1、数学的价值,张恭庆 北京大学 2014年11月,数学的发展,十九世纪以前的数学“基本上”研究现实世界的数量关系与空间形式。此时，数学中出现了一些超越现实世界的抽象对象：虚数、群、四元数、非欧几何、高维空间等， 同时也为数学建立了严密的基础，得以 在更抽象、更深层次上理解已有的结果。但大多数的数学家关心的还是现实世界中的数学问题。,P. 2,数学结构,然而实际问题中出现的问题往往太复杂。 例 如描写 自然现象的大量微分方程无法求解（解析解或数值解）。相反，人类悟性的创造物的引入发挥了意想不到的作用（如代数基本定理、三等分角问题的解决等）。数学的研究对象开始逐渐由“人类直接经验中的对象”向“人类悟
2、性的创造物”转化。,数学结构,公理化方法Hilbert ：“几何学基础”，(关联、次序、全合、平行、连续等五类公理， 公理的相容性与相互独立性) Noether：抽象代数学.优点： 条理清晰、把有内在联系的概念、理论、方法整合起来。 把已有的理论提高到一个新的高度。在集合论的基础上，抽象元素之间的“关系”和“运算法则”构成的“数学结构”。,数学结构,这些抽象元素不一定是“数”或“形”。 数学研究的对象不必属于“现实的客观世界”而是“一切合理的世界。”数学开始分为“纯粹数学”与“应用数学”。悟性的自由创造使数学取得了前所未有的辉煌成就。 Riemann流形 、 拓扑结构、 Hilbert 空间
3、、群、域、算子、 谱、解析函数、抽象测度与概率论、三角级数等等。,数学建模,处理实际问题的需要。 到了20世纪后半叶， 由于快速电脑的出现使复杂、大量的计算 成为可能。什么是数学建模？ 用数学的语言和方法， 通过抽象、近似、 简化把错综复杂的实际问题转化为合理的数学结构。 根据物理规律：列方程解方程， 就是数学建模。 但可以通过解析表达式或定性地把解研究清楚的例子很少， -寻求数值解。 通过数据用统计方法寻找数量之间的关系 抓出主要因素之间的数量关系， 略去次要因素， 用数学方法转化、处理， 电脑速度-容量。 也是数学建模,数学建模,数值模拟与科学实验 相辅相成， 成为重要的科技手段。 航天航
4、空、 水坝桥梁、交通管理、灾害评估、。 社会心理、动物行为、生态环境、。 群鸟飞翔 有没有“头鸟”？ 建模原则： 1. 吸引到栖息地愈近，吸引力愈大， 2. 鸟与鸟之间有吸引力， 太靠近时，变为排斥力， 3. 希望保持固定速度飞翔， 4. 受随机因素干扰。 计算机模拟结论与实际鸟飞路径非常相似： 没有理由认为 鸟群飞行一定有“首领”。,数学建模,利用数学建模，数学广泛地应用于各种领域： 金融、保险、交通、运输、石油勘探与开采、 环境、生态、遥测遥感、 新材料、 复合材料、 信息安全、信息传输、图像处理、图像、语音识别、网络、网页搜索、商业广告、反恐侦破、大数据、医疗诊断、手术方案、药物检验、药
5、物分子设计、传染 病的规律与防治，神经网络、DNA序列解读、企业管理、对策、 智能模拟、作战演习、文物修复、考古等。,数学建模,模型在表达问题的本质方面有突出的作用。“创建一个好的模型正如证明一个深刻的定理一样有意义。”它是一门真正的数学艺术。在正确反映事物的规律与实际可处理之间寻求一种平衡。O 在应用数学结论与实际问题时一定要注意：数学是一门“形式科学”， 数学模型只是实际事物的一种简化， 切不可把数学上的结论误为真理。,P. 9,数学建模,建立了数学模型以后， 如何解决实际问题，还要靠数学的理论和方法。特别是对于工程中的问题， 有了描写实际问题 的数学 模型， 人们还要根据需要提出种种控制
