1、第三章 协方差传播率及权,3-1 协方差传播率及其应用 3-2 权与定权的常用方法 3-3 协因数阵与权阵 3-4 协因数传播率 3-5 由真误差计算中误差及其实际应用 3-6 系统误差的传播,概念,直接观测量 非直接观测量 独立观测值 非独立观测值 协方差传播率,协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。 描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。 例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度。 P点坐标为：式中： 现在的问题是在已知观测边长s和角度的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。,1 协方差传播律及其应用,一、观测值线性函数的方差,设
2、有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即式中 为 的方差， 为 和 的协方差，又设有 的线性函数为：令：则：,对上式两边取数学期望：Z的方差为：即：,当向量 中的各分量两两独立时，它们之间的协方差 =0，此时上式为：线性函数的协方差传播律叙述为：设有函数：则：,例1 在1：500的图上，量得某两点间的距离 =23.4mm,d的量测中的误差 =0.2mm，求该两点实地距离 及中误差 。 解：,最后写成:,二、多个观测值线性函数的协方差阵,设有观测值向量 和 ， 的数学期望和协方差阵分别为 和 ， 的数学期望和协方差阵分别为 和 ， 关于 的互协方差阵为 。,若有 的 个线性函数：若令：
3、则：,设另有 的 个线性函数,令,则,根据互协方差阵的定义：,协方差传播律,设有观测值向量 和 的线性函数：的协方差阵 ， 的协方差阵 ， 关于 的互协方差阵为 （ ）， 、 、 、 为常系数阵。则有如下方差和协方差计算公式：,可以看出：线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在形式上完全相同，且推导过程也相同； 所不同的是：,表示的是一个方阵； 前者是一个函数值的方差（1行1列）； 而后者是t个函数值的协方差阵（t行t列）。即：前者是后者的特殊情况。,例2 设有函数：X的方差阵 ，Y的方差阵 ，X关于Y的互协方差阵为 ( ) ， 其中 为常系数阵。求： 、 、 、 、 、 、 （1）计算 、
4、 、,（2）计算（3）计算（4）计算 ，（ 表示单位阵）,（5）计算或:,小 结 协方差传播律：,3-1 协方差传播律,三、非线性函数的方差传播律,设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为DX ，若有X的非线性函数为:,如何求Z的方差阵？即,解决这类问题的关键是必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致”的形式。因此，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的问题。,非线性函数的线性化的方法是： -将函数按泰勒级数展开，略去高次项, 泰勒公式 如果函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则在该邻域内f(x)展开为,当x非常接近x0时，则可以舍去二次以上各项，即,三、
5、单个非线性函数,设有观测值 的非线性函数：或表示为 已知 的协方差阵 ，求 的方差 。 假定观测值 有近似值：将函数式 按泰勒级数在点处展开为：,式中 是函数对各个变量所取的偏导数，并 以 近似值代入所算得的数值，它们都是常数， 当 与 非常接近时，上式中二次以上各项很 微小，可以略去，将上式写为：令： 得： 这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然后用线性函数的协方差传播律计算协方差。,如果令：则上式可写为上式是非线性函数式的全微分。根据协方差传播律：为求非线性函数的方差，对它求全微分就可以了。,四、多个非线性函数,如果有 的 个非线性函数将 个函数求全微分得,若记则有： 根据协方差传播律
6、得 的协方差阵： 因此，对于非线性函数，首先将其线性化，然后 用线性函数的协方差传播律计算。 线性化方法可用泰勒级数展开或求全微分。,例3 量得某矩形的长和宽为 和 ，且 ，计算该矩形面积的方差。 解：面积： 线性化: 用协方差传播律得：课本P35 (3-6),例4：已知角度观测向量 试求函数 的中误差。,解：非线性函数两边全微分得：,按方差传播律：中误差为：,注：先取对数然后再全微分能简化计算。,协方差传播律 小结 线性函数：2. 非线性函数只需对函数全微分，然后按协方差传播律计算即可。,应用协方差传播律的具体步骤,1.按要求写出函数式，如： 2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：3
