1、1高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日2赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：3高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：4数学建模优秀论文-眼科病床的合理安排摘要本文是一个如何合理安排眼科病床，使医院的资源得到有效利用的问题。以概率论数理统计知识为基础，我们建立了整数规划模型。针对问题（
3、1） ，通过统计所给数据发现，病人等待入院的时间过长，使白内障术前准备时间过长，还考虑到了病床周转次数及手术医生的安排，因而将等待住院时间、术前准备时间、医生手术安排及病床周转次数纳入评价指标评价体系中，并根据这些指标建立了指标评价体系模型。针对问题（2） ，我们从分析已给数据入手，考虑到入院等待时间、术前准备时间、医院资源利用及病人满意度以及当前医院病人的信息等建立了某天各类病人入院的整数规划模型，并用 Lingo 求解的当前住院病人，第二天出院人数为 10 人，及第二天各类入院人数，白内障、青光眼、视网膜、外伤分别为 0、3、6、 1.并利用问题（1）的指标对模型进行了评价。针对问题（3）
4、 ，利用问题的整数规划模型求出等待入院病人的大概入院时间（详见附录 1） 。针对问题（4） ，考虑到住院部周六、周日不安排手术，我们建立了与问题（2）相同的整规划模型进行调整，主要改变了模型中的约束条件。并用 Lingo 求解，得出住院病人第二天出院的人数为 10 人，得到第二天各类入院人数分别为青光眼，视网膜，外伤分别为 0、3、6、1 人。并用评价指标对模型进行了评价。针对问题（5） ，从管理出发，按照各类病人人数比例，术前准备时间，康复时间建立了病人在系统内的平均逗留时间最短的数学模型，并由模型求解得白内障、视网膜、青光眼、外伤的病人的应分配的床位数分别为 23、37、11、8。关键字：
5、 整数规划 满意度 逗留时间51 问题的重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月11 日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需 1、2 天。做两只眼的病
6、人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS（First come,
7、First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。由附录中给出的病人信息考虑以下问题：（1）分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。（2）试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。（3）作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 （4）若该住院部周六、周日不
8、安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?（5）有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2.模型的假设（1）在这段时间内医院不增加病床的数目也不增加医生；（2）由于急症数量少，建模时不考虑外伤急症；（3）该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制；（4）患者无个体差异；6（5）白内障手术中做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到 60%；（6）对于没有改变医院手术时间的情况下，白内
9、障病人只安排在周一、周三进行手术；（7）在其它条件相同的条件下对非急症病人按照 FCFS 规则安排住院；（8）白内障患者的准备时间为 1-2 天，视网膜疾病和青光眼的准备时间为 2-3 天；（9）对每天的统计出来的数据以 0：00 时刻为界；（10）术前准备时间取最小不会影响手术质量。3 模型的符号说明符号 意义1w术前准备时间指标（手术准备时间在规定时间内的病人数除以总病人数）2病人门诊后等待时间的指标（一段时间内所有病人等待时间总数/这段时间内每个等待病人的总数）3w医生手术安排的指标（周一周三进行的白内障患者总数除以这段时间内进行的病人总数）4病床周转次数的指标（出院病人数 平均开放床数
10、目）1m一段时间内病人住院后到进行手术的病人总数2表示一段时间内等待的病人数3周一和周三进行了的手术总数4m平均开放床数目1n术前准备时间超过 2 或者 3 天病人数（白内障为 2，其它为 3）2这段时间内每个等待病人的总的等待时间73n这段总数内白内障患者做手术台的总数4出院病人数1z白内障单眼的准备天数2白内障双眼的准备天数3z青光眼和视网膜疾病的准备天数1x某天白内障单眼病人入院的人数；2某天白内障双眼病人入院的人数3x某天青光眼和视网膜疾病入院的总人数x0 某天出院人数（对具体某天是个常数）4.对问题的分析通过用数学模型来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
11、在问题（1）中，根据对病人术前准备时间的数据统计可看出，对于白内障患者有过半的病人住院到进行手术超过了 1，2 天，这极大的占用了医院的有效资源，降低了医院病床的周转率，同时也加重了病人的经济负担，考虑用术前准备时间作为一个指标来评价该模型的优劣；病人在等待过程中如果等待较长时间也没得到住院，会觉得厌烦，有可能病人就会转向其它医院就诊，从而医院的经济效益会降低，从而考虑到病人的等待时间，因此我们可以确定等待时间作为评价该病床安排模型的优劣的一个指标；又考虑到医生的安排问题，由题意得白内障患都安排在周一，周三进行手术，且其它手术一般不考虑安排在周一、周三进行，我们可以用医生安排的指标来评价该模型
12、的优劣；最后，考虑到病床周转次数的指标来作为评价该病床安排模型优劣的一个指标，周转次数越多就意味着就医院的病床资源得到了有效利用。在问题（2）中，统计并分析书籍数据，根据由统计得到的各类病人康复的天数，按正态分布原理可得到 9 月 12 号到 9 月 23 号每天这部分人拟出院人数，在此基础上，具体到某一天，当某种病人达到了康复时期的最小值时我们把它们选取出来，再根据8当天拟出院的病人数，在这选取出来的数据中利用计算机编程按照随机选取的方法再将它们逐个选取出来，直到达到拟出院的病人数为止，最后选取出来的患者为该天拟出院的患者。采用递归的方式，能得出做了手术而没出院的那部分病人的拟出院情况。根据
