1、1Ch1、引 论1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5) 。2、数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；（见例 3）(3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。例如 Cooley 和 Tukey196
2、5 年提出 FFT， ，N=32K，1000 倍。N22log例 1、分析用 Cramer 法则解一个 阶线性方程组的计算量。n解：计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。用 Cramer 法则解一个 阶线性方程组需计算 个 阶行列式，而用定义计算 阶1nn行列式需 次乘法，故总计共需 。!n!1n此外，还需 次除法。当 时，计算量约为 次乘法。即使用每秒百亿次乘法20201!9.7n的计算机，也需计算 3000 多年才能完成。可见，Cramer 法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源(1)模型误差；(2) 观测误差；(3)截断误差(方法误差 ) 模型的准
3、确解与数值方法准确解之间的误差；(4)舍入误差实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差。数值分析主要研究截断误差与舍入误差。2例 2、根据 Taylor 展式 计算 (误差小于 0.01)。)(!21xRnxex 1e解： )(!514)(!3)(12e (截断误差 ) (舍入误差)。0146267.02、误差的基本概念(1)误差与误差限设 为某量的精确值， 为 的一个近似值，则称 为 的（绝对）误差，x*x *xe为 的相对误差。er*用某种方法确定的误差的某个上界 称为 的误差限，显然 ，即*x*， 称为 的相对误差限。*xx*xr误差限取决于测量工具和计算方法。(2)函数值的计
4、算误差设 ， 为 的近似值，则),(21nxfA*1,nx nx,21 )(),(* ffe (多元函数一阶 Taylor 展式), *2*1*12 nknkknRxf ， 。*1*1*2),( knkknkkn exfxf 记 为 )()(*1knkxfA3、算法的数值稳定性与病态问题1、算法的数值稳定性例 3、计算 ，并做误差分析。)6,210(510ndxIn解： 。*0101101 1823.56ln,5 IxdInIxIn 算法 1： ，结果见下表。nIn15823.*又 , 。)1(5)(6,6nIxx *66 019.7512II 3算法 2： ，结果见下表。51069.*nnI
5、In 算法 1 算法 2 准确值01234560.18230.08850.05750.04580.02080.0958-0.31250.18230.08840.05800.04310.03440.02810.02620.18230.08840.05800.04310.03430.02850.0243误差分析:算法 1： *0*1*11* 555 IIInInIE nnn ，即在计算过程中误差放大了 倍。05n算法 2： ，nnnEIIIII 51515151 *00 即误差缩小了 倍。n5定义 1：若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定的，反之称为不稳定算法。
6、2、病态问题例 4、将方程 ，即 改为摄0)2()(1)( xxp 0!22109x动方程 ，即 ，其中 。!0209x(9p731Wilkinson 用精密方法计算出其根为： ,7.6,.,.1。843549,643.5.,73.8,. ii令 ，其根为 ，则当!2)1()(120xxp 20,),(xi0时， 。显然 反映了初始数据的微小摄动对 的影响程度即问题的ixi0di i条件数。因 ，故),(ixp )()()( 19201190 jijxxpxkiiii ix0)(dxi41 1804 36 18 41019 96020 （坏条件问题）71定义 2：若初始数据的微小误差都会对最终
7、的计算结果产生极大的影响，则称这种问题为病态问题（坏条件问题） ，反之称其为良态问题。例 5、分别将线性方程组 132109576841Xx的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化，具体数据如下： 1.546.299.301.2195706841Xx 2347831298.49.685.7.41x然后用精确方法求解，发现其解与原方程解相比发生了很大的变化。这表明此方程组为病态方程组。4、算法的实现与常用的数学软件用计算机实现数值分析中的算法通常有两种途径：(1)用 Fortran、C、VB、VC 等自编程序；(2)借助于现成的数学工具软件。目前常用的数学软件约 30 余个，可分为通用与专用两大
