1、数学建模培训,主讲教师：任驰远,建模一般步骤及范例,群体思维方法,平等地位、相互尊重、充分交流 杜绝武断评价 不要回避责任 不要对交流失去信心,发散性思维方法,借助于一系列问题来展开思路 这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路 抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法,建模一般思维方法,数学建模的一般步骤,问 题 分 析,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特
2、征,形成一个 比较清晰 的问题,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,建 立 模 型,用数学的语言、符号描述问题,发挥想象力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术.,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析.,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.,模型应用,数学建模的一般步骤,1、问题分析,问题的前期分析 包括： 明确问题、分析条件、分析数据,为什么问题前期分析至关重要？,数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:,* 提出问题的人未
3、能清楚地表述问题 .,* 不同领域的人交流出现故障.,* 各领域的应用者提出问题时，未给出恰当 的条件.,* 未能准确理解问题.,对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向.,(1) 明确问题,例1 一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见.,“究竟需要做什么？”,为明确问题 ,可向有关人员询问如下问题：,1. 公司的规模有多大？,2. 该公司的推销员的工作方式？,遇到一个新问题时,首先应问自己,着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析,原问题“推销员人数问题” 明确为：,（1）不同规模的销售队伍会有什么影响；,（
4、2）怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.,明确了工作的目标, 即设置好问题的目标态.,(2) 条件及数据分析,设置好问题的目标态，着手工作还需要做 以下工作：,1. 收集必要的资料和数据。,2. 分析现有的数据和条件，使问题进一步明确化。,怎样收集数据和资料？,可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、 通过试验来得到。,收集数据应列入工作计划，并注意：,1. 向有关人员调查情况应事先设计好问题；,2. 事先确定所需资料清单、资料来源、 收集方式。,有条理的收集计划可以为后期的工作 创造良好的条件,对收集到的或者现有的资料和数据要做 仔细分析，使问题进一步明确。,5. 哪些条件是可以变动的？等等
5、,2. 数据来源是否可靠？,3. 所给条件有什么意义？,4. 哪些条件是本质的？,还应该分析,1. 从数据中可得到什么信息？,建模过程中的几个要点,模型的整体设计,合理的假设,建立数学表达式,建立数学结构,时刻 牢记 建模 目的,2、建立模型,完整的数学模型应该同时描述出 有关因素之间的数量关系和结构关系。,应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个 模型中的地位和作用.,例1 考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水.,问题：怎样才能有效地保障各用户的正常用水？,(1)模型的整体设计,按下述步骤对模型进行整体设计,1. 分析系统的组成部分（研究对象、实体）,相