6、、限制手段， 运 用数学方法，优化参数，使得工程 的指标达到预想的目的。理论=方法=算法=程序=计算,P. 10,数学与科学、技术,利用“模型”，使得数学研究的对象在“数”与“形”的基础之上又有所扩充. 各种“关系”， 如“语言”、“程序”、 DNA“排序”、“选举”、“动物行为”等都能作为数学研究的对象. 数学成为一门形式科学,高斯:“数学既是科学的女皇， 也是科学的仆人” 1. 语言 “大自然的规律是用数学书写的”伽利略 （Galileo G .）数学家就像法国人， 凡是你告诉他们的，他们都吸收并翻译成自己的语言而且从那时起， 这些东西就彻底改观了-歌德（Von Goethe,J.W.）数
7、学上的概念有其抽象性、广泛性和确切性，因此有自己的表达方式。,数学与科学、技术,“数值模拟”与“科学实验”相互配合，相辅相成， 成为人们探索规律、设计工程、检测产品、制定规划、科学决策等方面不可缺少的手段。大量的软件包是科学实验、工程设计、教学演示必须使用的工具。 在这个意义上， 数学是科学的仆人。,工具。 今天的数学差不多已经影响到人类知识的一切部门，正如马克思所说：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了.” 所以数学的许多概念、公式和理论都渗透大家学习专业的 教科书、和研究文献中去了。,数学与科学、技术,3. 高新技术的核心当今的许多高新技术实际上是数学技术： IT，
8、 航天航空、金融保险、 网络、动画、大数据等。有的数学软件包作为商品出售。 还有许多数学技术已制成芯片装置在几亿台电脑、以及各种仪器、仪表、医疗器材、电器设备之中， 成为科技含量的核心。,数学与科技、技术,4. 探索新知识的先导自然科学和社会科学中许多重要的理论起源于数学或由于数学的推动。例如：O经典力学-微积分与微分方程，O电磁波的发现Maxwell 方程组，O正电子的发现Dirac方程组的对称性，,数学与科学、技术,相对论与量子论的革命. 从观念、理论到方法数学都为这两个理论做了充分的准备（群论、Riemann几何、概率、Hilbert空间、算子、特征值）. “是几何学家走到前头去了， 我
9、不过是学了几何学家的东西， 才发明了相对论”Einstein， A. O当代的数学物理如“弦理论”、“重力场”等大量使用现代数学， 特别是纯粹数学中的最新理论成果。 电子计算机的提出与设计从设想、理论设计、研制，一直到程序、存储等全过程，数学家始终起决定性地主导作用：图灵通用数字计算机.,数学与科技、技术,O冯。诺依曼Von Neumann， J. 第一台电子计算机的研制、程序、存储。O维纳（Wiener, N.）控制论。O香农（Shannon, C. E.)信息论的创始人.O 冯。诺依曼, 摩根斯特恩（Morgenstern）博弈论。O大批数学家获诺贝尔经济学奖,P. 17,CT 扫描技术（
10、无损害诊断探测技术） 奥地利数学家 Radon 1917 提出Radon 变换-CT技术的物理过程， 1919 提出Radon反 变换-CT技术的图像重建过程。 基本思想是：只要测量大量的一维量， 采用适当数学技巧 就可以重建原来的三维图像。1950年代美国医生 A.M. Cormack 提出利用这个原理：把 X-射线从许多不同角度照射， 得到体内确定目标的位置和 形态。 1971-72， 英国EMI公司首次制作出CT图像。 1979 . Cormack 获 Nobel奖。,数学与科技、技术,数学与科学、技术,P. 18,“为什么数学比其他一切科学所到特殊的尊重？ 一个理由是它的命题是绝对可靠