8、类。专用系统主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的。1、 SAS 和 SPSS（统计分析） ；2、 Lindo、Lingo 和 CPLEX（运筹与优化计算） ；3、 Cayley 和 GAP（群论研究） ；4、 PARI（数论研究） ；55、 Origin（科技绘图与数据分析） ；6、 DELiA（微分方程分析）等。通用系统中又可分为数值计算型与解析计算型。数值计算型：Matlab、Xmath、Gauss、MLAB 和 Origin 等。解析计算型：Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom 和 Reduce 等。其中 Matlab、Mathematica 、Mapl
9、e 与另一个面向大众的普及型数学软件 Mathcad 并称数学软件中的“四大天王” 。Matlab 意思为“矩阵实验室” ，是美国计算机科学家 Cleve Moler 在 70 年代末开发出的以矩阵数值计算为主的数学软件，如今已发展成为融科技计算、图形可视化与程序语言为一体的功能强大的通用数学软件。Matlab 最突出的特点是其带有一系列的“工具包” ，可广泛应用于自动控制、信号处理、数据分析、通讯系统和动态仿真等领域。高版本的Matlab 也可进行符号计算，不过它的代数运算系统是从 Maple 移植过来的。Mathematica是美国物理学家 Stephen Wolfram 开发出的第一个将
10、符号计算、数值计算和图形显示很好地结合在一起的数学软件，在国内较为流行，拥有广泛的用户。Mathcad 是 MathSoft 公司在 80 年代开发的一个交互式数学文字软件，与 Matlab 和 Mathematica 不同的是，该软件的市场定位是：向广大教师、学生、工程技术人员提供一个兼备文字、数学和图形处理能力的集成工作环境，而并不致力于复杂的数值计算与符号计算问题，具有面向大众普及的特点。不过，新版 Mathcad 的计算能力已远远超出了其早期的设计目标。Maple 是加拿大 Waterloo 大学符号计算研究小组于 80 年代初开始研发，1985 年才面世的计算机代数软件，起初并不为人
11、们所注意，但 Maple V release 2 于 1992 年面世后，人们发现它是一个功能强大、界面友好的计算机代数系统。随着版本的不断更新，Maple 已日益得到广泛的承认和欢迎，用户越来越多，声誉越来越高，从 1995 年以后，Maple 一直在 IEEE 的数学软件评比中居符号计算软件的第一名。目前，Maple 的最高版本为 Maple V release 11。第一章上机实验目的：1、 熟悉 Maple 中的定义函数、解方程、积分、循环语句和列表等命令；2、 通过具体问题的计算，加深对数值稳定性和病态问题的理解。实验内容：1、 设 ，由 得算法一：,10,10ndxeIn 110,
12、632.nnIIeI；又 ，取 ，从而*1*0632.nnII )(,Inxen06839.96又得算法二： 。分别用上述两种算法计算 ，根据计算结果判nIn*910683. 910,II定其数值稳定性，并给予证明。2、将方程 ，即 改为摄动)20()()( xxp 0!22190x方程 ，对不同的 求解此方程，观察 对解的影响程度，!019x判定此方程是否为病态方程。15、已知三角形面积 ，其中 为弧度， ，且测量 的误差分sin2Sabc2c,abc别为 ，证明面积的误差 满足 。,abcSab证：根据零阶多元 Taylor 公式11sinsin22Sbcabc123 311isicos2
13、2abcSacba ，cosinS令 ，则 ，csxfx2cos1xfx因 ，从而 ，得 ，,01=02scosx即 。又 ，故 ，即 。fxf0fxfco1inx从而 。cosinSababccCh2、插值法1、插值问题引例：矿井中某处的瓦斯浓度 与该处距地面的距离 有关，现用仪器测得从地面到井下yx500 米每隔 50 米的瓦斯浓度数据 ，根据这些数据完成下列工作：(,)0,12,)ix(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下 500 米之间任意一点处的瓦斯7浓度；(2)估计井下 600 米处的瓦斯浓度。第一个问题可归结为“已知函数在 处的值，求函数在区间 内其它nx,10