7、.写成矩阵形式： 或 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。,应用协方差传播率解决精度问题的步骤：1.确定观测向量X，及其方差阵DXX2.建立欲计算精度的量Y与观测向量X的函数关系若为非线性函数，则线性化（全微分即可）3.利用传播率公式计算注意单位统一。,3-2 协方差传播律的应用,一水准测量的精度,一水准测量的精度,设水准测量中每一测站观测高差的精度相同,其方差均为 ,若某水准路线有N个测站，则其高差的方差和中误差为在平坦地区的水准测量中，每公里的测站数大致相等，因此，每公里观测高差的方差相等为 ，若某水准路线长S公里，则观测高差的方差和中误差分别为,结论的用法：已知任量求第三量,例1.在单
8、一水准路线AB上，为求待定点P的高程，观测了高差L1，L2，其相应的路线长度S1=4km，S2=2km，已知每公里观测高差中误差为km=1cm，求高差平差值L1的方差。,二、同精度独立观测值的算数平均值的精度,设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值L1、L2、Ln，它们方差均为2)，其算术平均值为,则算术平均值X的中误差为：,由协方差传播律知，平均值x的方差,例2.已知距离AB=100米，丈量4次平均值的中误差为2cm，若以同样精度丈量距离CD=900米，求1）丈量CD一次的精度；2）如果丈量CD16次，则丈量AB和CD的相对中误差。,在若干独立误差的联合影响下，观测结果的真误差为,由协方差
9、传播律可得：,三若干独立误差的联合影响,结论：观测结果的方差等于各独立误差所对应的方差之和。,在测量工作中，常用点位方差来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即： 通常 称为纵向方差，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差 称为横向方差，它是由边的坐标方位角的方差引起的。点位方差也可由其来计算。即：,四支导线点的点位精度,实际测量中，纵横向精度一致都是指中误差，即结论：当角度误差的弧度值等于距离测量的相对误差时，点位纵横向精度一致。例： ，测距相对误差为 ，问测角的中误差,点位精度分析,当,时，点位纵横向精度相同。,如图支导线，观测值： 求C点的点位方差。
10、,第一种解法:,1.列函数式,2.将上式线性化,3.用传播率计算,第二种解法，由C点纵、横向方差求点位方差,AC边长方差 为纵向方差；横向方差是由AC边的坐标方位角的方差引起，由图知,则,五交会定点的精度 六GIS线元素的精度,权权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系，是表征精度的相对数字指标。,第二节 权与定权的常用方法,？,？,如图所示，在水准测量中，A、B、C为三个已知点，P为待定点，由3个已知点分别向待定点做水准测量，假设每公里的观测精度相同，而三条水准路线的长度不同，分别为S1、S2、S3，最终P点高程如何计算？取三次测量的平均值可以吗？,设三条水准路线求得的P点高
11、程分别为：,则：,设有一组观测值 (il，2，n)，它们的方差为 (i=1，2，n)，如选定任一常数 ，则定义观测值 的权为：称pi为观测值Li的权。,一、权的定义,权之间的比例关系:,数学描述：,权之比=相应方差倒数之比,表示各观测值方差之间按比例关系的数字特征权,例1 量AB间距离，得两组观测值L1,L2，已知它们的中误差1 =3mm,2=2mm,求L1，L2的权,观测高差： 水准路线长度：设每公里观测值高差的方差为 各水准路线的方差为： 取： 权：取： 权： 权之间的比例关系：,例1-9,3.权是用来比较各观测值间精度高低的，是相对精度指标，权的意义不在于其本身数值大小，重要是其之间的比
12、例关系。对于单个观测值而言，权无意义。,权的性质：,1.选定一个 值，即有一组对应的权。反之亦成立。,4.为了使权能起到比较精度高低的作用，同一问题只能选定一个 值。,2.一组观测值的权，其大小随着 的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系不变。,6.事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。,5.权与中误差的平方成反比，中误差越小，权越大，表明观测值越可靠。,二、单位权中误差 1.定义 “单位权”的定义：等于1的权为单位权； 对应的观测值为单位权观测值； 对应观测值的中误差称为单位权中误差。,可见： 权定义中， 称为单位权方差。（即所选的 值一经选定，就有具体含义了）,2.权的