13、这个拟出院情况，我们可以安排病人住院，我们可让该天安排进医院的各类病人的所有准备时间最小作为目标函数建立病床安排模型。对于约束条件的限制，由于考虑到医生的安排问题，即白内障患者安排到周一和周三做手术，具体到某天时，我们首先确定该天的日期和该天是星期几，根据这些信息可以确定出该日期医院拟出院的病人数和住进去的各类病人的准备时间即确定约束条件。在问题（3）中，我们可以根据 7-13 日到 9-11 日每日门诊人数及其类型，对其进行统计分析，按照分布概率来模拟了后来几天来医院门诊的人数及其类型。对于告知病人大致入院时间，其模型也是为了让病床安排得到最优，因此这个模型也就是问题（2）建立的模型，由模型
14、得到的 、 、 的值，即分别为该天住进院的白内障单1x23眼、白内障双眼、青光眼或视网膜疾病人数，根据该天分别住进院的白内障单眼、白内障双眼、青光眼或视网膜疾病人数，按照先来先服务的原则就可以分别确定，分别通知哪些病人入院。在问题（4）中，其目标函数也是和问题（2）是一样的，考虑到周六日不安排手术，则变化的只是约束条件。我们可以在周六、周日不安排手术的条件下按照问题（2）的模型，重新确定约束条件，按照此模型重新求解一下问题（2） 。在考虑医院手术时间是否做出相应的调整时，我们可以分三种情况来讨论，三种情况分别为：周一三做白内障，周二四做白内障，周三五做白内障。对每种情况按照周六日不动手术的情况
15、下，确定周一到周日每天入院等待的最短时间，对其最短时间进行统计，最短时间最短的那种情况即为最好的那种情况。如果这种情况恰是周一三，则医院的手术时间不必调整；如若这种情况不是周一三的情况，则医院的手术时间需要调整，且调整为该情况下的手术时间。针对问题（5） ，从管理出发，按照各类病人人数比例，术前准备时间，康复时间建立了病人在系统内的平均逗留时间最短的数学模型，则由模型求解得白内障、视网膜、青光眼、外伤的病人的应分配的床位数。5.对数据的分析5.1 对病人住院到手术的时间的数据统计与分析由附录 2008-07-13 到 2008-09-11 这段期间病人的信息可得入院的病人共有 428 位，其中
16、青光眼和视网膜疾病病人住院 2，3 天后都得到了手术，而对于白内障病人（单眼和双眼）住院后得到手术的时间为 1，2，3，4，5，6，7 天的病人数分别为40，49，26，23，27，9，10。住院后超过了 2 天才得到的手术的病人数有 96。分析得如何减少术前准备时间是如何病床合理安排问题的一个方面。95.2 对每天白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤的病人数的分类统计由已知数据可得 2008-07-13 到 2008-09-11 这段时间每天白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼和外伤的病人到医院就诊的人数，这段时间白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼和外伤的病人的总数分别为：100、
17、133、170、63、64。5.3 对白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤手术后康复时间的分类统计由附录可得 2008-07-13 到 2008-09-11 这段时间白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼和外伤的康复时间可得白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼和外伤的康复时间分别为 2，4、 4，6、 5， 15、 4，12 、3，10，且它们各自占到的比例分别如表 5-1，5-2，5-3，5-4 所示。表 5-1 白内障在某天的康复人数及比例白内障康复天数 2 3 4康复人数 38 86 28所占比例 38/152 86/152 28/152表 5-2 青光眼在某天的康复人数及比例青光
18、眼康复天数 4 6 7 8 9 10 11 12康复人数 1 3 10 12 8 2 1 2所占比例 1/39 3/39 10/39 12/39 8/39 2/39 1/39 2/39表 5-3 视网膜疾病在某天的康复人数及比例视网膜康复天数5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15康复人数 3 2 7 15 11 18 14 11 8 5 4所占比例 3/98 2/98 7/98 15/98 11/98 18/98 14/9811/98 8/98 5/98 4/98表 5-4 外伤在某天的康复人数及比例10外伤康复天数 3 4 5 6 7 8 9 10康复人数 2 12 10 7
19、 11 5 3 3所占比例 2/53 12/53 10/53 7/53 11/53 5/53 3/53 3/53白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼、外伤病人的康复平均时间及平均准备时间如表 5-5 所示：表 5-5 各种病人的平均康复天数患者类型 白内障单眼 白内障双眼 视网膜疾病 青光眼 外伤平均康复天数 2.902778 4.97561 10.19 8.076923 6.037037平均准备时间 1.5 1.5 2.5 2.5 1从各表中数据统计可以得出，在病人很多的情况下，病人的康复时间成一个正态分布的情况。康复时间很短和很长的人数是相对较少的，而康复时间处于大约中间天数病人相对较多。6.模型的建立与求解6.1 针对问题（1）6.1.1 术前准备时间指标 1w通过统计的数据发现前面的已知数据中有过半的白内障患者都没在及时的时间段进行手术，及白内障患者中术前等待时间超过 2 天的人数过半。这样，医院的资源没有得到有效利用，也给病人增加了经济负担，因此我们确定术前准备时间的指标。术前准备时间指标的定义：；1nwm其中 表示一段时间内病人住院到进行手术的病人总数； 表示病人总数中没有1m 1n超过适当时间的病人数（其中白内障为 2 天，青光眼和视网膜为 3 天） 。