14、 nx,0点处的值” ，这种问题适宜用插值方法解决。但对第二个问题不宜用插值方法，因为 600 米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下 500 处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系 ，由 求井下 600 米处的瓦斯浓度。)(xf)(f定义：设 在 中 个点 处的值 为已知，现根)(fyba,1nnx10 )(iixfy据上述数据构造一个简单函数 ，使 ，这种问题称为插值问题。piiy, 分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。ixpf,iiy若 为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。)(定理
15、 1：在插值节点 处，取给定值 ，且次数不高于 的插值多项nx,10 ny,10n式是存在且唯一的。证：令 ，则根据插值条件 有下列等式naaxp10)( iixp)(（关于 的 阶线性方程组） ，nnnnyxaaxpyx101101 0)( ia1n其系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式。011100 jinjinxxD根据克莱姆法则，此方程组存在唯一解 ，即 存在且唯一。na,10)(xp2、Lagrange 插值1、线性插值与抛物插值(1)线性插值，)()()( 1010011 xlylyxyxL记 为其中 称为线性插值的基函数。,0l(2)抛物插值设 ，)()()()(
16、1020212 xCxBxAxL 8分别令 ，即得210,x，)(,)()( 120221012010 xxyCxyBxyA 故 )()() 210120102xL，)( 2101202 xlylxlyxy记 为其中 称为抛物插值的基函数。),(10ll2、Lagrange 插值多项式定义：对 个插值节点 ，令nnx,10，101()()() ,0,1)kknkk kxxl n 则显然 。此时， 满足 ilik1)( nklyL0( ),()(niyxLin称之为 Langrange 插值多项式， 称为 Lagrange 插值的基函数。),),10xllxn编程时宜用 。jnjjiiyxL0)
17、(3、插值公式的余项定理 2：设 上连续，在 内可导，则以插值多项式 逼近 的截)(xfn,ba),(ba)(xLn)(f断误差（即余项）。),(,)()!1()() 0baxnfLfRniinn 例 1、已知函数 的数据如下，分别用线性插值和二次插值求 的近似值。lx ln0.540.5 0.6 0.7-0.693147 -0.510826 -0.356675()f解： ，010 10.6.50,()1056xxl xl x9101()().82310.64752ln.54.69Lxyllxx212000 22110122021.() 5061507.( 35)(6.6) 50750xxl
18、xl xxl 21x22 22()().483.70.732ln.54.630189Lyllyl3、逐次线性插值法对插值节点 及对应的函数值 ，用 表示一 ,10nx ,10ny2,10,ki个非负整数序列，将 个节点 所确定的不高于 次的插值多项式记为kikix,10，则)(,10xPkii，11,0,2,101,0,10)()()()( kikiiikiikiikii xxPP即 次插值多项式可以用两个 次插值多项式通过线性插值获得逐次线性插值。kAitken 算法： 320 kkkk)(0xPyx)(0111 x)()(012222 xPyx )()(012330333 xxxP例 2、
19、根据下表近似计算 在 处的值。)(fy15)(10xPx)(7143.01xP10)(728.10)(6819.0)(12 01202xPxPxPx )(723.53 0133 xP4.15021)()(001001 xxx同理可得 。,302P728.10512473.0689.713.0)()(1120001012 xxxP类似可得 。013，7236.10)()()()( 22301010120123 xxPx故 。78.54、均差与牛顿插值公式1、均差（差商）及其性质定义： 称为 关于 的一阶均差；1010,xffxf)(xf10,称为 关于 的二阶均差；201210 ,fff )(f210,x类似地可定义 阶均差n。nnxfxfxf 0211010 , 定理： ，即 阶均差可 ni niiiiii xxff0 11010 )(, 表示为 的线性组合，从而 阶均差与节点的排列次序无关。)(ixf证：当 时，右 左1n 1010010 ,)()()( xfxffxff不妨假设 成立，则