6、关实体有：水库,管道,水箱和用户.,* 实体间的结构关系可表示如下：,水库,管道,水箱,用户,* 以上各实体都可能是我们的研究对象.,* 应分析相对于各个实体的因素对供水的影响,2. 分析各实体之间的关系,找出联系各实体 的变量.,实体之间的作用关系图,各实体之间的关系,管道与水箱：管道的水流量,水库与管道：水库的水深,水箱与用户：出水口的水流量（或有效水深）,用户：总用水量,3. 根据各实体的相互关系，提炼整理需考虑 的变量以及变量之的关系表达式.,假设“水库能保证管道所需的水流量”， 现需考虑t 时刻以下变量：,* 总需水量D(t)；,* 水箱的有效储水量Q(t)及 QM ；,或流出水流量
7、F（t）及 FM ；,* 管道能提供的供水量G(t)及GM.,分析各变量的特征：,* D(t)不可控，但可以对其进行描述；,* G(t)是可控变量。,4. 用数学语言描述要解决的问题,选择适当的函数G(t)，使得,有 Q(t)=G(t)F(t), F(t)=D(t),0G(t)GM， 0Q(t)QM， 同时成立.,建模工作的整体设计:,1）确定需求函数D（t），是保证有效控制 的基础；,2）制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣；,3）求出相对于评价指标最优的水箱供水方案；,4）分析各种参数对方案的影响；,5）分析随机因素的影响.,模型整体设计的作用,1）可将整个建模过程分解为一些可串行或并行的
8、子任务。,2）可把握住工作的重点、要点和难点.,做出模型的整体设计后，着手建立模型 之前，撰写一份工作提纲.,建议:,(2) 做出假设,根据对象的特征和建模的目的对问题进行 必要的、合理的简化，用精确的语言做出假 设，是建模的关键步骤。,合理假设的作用,简化问题,明确问题,限定模型的 适用范围,一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。,例2 飞行管理问题中有叙述：“对以下数据 进行计算（方向角误差不超过0.01度）”,如何理解？,通过假设：,* 所给飞行方向角数据的误差不超过0.01度.,或 * 数据的运算结果误差限控制为0.01度.,使问题完全明确.,例3 渔业管理问题中关于“季
9、节性集中产卵繁殖” ,如何理解“产卵孵化期是一年的最后四个月” ？,最优捕鱼策略,飞行管理模型,有以下几种假设:,* 产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内， 从而孵化也是均匀进行.,* 产卵时间服从方差很小的正态分布.,* 鱼群的个体在后四个月的第一天集中产卵， 在最后一天孵化出来.,哪一条“最好”？,第三种与第二种没有本质的差别， 处理较容易.,分析：第一种不符合鱼类的生物学实际；,第二种比较符合实际，但大大增加了解决 问题的难度；,假设起到简化问题的作用,假设“渔场是非开放式的，不与其它水域发生 关系，从而构成独立的生态群落”,将建立的数学模型限定在一定的适用范围.,设计假设应遵循的原则,
10、* 假设应是有依据的，基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；,* 善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量 使问题简化.,* 避免过于简单、过于详细或不合理.,例4 渔业管理问题中有条件：“平均每条 4 龄鱼的产卵量为1.109105个，3 龄鱼的产卵量 为这个数的一半，2 龄鱼和1 龄鱼不产卵”.,分析：为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件.,* “平均每条鱼的产卵量”理解为对所有鱼的 平均， 故在计算总产卵量时，不考虑雌雄区别.,有两种假设：,* 雌雄鱼的比例是1:1；,哪一种较为合理？,最优捕鱼策略,可假设：* 每到次年初，头一年的1、2、3 龄鱼均增1岁，将5龄鱼归并为4龄鱼.,合理
