1、第 1 页 共 4 页对一道高考题的研究2007 年全国卷 2 理科数学第 22 题是：已知函数 f（x）x 3x，（1）求曲线 yf（x）在点 M（t ，f（t ） ）处的切线方程；（2）设 a0 .如果过点（a，b）可作曲线 yf （x）的三条切线，证明abf （a） 。本题主要考查的是导数的应用和三次函数的性质。为此，笔者对三次函数做了如下研究：设 (不妨令 a0) ,则 = +c。导函数为二32()fxabcxd()fx23abx次函数，其判别式为=4 12一、三次函数的图象（1）若0， 0，则函数 在 R 上为单调递增函数，其图象如图 1。()fx()fx（2）若0， =0 有两个不
2、等的实根，设为 、 ，且 。则当 1x212x或 时， 0；当 时， 0。故 在（-, ） ，1x()fx1x2()f()f1（ ,+）为增函数，在（ , ）为减函数。且在 = 时取得极大值 ，在 =2 2x1()fx时取得极小值 。其图象如图 2。x2()fx二、三次方程的实根个数由三次函数 的图象易知 =0 的实根个数如下：()fx()fx第 2 页 共 4 页（1） =0 有一个实根。此时0（如图 1）或0 且极大值 0（如图()fx 1()fx3）或0 且极小值 0（如图 4） 。2()f（2） =0 有两个实根。此时0 且极大值 =0（如图 5）或0 且极小()fx 1()fx值 =
3、0（如图 6） 。f（3） =0 有三个实根。此时0 且极大值 0极小值 （如图 2） 。()fx 1()fx2()fx三、三次函数的对称性结论：若函数 的导函数 的图象为轴对称，则原函数的图象必为中心对称。()fx()fx证明：设 关于直线 =m 对称，则 = 。()f ()f2)mx所以 =xd(2)fmxd故 + =- +()fpq第 3 页 共 4 页所以 的原函数关于点 对称，其中 = （()fx,2qpm2qp00()2)fxfmx为定义域内任一个值） 。特别地，当 =0 时， = .0x 0xf由于三次函数 的导数 = +2b +c 为二次函数，32()fxabcd()fx23a
4、x其对称轴为 = ，所以三次函数 的对称中心为 。 b()fx(0)3,bfba又因为 =2(0)3fa3223bdcdaa= = =3247bc323bbacda()3bfa所以，三次函数图象都是中心对称的，其对称中心为 .,()f如果对三次函数有了上述认识，则 2007 年全国卷 2 理科数学 22 题不在难解。解法如下：解：（1）求函数 f（x）的导数： 2()31fx曲线 在点 处的切线方程为： ，即()y,Mt ()()yfttx23()ytxt（2）如果有一条切线过点 ，则存在 t，使(,)ab23(1)btat于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程,()yfx有三个相异的实数根320tab记 ，则32()gtatb2()6()gtat第 4 页 共 4 页当 变化时， ， 变化情况如下表：t()gtt,00(0,)aa(,)a()t0g极大值 ab极小值 ()bfa由三次函数实根个数分析可知 有三个相异的实数根等价于 ，()0gt0()bfa即 。()abf地址：安徽省蚌埠市第五中学 邮编：233000作者：支军 电话：13033025772邮箱：