13、单位 同类观测值： 权是无量纲，无单位；不同类观测值：权是有单位的。例如： 边角网中：设测角中误差单位为“秒”；测边中误差单位为“mm” 若 单位取秒，则角度的权无单位，边长的权的单位为： 若 单位取mm，则边长的权无单位，角度的权的单位为：,三、常用定权的方法 1.距离观测值的权 （1）设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为 ，则全长为S公里的距离观测值的方差为 取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即： 则距离观测值的权为： （2）设长度为S公里的距离观测值的方差为 ，和 分别为测距固定误差和比例误差。 取单位权方差 则距离观测值的权为：,2. 水准测量的权 （1）设每公里的观
14、测高差的方差均相等，均为 ；第i条水准线路的观测高差为 ，长度为 公里 则第i条水准线路（观测高差）的方差为： 取线路长度为C公里的观测高差的方差为单位权方差： 则线路长度为 公里的观测高差的权为：,若某段高差的距离 ，则他的权为,当 时，有,C的两个意义：,（1）C是1公里的观测高差的权；,（2）C是单位权观测高差的公里数。,由协方差传播律得，各观测高差的中误差为,设单位权中误差为：,由权定义得：,且有关系：,在水准测量中，若已知每一公里的观测高差的中误差均相等 ，设为已知各路线的观测距离为,例1-10,即当每公里观测高差为同精度时，各路线的权与公里数成反比。,（2）设每一测站观测高差的精度
15、相同，其方差均为 ；第i条水准线路的观测高差为 ，测站数为 ,则第i条水准线路（观测高差）的方差为：取测站数为C的高差方差为单位权方差：则第i条水准线路（观测高差）的权为：,若某段高差的测站数 ，则他的权为,当 时，有,C的两个意义：,（1）C是1测站的观测高差的权；,（2）C是单位权观测高差的测站数。,设每站观测高差精度相同，其中误差均为,如图所示，在水准网中，有n=7条水准路线，现沿每一条路线测定两点间的高差，得各路线的观测高差为 ，各路线的测站数分别为,由协方差传播律得，各观测高差的中误差为,设单位权中误差为：,由权定义得：,且有关系：,例1-11,即当各测站的观测高差为同精度时，各路线
16、的权与测站数成反比。,在水准测量中，究竟是用水准路线的距离S定权，还是用测站数定权，要视具体情况而定。 一般来说，起伏不大的地区，每公里的测站数大致相同，可按水准路线的距离定权； 而起伏较大的地区，每公里测站数相差较大，则按测站数定权。,结论：,3.同精度观测值的算术平均值的权 设有 它们分别是 次同精度观测值的平均值， 若每次观测的方差均为 ， 则 的方差为： 取： 则算术平均值 的权 为：,若某段高差的测站数 ，则他的权为,当 时，有,C的两个意义：,（1）C是一次观测的权倒数；,（2）C是单位权观测值观测的次数。,即由不同次数的同精度观测值所算得的算术平均值，其权与观测次数成正比。,4边
17、角网中方向观测值和边长观测值的权 边角网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。 设方向观测值 的方差为 （ ）， 边长观测值 的方差为 （ 、 或 ） 取： 则方向观测值 的权 ： （无单位）。 边长观测值 的权,例1-12在边角网中，已知测角中误差为1.0，测边中误差为2.0cm，试确定它们的权。,解：设0 = = 1.0则由1权定义得：,说明权有时是有量纲的。,第三节 协因数和协因数传播律,权是一种比较观测值之间精度高低的指标，同样可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。 在此引进协因数和协因数阵的概念解决根据观测值的权来求观测值函数权的问题。,一、协因数,定义：协因数就是权倒数
18、，用Qii表示。,即：,或：,表明： 任意观测值的方差总是等于单位权方差与该观测值协因数（权倒数）的乘积。,设有观测值 和 ， 它们的权分别为 和 ， 它们的方差分别为 和 ， 它们之间的协方差为 ，单位权方差为 。令：或写为： 称 为 的协因数或权倒数，为 的协因数或权倒数，为 关于 的协因数或相关权倒数。,协因数与权成反比，因此，也可作为衡量精度的相对指标。 当 =0，说明两观测值独立（不相关）。,设有观测值向量X和Y， 它们的方差阵分别为 和 ， X关于Y的互协方差阵为 ， 单位权方差为 。令：或写为：称 为X的协因数阵,为Y的协因数阵，为X关于Y的互协因数阵。,二、协因数与协因数阵,1