11、性解释：事实上，资料表明此种鱼的寿 命一般为3年，另一方面经过捕捞后4 龄鱼的数 量很少，可以忽略不计.,对于假设： * 有时需要对假设以及假设的推论进行检验；,问题： 当年的4 龄鱼，第二年如何处理？,* 应意识到隐含的假设.,3、求解模型,求数学模型的解重要而困难,求解纯数学问题,求解数学模型,* 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助 与背景知识.,* 针对现实问题建立的数学模型，往往仅可求数值解.,* 有类问题可采用分析法得到问题的实际解答(如微分方程定性分析).,4、模型解的分析和检验,始于现实世界并终于现实世界,数学建模工作,最终要得到现实问题的解答,求出模型的数学解以后， 必须对解
12、的意义进行分析、检验,需讨论以下类似问题：,1. 这个解说明了什么问题？,2. 是否达到了建模的目的？,3. 模型的适用范围怎样？,4. 所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有原理性错误、常识性错误？,量纲一致性检验； 假设的合理性检验； 对模型参数的灵敏度分析； 模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等； 参数或变量的临界值；,模型与模型解的分析与检验，通常需要做 以下几类工作：,一个例子：Google搜索引擎的奥妙,引言 互联网的高速发展使得网络上的信息量爆炸似的增长，高效搜索信息越来越重要，信息引擎已经成为除电子邮件之外的第二大互联网网应用。 在众多搜索引擎中，Google以其庞大
13、的搜索量，快速而精确的搜索结果和极高的知名度成为搜索引擎的代名词。 可是你知道它是如何工作的吗？,1、Google及其查询过程,2、搜索引擎需要完成的工作,从页面上可以看到，与关键词“math modeling”匹配的结果有3000多万条；与关键词“数学建模”匹配的关键词有130多万条；用户需要的显然不是所有，而是其中最重要的，如何实现快速的搜索，如何合理定义网页的重要性无疑是Google制胜的关键。 如何最快速最精确的提供搜索结果？ 搜索引擎完成的工作： 自动下载尽可能多的网页； 建立快速有效的索引； 根据相关性对网页进行公平准确的排序。,2、搜索引擎需要完成的工作,从页面上可以看到，与关键
14、词“math modeling”匹配的结果有3000多万条；与关键词“数学建模”匹配的关键词有130多万条；用户需要的显然不是所有，而是其中最重要的，如何实现快速的搜索，如何合理定义网页的重要性无疑是Google制胜的关键。 如何最快速最精确的提供搜索结果？ 搜索引擎完成的工作： 自动下载尽可能多的网页； 建立快速有效的索引； 根据相关性对网页进行公平准确的排序。,它要用到图论中的遍历（Traverse) 算法。 图论中所讨论的的图由一些节点和连接这些节点的弧组成。如果我们把中国的城市当成节点，连接城市的国道当成弧，那么全国的公路干线网就是图论中所说的图。关于图的算法有很多，但最重要的是图的遍
15、历算法，也就是如何通过弧访问图的各个节点。 以中国公路网为例，我们从北京出发，看一看北京和哪些城市直接相连，比如说和天津、济南、石家庄、南京、沈阳、大同直接相连。我们可以依次访问这些城市，然后我们看看都有哪些城市和这些已经访问过的城市相连，比如说北戴河、秦皇岛与天津相连，青岛、烟台和济南相连，太原、郑州和石家庄相连等等，我们再一次访问北戴河这些城市，直到中国所有的城市都访问过一遍为止。这种图的遍历算法称为“广度优先算法”（BFS)，因为它先要尽可能广地访问每个节点所直接连接的其他节点。 外还有一种策略是从北京出发，随便找到下一个要访问的城市，比如是济南，然后从济南出发到下一个城市，比如说南京，
16、再访问从南京出发的城市，一直走到头。然后再往回找，看看中间是否有尚未访问的城市。这种方法叫“深度优先算法”（DFS)，因为它是一条路走到黑。这两种方法都可以保证访问到全部的城市。,需要记录已经访问过的城市，以防同一个城市访问多次或者漏掉哪个,如何自动下载互联网所有的网页呢？,通过超链接，我们可以从任何一个网页出发，用图的遍历算法，自动地访问到每一个网页并把它们存起来。完成这个功能的程序叫做网络爬虫，或者在一些文献中称为“机器人”（Robot)。 假定我们从一家门户网站的首页出发，先下载这个网页，然后通过分析这个网页，可以找到藏在它里面的所有超链接，也就等于知道了这家门户网站首页所直接连接的全部
