一个约束代之约束反力并选取适当的广义坐标.,16,例题14-2-3.求图示三铰拱支座B的约束反力.,17,解: 解除支座B的水平约束代之约束反力XB .,画虚位移图.,I为BC杆的瞬心.,XB,I,1,2,2,r
6、C,rB,利用虚位移图计算 各虚位移间的关系.,rC = AC1= IC2,1 = 2,18,利用虚位移图计算虚功.,W(XB) =2aXB2,W(P) = aP 2,W(m) = -m 1,由虚位移原理得:,-m 1+2aXB2 + aP2 = 0,19,解除支座B竖直 约束代之约束反力YB .,YB,1,rC,A,rB,2,2,画虚位移图.,A为BC杆的瞬心.,rC = AC1= AC2,1 = 2,20,利用虚位移图计算虚功.,W(YB) =-2aYB2,W(P) = aP 2,由虚位移原理得:,-m 1-2aYB2 + aP2 = 0,W(m) = -m 1,21,例题14-2-4.刚
7、架受荷载如图示.P1=10kN,q=5kN/m, P2=50kN,M=200kN.m,求固定端支座A的约束力.,22,I,1,rB,rC,2,2,I为BC部分的瞬心.,解:解除A端的转动约束代之约束力 偶矩MA.画虚位移图.,rC = (AC)1 = (IC)2,= 0.51,MA,23,利用虚位移图计算虚功.,W(MA) = MA1,W(P1) = - 301,W(Q) = -1202= -601,W(P2) = - 1002 = - 501,W(M) = 2002= 1001,由虚位移原理得:,MA1 - 301 - 601 - 501+1001= 0,MA = 70KNm,24,解除A端
8、的水平约束代之约束反力XA 画虚位移图.,XA,r,r,r,r,AC杆和BC杆均平动.,25,利用虚位移图计算虚功.,由虚位移原理得:,W(P1) = 10r,W(XA) = XAr,10r + XAr = 0,XA= -10KN,W(q) =W(P2) =W(M) = 0,26,解除A端的竖直约束代之约束反力YA画虚位移图.,AC杆平动.,I为BC部分的瞬心.,I,rC,rB,YA,rA,27,利用虚位移图 计算虚功.,YA = 2.5KN,由虚位移原理得:,-120 -100 +200 +8YA = 0,W(YA) = YArA= 8YA,W(M) =200,W(P2) = -100,W(Q) = -120,W(P1) = 0,28,例题14-2-5. 组合构架如图所示.已知P=10KN,不计构件自重,求1杆的内力.,29,解:截断1杆代之内力S1和S1且S1= S1 =S.画虚位移图.,rC,1,2,B为BC的瞬心.,利用虚位移图得:,rC = (AC)1 = (BC)2,1 = 2 = ,B,S1,S1,30,利用虚位移图求虚功,W(S1) = - 2 S12,W(S1) = - 2S11,W(P) = 202,S = 5KN,由虚位移原理得:,- 2S11 - 2 S12+20 2 = 0,31,