19、.协因数阵,协因数阵的特点：,1.主对角元素 是随机变量 的协因数，即权倒数。,2.非主对角元素 是随机变量 关于随机变量 的互协因数，且有 ，因此协因数阵也为对称阵。,协因数阵,4. 表明随机变量 与随机变量 独立，不相关。,3. 中的元素就是 关于 的相关权倒数。,互协因数阵定义：对于则有协因数阵, 其中非主对角线元素称X关于Y的互协因数阵。,2、互协因数阵,三、权阵,设有独立观测值 ，其方差为 ，权为 ，单位权方差为 。的协因数阵为：,1. 是由独立观测值 的权 构成的对角阵。,与协因数阵 互为逆阵，通常称 为 的权阵,则有,例1-14设有独立观测值Li(i=1,2n),其方差为 ，权为
20、Pi，单位权方差为 ，写出观测向量L的协因数阵以及权阵。,解：,由此可见： 当观测值是独立向量时，其协因数阵以及权阵均为对角阵； 这时权阵中主对角线上元素才是对应观测向量的权！,思考： 1.相关观测时，权阵PX中主对角线元素Pii是不是观测值L的权？如果不是的话，Lii的权又如何求得？ 2.当观测值独立时，情况又怎样？,1.独立观测值的协因数阵 、权阵 是对角阵，权阵主对角元素就是相应观测值的权。,2.当观测值相关，其协因数阵 是非对角阵，权阵 的主对角元素不再是相应观测值 的权。,权阵说明：,则， 称为 的权阵。,对于相关的观测向量 ，我们令,定义：协因数阵的逆阵为权阵。即,例1-13：已知
21、观测向量L的协因数阵为：,试求观测向量L的权阵P及观测值L1、L2的权。,解：由权阵定义得,又由,得观测值的权为,可见： 1）观测值的权与权阵中的两个主对角线元素并不一定相等！ 2）这是权阵中的各个元素不具有权的意义！,例1-15:已知观测向量L的权阵为：,求观测值L1、L2、L3的权。,解：,可以看出： 当QXX是非对角阵时，不可从权阵中来直接“提取”权！,协因数与权互为倒数，协因数阵与权阵互为逆矩阵，协因数陈对角线上的元素为各变量的权倒数，是否可由此说权阵对角线上的元素即为观测向量的权？ 当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角线上的元素为观测值的权。 当观测值相关时，协因数阵主对角线上的
22、元素仍为观测值的权倒数。而权阵主对角线上的元素不是观测值的权。,小 结,设有观测值向量 和 的线性函数根据协方差传播律：顾及协方差阵与协因数阵的关系,化简得：上式称为协因数传播律（阵逆阵传播律）。协方差传播律与协因数传播律联合称为广义传播律。,第四节 协因数传播律,例 已知观测向量X1和X2的协因数为QX1X1，QX2X2，和互协因数QX1X2，设有函数求Y关于Z的协因数阵。,例1-16 设有函数： X的协因数 ，Y的协因数 ，X关于Y的互协因数阵为 （），又 为常系数阵。 求： 解：,如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数线性化：,对于独立观测值 ， 假定各 的权为 ， 则 的权阵、协因数
23、阵均为对角阵,有函数： 线性化：权倒数传播律,协因数传播律（观测值独立）,例1-17 设独立观测值 的权均为 ，试求算术平均值 的权 解：,由此知：算术平均值之权等于观测值之权的n倍。,例1-18,设独立观测值 的权为 ，试求 的权,例题：对某一角度进行同精度独立观测，已知一次观测中误差为6秒，设4次观测平均值的权为2，问： （1）单位权中误差； （2）观测几次，其平均值的权等于4。,例. A、B、C为已知水准点，P1=P3=P5=2，P2=P4=5， 单位权中误差=2mm，求： （1）D点高程最或是值的中误差； （2）CD高差的最或是值中误差。,第五节 由真误差计算中误差及其实际应用,用不同
24、精度的真误差计算单位权方差的计算公式 由真误差计算中误差的应用 由三角形闭合差求测角方差 由双观测值之差求中误差,一、用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式,设有一组同精度独立观测值 ，它们的数学期望为 ，真误差为 ， ， ，有 观测值的方差为当n为有限值时得到方差的估值 上式是根据一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。,解：设i是一组精度相同的真误差，令： 根据协因数传播律得：对于一组不同精度独立的真误差，经变换后，得到一组权为的同精度独立的真误差：单位权方差上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单位权方差的理论值。由于n总是有限的，故只能求得单位权方差的估值,现在设 是一组不同精
25、度的独立观测值， 的数学期望、方差和权分别为 、 ， ， ,二、由真误差计算中误差的应用,在一般情况下，观测量的真值(或数学期望)是不知道的。但是，在某些情况下，由若干个观测量(例如角度、长度、高差等)所构成的函数，其真值有时是已知的，因而，其真误差也是可以求得的。 例如一个平面三角形三内角之和的真值为180，由三内角观测值算得的三角形闭合差就是三内角观测值之和的真误差。1由三角形闭合差求测角方差2由双观测值之差求中误差,设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为 ，则三角形闭合差的方差为当三角形个数为有限的情况下，可求得三角形闭合差的方差的估