17、网页，诸如雅虎邮件、雅虎财经、雅虎新闻等等。我们接下来访问、下载并分析这家门户网站的邮件等网页，又能找到其他相连的网页。我们让计算机不停地做下去，就能下载整个的互联网。当然，我们也要记载哪个网页下载过了，以免重复。在网络爬虫中，我们使用一个称为“哈希表”(Hash Table)的列表而不是一个记事本纪录网页是否下载过的信息。,现在的互联网非常巨大，不可能通过一台或几台计算机服务器就能完成下载任务。比如雅虎公司（Google 没有公开数目，这里举了雅虎的索引大小为例）宣称他们索引了 200 亿个网页，假如下载一个网页需要一秒钟，下载这 200 亿个网页则需要 634 年。因此，一个商业的网络爬虫
18、需要有成千上万个服务器，并且由快速网络连接起来。如何建立这样复杂的网络系统，如何协调这些服务器的任务，就是网络设计和程序设计的艺术了。,如何建立快速的索引？,世界上不可能有比二进制更简单的计数方法了，也不可能有比布尔运算更简单的运算了。尽管今天每个搜索引擎都宣称自己如何聪明、多么智能化，其实从根本上讲都没有逃出布尔运算的框框。 布尔代数简单得不能再简单了。运算的元素只有两个1 （TRUE， 真) 和 0（FALSE，假)。 你们也许会问这么简单的理论能解决什么实际问题。事实上在布尔代数提出后80 多年里，它确实没有什么像样的应用，直到 1938 年香农在他的硕士论文中指出用布尔代数来实现开关电
19、路，才使得布尔代数成为数字电路的基础。所有的数学和逻辑运算，加、减、乘、除、乘方、开方等等，全部能转换成二值的布尔运算。,文献检索和布尔运算的关系 对于一个用户输入的关键词，搜索引擎要判断每篇文献是否含有这个关键词，如果一篇文献含有它，我们相应地给这篇文献一个逻辑值 - 真（TRUE,或 1），否则，给一个逻辑值 - 假（FALSE, 或0）。 比如我们要找有关原子能应用的文献，但并不想知道如何造原子弹： 写一个查询语句“原子能 AND 应用 AND (NOT 原子弹)”。 每一篇文献对于上面每一个条件，都有一个 True 或者 False 的答案，根据上述真值表就能算出每篇文献是否是要找的
20、网页。 当然在查询时，不能将每篇文献扫描一遍，来看看它是否满足上面三个条件，因此需要建立一个索引。,最简单索引的结构是用一个很长的二进制数表示一个关键字是否出现在每篇文献中。有多少篇文献，就有多少位数，每一位对应一篇文献，1 代表相应的文献有这个关键字，0 代表没有。 比如关键字“原子能”对应的二进制数是0100100001100001.，表示第二、第五、第九、第十、第十六篇文献包含着个关键字。 同样，我们假定“应用”对应的二进制数0010100110000001.。那么要找到同时包含“原子能”和“应用”的文献时，只要将这两个二进制数进行布尔运算 AND。根据上面的真值表，我们知道运算结果是0
21、000100000000001.。表示第五篇，第十六篇文献满足要求。注意，计算机作布尔运算是非常非常快的。现在最便宜的微机都可以一次进行三十二位布尔运算，一秒钟进行十亿次以上。当然，由于这些二进制数中绝大部分位数都是零，我们只需要记录那些等于1的位数即可。,布尔运算它的最大好处是容易实现，速度快，这对于海量的信息查找是至关重要的。它的不足是只能给出是与否的判断，而不能给出量化的度量。因此，所有搜索引擎在内部检索完毕后，都要对符合要求的网页根据相关性排序，然后才返回给用户。 查找关于“原子能的应用”的网页。我们第一步是在索引中找到包含这三个词的网页。现在任何一个搜索引擎都包含几十万甚至是上百万个
22、多少有点关系的网页。那么哪个应该排在前面呢？显然我们应该根据网页和查询“原子能的应用”的相关性对这些网页进行排序。因此，这里的关键问题是如何度量网页和查询的相关性。,如何确定网页和查询的相关性 ？,短语“原子能的应用”可以分成三个关键词：原子能、的、应用。根据我们的直觉，我们知道，包含这三个词多的网页应该比包含它们少的网页相关。 漏洞：就是长的网页比短的网页占便宜。 因此我们需要根据网页的长度，对关键词的次数进行归一化，也就是用关键词的次数除以网页的总字数。我们把这个商称为“关键词的频率”，或者“单文本词汇频率”（Term Frequency)，概括地讲，如果一个查询包含关键词 w1,w2,.