11、的和无可争辩的， 。还有一个理由， 那就是数学给于精密自然科学以某种程度的可靠性”爱因斯坦。O数学的逻辑严密性， O数学研究的是逻辑合理的世界。数学在人类探索新知识中起先导作用。,数学与科学、技术,5. 数学的能力与修养 “ 数学是一种普遍适用的，并赋予人以能力的技术“。抽象能力、逻辑推理能力、几何直观能力、计算能力（包括使用计算机进行计算的能力、把实际问题转化为数学问题的能力。数学对于思维的逻辑严密性有较强的要求， 学习数学有益于提高人们的分析问题能力与思辨能力。数学修养对于一般科技工作者， 甚至经营管理者、决策者都很重要。数学文化是一种真正创新的文化。,人类智慧的宝藏,P. 20,1. 数
12、学是一个有机整体 纯粹数学与应用数学的关系如同一座冰山， 浮在水面上的 是应用数学， 而埋在水下的是纯粹数学。 纯粹数学是应用数学的基础。数学好像一张庞大的、多层次的、不断生长的、无限延伸的网络， 高层次的网络是由低层次的网络和结点组成的，它们是各种概念、命题和定理. 各层网络与结点之间用严密的逻辑链接，这种链接是客观事物内在逻辑的反映.,人类智慧的宝藏,P. 21,在研究现实世界的问题中，一旦建立的数学模型与我们已有的结点或低层次网络相关，所有建立起来的链接就都能发挥作用，为我们提供了解决实际问题的理论和方法.无数事例证明： 许多当时看不到有任何应用前景的纯粹数学理论， 后来在现实世界应用中
13、发挥了巨大的作用。O 拓扑学-空间结构拓扑性质的讨论始于庞加莱对微分方程的 定性研究。经历了长时间的“纯粹”而深入的发展， 得到了 各种拓扑不变量，从而与数学内部许许多多分支： 代数、 几何、数论、分析、图论等都建立了深刻的联系，成为纯粹数,2.纯粹数学的威力,P. 22,学的核心之一.20 世纪后期，人们又在物理、化学、生命等许多自然科学中都 遇到各种拓扑不变量，需要深入研究。如从统计物理中发现的 “扭结不变量” 发展到 “拓扑量子场论”；化学拓扑学对给定的化合物研究它有多少种同分异构物；要了解从基因合成蛋白质的过程又涉及到拓扑学中的连接、扭转、纽结和超螺旋等问题。O 数学本来就是人类心智的
14、产物。密码学：加密和解密是人的 智力的竞争。许多高深的数学理论在这一领域大有用武之地。 数学中的数论、有限群论、代数几何等这些一直被人们认为是“纯”而又“纯”的数学分支, 如今在密码学中大显身手。,人类智慧的宝藏,P. 23,O Fourier分析与信息科学-小波理论.Fourier 级数和 Fourier 变换虽然最早是从研究弦振动和热 传导开始的。但当处理的函数是任意的时侯，在函数概念还 没有抽象化的18 世纪并不被大多数数学家所接受，19 世纪分析数学严格化了以后，它经历了近一个世纪纯粹理论上的漫长发展，如今Fourier 分析已经成为现代实分析的主体。在信息时代，Fourier 分析成
15、为了信息科学中最基本的最重 要的频谱分析的基础，在通讯、信号、视频、语音、图像处 理中无处不用。,人类智慧的宝藏,P. 24,在面临图像压缩迫切需要的推动下，具备Fourier 分析深刻理论知识的数学家连同计算机科学、电机工程、理论物理、地球物理等学科的专家紧密结合在一起，发展出了一门崭新的“小波理论”，实现了图像压缩数字技术的重大突破。O 20 世纪后半叶概率论与其它抽象数学分支， 特别是当代分析学紧密融合成为一个非常活跃的新方向- 随机分析。除了它在理论上的进展外，特别值得提出的是：在金融数学中，一类描写期权定价的随机微分方程，即Black-Scholes 模型，是衍生物定价理论的重大进展。,人类智慧的宝藏,人类智慧的宝藏,P. 25,Page Rank 与Perron-Frobenius 的故事Google！3. 创新的资源我们要建设一个创新型的国家，在我国经济发展转型期，最重要的是创新思想。 富饶的数学宝藏是创新思想取之不尽的资源等待你去开发!,P. 26,不断探索新的途径， 严谨地编织、清理庞大的数学之网，闪烁 着人类智慧之光！,人类智慧的宝藏,
