1、8 等价关系和集合分类设 ， 只含两个元，不妨设 0,1或 =对，错ADD定义：称一个 到 的映射 为 的元间的一个关系。RA若 （ ，b）1 则称 和 b 符合关系 ，记 bRaaa若 （ ，b）0 则称 和 b 不符合关系 ，记为 b.R定义：称 的任何子集为 上的一个关系。其实，以上两个定义是等价的。例 所有实数A： 为 （ ，b）对，若 b- 0RDRaa（ ，b）错，若 b- 0 不成立。则 是 上的一个关系。其实， 就是 上的“”关系。A从 的元间的关系的定义可看，当给定一个集合后，该集合上有很多不同的关系，其中有一些是重要的，有些是并非重点。现给出若干重要关系。设有 的元间关系（
2、）若对 ， ，则称 为自反关系aR（）若 b，则 b ，则称 为对称关系（）若 b，则 b ，则称 为反对称关系（）若 b，若 b c，则 c，则称 为传递关系aR特别， 满足（） （） （） ，则称 为等价关系，此时用表示 。REx：“等于”这个关系是一个等价关系Ex： 平面上直线，定义 的上关系 为： ， 时AA1l2A （ 认为平行）1lR21l21l2则易证 为等价关系。定义：若把一个集合 分成若干个叫做类的子集，使得 的每个元属于而且只属于一个类，则称这些类的全体为集合 的一个分类。A注：分类也可以如下定义， 为 的非空子集族，满足ix（） （要求 ）ix（） ,iijj*等价关系与
3、集合的分类的关系有如下重要结果。定理 1：集合 的一个分类决定 的元间的一个等价关系。AA（证明）：设 、 ，定义abb，如果 ,b 在同一个类中Ra则 （）因 和 一定在同一个分类中，于是 ，aR（）若 b，说明 ，b 在同一个类中，于是 b ，（）若 b，b c，则 ，b 在同一类中，b，c 在同一个类。因为该类有公共元素 c，于是该两类其实是相同的。于是 ，c 在同一类中，所以 c，由（） （） （）知 为 的元间的等价关系。RA定理 2：集合 的元间的一个等价关系决定一个分类。（证明）：对 给定 ，记 b,考查 。aaaA（）若 b，则 b。事实上，当 c ，则 c ，于是 cbc b
4、，故 b。同理可证b 。 b。（）若 b c，则 b 且 c bc bc于是 b c b或 （）对 ， ，于是 。所以 aAaAa由（） （） （）可知 是 的一个分类。定义：一个集合的一个分类的每一个元素中的任何元素叫做该类的一个代表，刚好由每一类的一个代表做成的集合叫做一个全体代表团。例 ，取 ，对 ,b ，定义ZnNab，如果 .aR|b易证 为 的一个等价关系.A若 ， 其中 0 ， ，则1pnq2pnq12qn，于是可知 ab1()()|ab12而 说明 (n).于是上述等价关系叫做模 n 的同于关系。12ab由于 的等价关系，因此带来一个分类，易求每一个分类为R0,-2n,-n,0,n,2n,1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,n-1,-n-1,-1, n-1,2n-1,.