23、,wN, 它们在一篇特定网页中的词频分别是: TF1, TF2, ., TFN。 （TF: term frequency)。 那么，这个查询和该网页的相关性就是: TF1 + TF2 + . + TFN。 漏洞：词“的”的词频对确定网页的主题几乎没有用。称这种词叫“应删除词”（Stopwords)，也就是说在度量相关性是不应考虑它们的频率。 另一个小的漏洞。在汉语中，“应用”是个很通用的词，而“原子能”是个很专业的词，后者在相关性排名中比前者重要。 需要给分解的关键词给一个权重。一个词预测主题能力越强，权重就越大，反之，权重就越小。,我们很容易发现，如果一个关键词只在很少的网页中出现，我们通过
24、它就容易锁定搜索目标，它的权重也就应该大。反之如果一个词在大量网页中出现，我们看到它仍然不很清楚要找什么内容，因此它应该小。概括地讲，假定一个关键词 在 个网页中出现过，那么 越大， 的权重越小，反之亦然。在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数” （Inverse document frequency 缩写为），它的公式为（）其中是全部网页数。比如，我们假定中文网页数是亿，应删除词“的”在所有的网页中都出现，即亿，那么它的log(10亿/10亿）= log (1) = 。假如专用词“原子能”在两百万个网页中出现，即万，则它的权重log(500) =6.2。又假定通用词“应用”，出现在五
25、亿个网页中，它的权重 = log(2)，则只有 0.7。也就只说，在网页中找到一个“原子能”的比配相当于找到九个“应用”的匹配。利用 IDF，上述相关性计算个公式就由词频的简单求和变成了加权求和，即 TF1*IDF1 + TF2*IDF2 . + TFN*IDFN。,TF/IDF（term frequency/inverse document frequency) 的概念被公认为信息检索中最重要的发明。在搜索、文献分类和其他相关领域有广泛的应用。 其实，信息论的学者们已经发现并指出，其实 IDF 的概念就是一个特定条件下、关键词的概率分布的交叉熵（Kullback-Leibler Diverg
26、ence) 。这样，信息检索相关性的度量，又回到了信息论。,如何确定网页的排名？,Page Rank Google 的民主表决式网页排名技术 Google 革命性的发明是它名为 “Page Rank” 的网页排名算法，这项技术彻底解决了搜索结果排序的问题。 Google为了提供搜索者想要的信息，达到完美的搜索引擎功能，采用“网页级别(Pagebank)”与“页面分析”两种技术来确保检索质量与精确率，所谓Pagebank技术是基于整个网络的链接结构，按网页链接广泛程度来决定网页的重要性，而“页面分析”也就是前面所讲的相关性的分析。Google将最相关和最可靠的结果放在搜索结果的顶端，一般而言，P
27、agebank对于排名的影响还是比页面分析高。,Pagebank技术通过对多达80多亿个的网页进行重要性分析，利用网络链接结构对网页进行组织整理。基本的原理是：如果网页A链接到网页B，Google就认为“网页A投了网页B一票”，这是80多亿个网页之间的海选，每个网页都有选举权，也有被选举权，投票次数不限。初看起来这样的选举不是很有序，公平性似乎无从谈起，关键在于如何“计票”，一个网页的Pagebank并不是它的得票数。 假设Google数据库中网页的集合为W，该集合元素的格式为N，为了描述这些网页之间的关系，定义一个N*N的方阵G=(gij).如果从网页j到网页i有超链接，则gij=1,否则为
28、零，显然G是巨大的但是非常稀疏的矩阵，其中非零元素的总数即是网页之间超链接的总数。,计算得到该Markov链的平均分布为：x=(0.2330 0.2447 0.1965 0.1240 0.0777 0.1240)，这就是6个网页的Pagebank.,编号为2的网页在选举中仅仅得到一票，但是它的Pagebank要高于其它得到一票的网页，原因在于它的一票来自网页ALPHA，这个网页的Pagebank也比较高，所以这是合理的。,理论问题解决了，又遇到实际问题。因为互联网上网页的数量是巨大的，上面提到的二维矩阵从理论上讲有网页数目平方之多个元素。如果我们假定有十亿个网页，那么这个矩阵 就有一百亿亿个元