26、值 运用协方差传播律，并设测角方差均为 ，得测角方差为： 测角中误差为：,三、由三角形闭合差求测角方差,上式称为菲列罗公式，在传统的三角形测量中经常用它来初步评定测角的精度。,设对量 分别观测两次，得独立观测值和权分别为 其中观测值 和 是对同一量的两次观测的结果，称为一个观测对。在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对的观测。假定不同的观测对的精度不同；而同一观测对的两个观测值的精度相同，即 和 的权都为 。 由于观测值带有误差，对同一个量的两个观测值的差数一般是不等于零的。设第 个量的两次观测值的差数为,四、由双观测值之差求中误差,设 的真值是 运用协因数传播律可得的权： 即： 这样
27、就得到了 个真误差和它们的权 。得到由双 观测值之差求单位权方差的公式当n有限时，其估值为 各观测值 和 的方差为： 第i对观测值的平均值 的方差为：,例1-18：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于下表中， 试求：（1）每公里观测高差的中误差；（2）第二段观测高差的中误差； （3）第二段高差的平均值的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差及全长平均值的中误差。,解：,（1）单位权中误差（每公里观测高差的中误差）为,（2）第二段观测高差的中误差为,（3）第二段高差平均值的中误差为,（4）全长一次观测高差的中误差为,全长高差平均值的中误差为,内 容 小 结,
28、1.协因数传播律：,2.协因数传播律的应用：,权倒数传播律,（1）“权倒数传播律”及其应用条件,（2）加权平均值,算术平均值之权等于观测值之权的n倍,情况一：“同精度”,情况二：“不同精度”,带权平均值的权等于各观测值权之和,内 容 小 结,3.不同精度的真误差计算单位权方差的基本公式,不同精度独立的真误差计算单位权中误差,4.由真误差计算中误差的实际应用,（一）由三角形闭合差求测角中误差,菲列罗公式,（二）由双观测值之差求中误差,由双观测值之差求得的单位权方差,精度：就是指在一定观测条件下，一组观测值密集或离散的程度，即反映的是：L与E(L)接近的程度。 精度是以观测值自身的平均值为标准的。
29、,第六节 系统误差与偶然误差的联合传播,准确度：是指观测值的数学期望与其真值得接近程度。 若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越低。,可见：精度高，不一定准确度也高！,精确度：精度和准确度的合成。,一、观测值的系统误差与综合误差的方差,设有观测值 观测量的真值为 ，则L的综合误差 可定义为 如果综合误差中只含有偶然误差，则： 如果中除包含偶然误差外，还包含系统误差，则：由于系统误差不是随机变量，所以的数学期望为可见，也是观测值L的数学期望对于观测值的真值的偏差值。观测值L含的系统误差愈小,愈小,L愈准确，有时也称 为L的准确度。,当观测值中既存在偶然误差，又存在残余的系统误差时，常常用
30、观测值的综合误差方差来表征观测值的可靠性。顾及系统误差是非随机量，所以综合误差的方差为即观测值的综合误差方差等于它的方差与系统误差的平方之和。当系统误差小于等于中误差的三分之一时，即当时，得在这种情况下，如果不考虑系统误差的影响，所求得的L的减小量不会大于5%。,二、系统误差的传播,设有观测值的真值、综合误差和系统误差，则：又设有观测值的线性函数： ，则线性函数的综合误差与各个 的综合误差之间的关系式为： 对上式取数学期望得：所以得：上式就是线形函数的系统误差的传播公式。,对于非线性函数： ，可以用它们的微分关系代替它们的误差之间的关系，然后按线性函数的系统误差的传播公式计算：令：则有线性函数
31、：同样有：,三、系统误差与偶然误差的联合传播,当观测值中同时含有偶然误差和残余的系统误差时，还有必要考虑它们对观测值的函数的联合影响问题。这里只讨论独立观测值的情况。 设有函数： 观测值的综合误差为： 函数Z的综合误差为： 函数Z的综合误差方差为：,习题,1.下列各式中的 均为等精度独立观测值，其中误差为 ，试求X的中误差。,2.若要使两已知高程点间布设一条附和水准路线，已知每千米观测中误差等于5.0mm，欲使平差后线路中点C高程中误差不大于10mm，问该路线长度最多可达几千米？,作业 已知水准点A、B（其高程无误差）间布设水准路线，路线长度为S1=2km,S2=6km,S3=4km,设每千米观测高差中误差 ，试求：,（1）将闭合差按距离分配之后P1、P2两点间高差的中误差； （2）分配闭合差后P1点高程的中误差。,