29、素。这样大的矩阵相乘，计算量是非常大的。Google 的两个创始人拉里佩奇 （Larry Page ）和谢尔盖布林 (Sergey Brin)两人利用稀疏矩阵计算的技巧，大大的简化了计算量，并实现了这个网页排名算法。今天 Google 的工程师把这个算法移植到并行的计算机中，进一步缩短了计算时间，使网页更新的周期比以前短了许多。 今天，Google 搜索引擎比最初复杂、完善了许多。但是网页排名在 Google 所有算法中依然是至关重要的。在学术界, 这个算法被公认为是文献检索中最大的贡献之一，并且被很多大学引入了信息检索课程 (Information Retrieval) 的教程。,地面上存在
30、着n个接收站与n个发送站，而在通讯卫星上则设置了若干种开关模式。开关模式可用矩阵P=(pij)表示，若卫星可接收发送站i发射的信息并将信息送回地面的接收站j，矩阵中的元素pij =1，否则pij =0。通讯卫星上的接收发送任务也可以用一个矩阵T=（tij）来表示，其元素tij为需经通讯卫星传递的由i发点发送到j接收点的信息量的传送时间长度。由于技术原因，当发送站i在发送给接收站j信息时，它不能同时发送给别的接收站信息；同样，当接收站j在接收发送站i的信息时，也不能同时接收其他发送站发送的信息。你的任务是：,另一个例子：通讯卫星上的开关设置,设计一组开关模式，k=1, ,r（注：r应当尽可能小）
31、，使得对任意给定的任务矩阵T，卫星开关设置均能完成要求的发接收任务。 设计一个算法，在发接收任务T给出后，可根据你设计的开关模式（k=1,r）求出各开关的使用时间，使得在完成预定传送任务的前提下使用各开关模式的总时间短。 同样由于技术上的原因，开关模式的总数r有一个上限。当需要传送的任务数数量较大时，仍无法分派任务。要求想一些办法来解决这一困难，（当然，这时可能要作出一些牺牲，即传送时间可能会增加一些）。,即要求设计开关系统及使用方法，达到以下目的：,（1）开关数量要少（控制在一个合理的范围内） （2）使用卫星上的开关时应尽量节省卫星租用时间 （3）设计具体操作方法,问题及模型,问题的标准形式
32、为：在地面上存在着n个收站与n个发战，而在通讯卫星上则设置了若干种开关模式。开关模式可用矩阵P=(pij)来表示，若卫星可接收发射站i发射的信息并将信息传送回地面的接收站j时，矩阵元素pij =1，否则pij =0。通讯卫星的接发任务也可用一矩阵T=（tij）来表示，其元素tij为需经通讯卫星传递的由i发点发送到j接受点的信息量的传送时间长度。问题要求求r并设计一组开关模式Pk，k=1, ,r及模式Pk的使用时间k，使得在完成预定传送任务的前提下各开关模式使用的总时间最短，即要求求解下面的问题：,一个实例设,这是一个有3个发送站与3个接收站的实例，tij在矩阵中已给出，例如由发站1传送到收站1
33、的通讯量为3单位时间等。,分析 容易看出，三个发站需传送的时间分别为6、5、5；而三个收站需接收的时间分别为6、3、7。为完成全部传送任务，通讯卫星总传送时间至少应为7单位时间，即的下界为7。,由于技术上的原因，当发站i在发送给收站j信息时，它不能同时发送给别的收站信息；同样，当收站j在接收发站i的信息时，也不能同时接收其他发站发送的信息。这一要求说明，任一开关模式Pk应具有以下性质：（1）Pk的每一行中有且只有一个1，每一列中也有且只有一个1；（2）所有的1均位于不同的行列中。,满足（1）、（2）的矩阵 被称为置换矩阵，n阶置换矩阵Pk共有n!个，当n较大时，我们不可能在通讯卫星上设置这么多
34、种不同的开关模式。因而，为了设计出切实可行的开关模式，我们还得另想办法。（问题）至少要多少种开关模式？ 易见，必须有,（设计方法1）,注意到Pk每行（或列）元素之和均为1，故不管如何指派开关的使用时间（即不论如何取k），矩阵,均具有某些特殊的性质，例如其行和（及列和）均为同一常数。这样的矩阵构成一个线性空间（参见Drer魔方），为减少开关模式的种类，可取此空间的一组基底作为开关模式。在使用这种开关模式时，无论T的元素tij怎么取，通讯卫星对每一发（收）点的开通时间总和是恒定的。在这种开关模式下，可按如下方式指派各开关模式的使用时间：,步1 先将T改变为 ， 满足：,将T化为 的方法一般有无穷多
35、种，如可如下化法：,令 事实上， ，（即通讯卫星传送总时间的下界）。,令,其中,用这种方法化例中的T，得到,的任一行（或列）中元素之和均为7。,定义1 称行和、列和均相等的矩阵为双随机矩阵（Doubly stochastic matrix）,定理1 （Birkhoff定理，1944）任一n阶双随机矩阵均可写成至多（n1）2+1个置换矩阵的非线性组合。,的分解方法可如下进行：,步1 选取由Pij0可推出 0的置换矩阵P,步2 确定,步3 取 ，用 代替,步4 若 =0，停；否则，返回步1。,例2. 为方便起见，我们来分解一个元素均为非负整数的3阶双随机矩阵， （由Birkhoff定理，r5）,解
36、：取 ，=min 1, 3, 3 =1,因min 5, 5, 3 = 3，又有,，取,于是又有,易得分解结果为：,尚需解决的问题是如何求P，使得Pij0必有 。读者不难发现，此问题可以通过求解一个两分图上的最大流（或最大匹配）来实现，计算量为O(n4)，是多项式时间可解的。具体方法为：作一两分图，若 ，则作边（i, j），令边容量为1，这样，可作出P的充要条件是该最大流问题的最大流量为n。对例9.33，n=3。由于所有 ，先取,， P1为,于是又可求得,，相应的两分图为：,又可得 ，如此下去，直到作不出P为至，由于 的特殊性质及Birkhoff定理，上述分解必能在不超过r= (n1)2 + 1
37、步内终止。,上述开关设计方法要求在通讯卫星上设置(n1)2 + 1种不同的开关模式（即Pk），当n稍大时，(n1)2 + 1仍显得太大而使得使用时不便。例如，当n=41时，(n1)2 + 1=1601。为实用方便，人们研究了限止开关模式个数的相应问题。,若要求rn，即要求通讯卫星上至多设置n种开关模式，则问题化为令rn，求不超过n个置换矩阵Pk及k，使之满足：,min S.t,为了使任意一对发射法与接收站之间的传送均为可能实现的，自然应要求 Pk满足,（1）,（2）,（右面的矩阵有n2个值为1的分量，每一Pk 恰有n个1分量）故r=n。,容易看出，（1）隐含着T的每一元素只能被唯一的P复盖，即
38、T的元素在分解中是不可分割的，这当然是一个好性质，使实际操作时较为方便，但可惜的是对一般的双随机矩阵，分解很可能无解。,例3 若取,（注意：T已是双随机矩阵，行和列和均为10）,则min,S.t,的解为1=3，2=4，3=5。,（大于10）而,但等号经常并不成立。1985年，FRendel证明，在给定满足（2）的置换矩阵P1,Pn后，求解问题（1）是NP难的，从而不可能存在多项式时间算法，除非P=NP。,现要求r2n,一种自然而方便的开关设置为引入两组各有n个开关模式的置换矩阵P1,Pn，Q1,Qn，满足下面的（5.3)式：,例如，当n=3时，可令：,（注：这种设置方法保持了其内在的对称性，不
39、失为一种明智的做法。）,现在，我们来分解例9.33中的双随机矩阵 ，令 = ，得方程组,求出各对角线与反对角线上的三个元素之和，并作一些简单的消去运算； 将矩阵的所有元素相加，可得下面的方程组：,注意到（5.3），易证空间 的维数为 5，故 之一可任取，（稍加注意即可保持非负性），例如，令3=0，求得 ，故有,读者不难验证，上述方法可推广到n是奇数的一般情况。事实，由各对角线元素之和可导出n1个方程，由各反对角线元素之和又可导出n1个方程，加上矩阵所有元素之和导出的等式，共计可导出2 n1个方程，并易知它们是独立的。另一方面空间 的维数恰为2 n1，故 之一可任取，而通过方程组解得所有的 ，（
40、只须注意保持其非负性即可）,但当n为偶数时，情况就不大相同了。让我们先来观察一下n=4的情况。 当n=4时，,易见， 具有非常特殊的结构，一般的偶数阶双随机矩阵，即使其元素是非负整数，也无法用Pk、Qk来分解。,当 具有上述结构时，能否用Pk和Qk来分解呢？易见，由各对角线元素之和可导出：,另外，由反对角线元素之和又可导出,上述方程中只有6个是独立的，且已不可能再得出新的独立方程，（读者可自行分析之）故可选取其中2个的值，进而可解出其余。例如，若令4= 3=0，可得 2=1， 1=0，进而可求得 1=2， 4=3， 3=3及 2=4，已达到下界。,易见，P1 + P3 = Q2 + Q4，P2
41、 + P4 = Q1 + Q3，故空间 的维数为6，与上面的分析是一致的。,读者可将上述讨论推广到n为一般偶数的情况，分析方法是完全类似的。,当n是偶数时，我们虽无法将一般的双随机矩阵分解为Pk 、Qk的非负组合，但上述讨论仍然是十分有意义的。首先，要求完成的任务矩阵是T，在将T转换成不小于它的双随机矩阵时我们可尽量使其具有上述的特殊结构（有兴趣的读者可自行研究这一问题），只要能做到这一点，即可给出一个达到下界的开关模式的指派方式。其次，即使这样的努力没有成功，也容易给出一个具有上述特殊结构 矩阵， 并使 尽可能地小，即给出一种开关指派的近似最佳方法，由此可设计出效果较好的近似算法。,由于技术
42、水平的提高，目前通讯卫星传送信息已允许一个发射站同时向多个接收站发送信息，当然，同时发送的信息条数具有某一上限，例如上限为v。1987年，J.L.Lewandowski和C.L.Liu研究了如下更一般的问题：,给定一正整数v，（v为通讯卫星传送容量的总限止），求开关模式M：= ：= ; (0, 1) | , i= 1, , m; ,i= 1, , n, 的设计，要求所用的开关模式总数量r尽可能小，且,有解，其中T为信息传送量矩阵（需满足一定要求），ak为开关模式Mk的使用时间。他们设计了一个求解此问题的O(n5)算法，有兴趣的读者可直接阅读他们的论文。,本题有许多问题值得研究，例如： 问题1：
43、开关数最小（至少多少只？） 问题2：化双随机矩阵的方法 问题3：双随机矩阵空间的维数 问题4：怎样减少开关数量（限制开关数）n只、2n只， 问题5：分解方法（开关数少、使用时间短） （1）开关确定后的分解方法 （2）使卫星利用率最高-NP难近似方法 问题6：推广问题的研究,小 结：,内容,赛题：工程、管理中经过简化的实际问题,答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文,形式,3名大学生组队，在3天内完成比赛,可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等), 但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）,宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的
44、合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。,数学建模竞赛内容与形式,CUMCM题目特点,题目来源: 实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题,题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深,题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容,解题所用的数学方法尽量多元化、综合化,可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献,兼顾数据的处理与数据的收集,竞赛培养创新精神和综合素质,赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力,解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究
45、的能力,没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神,综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力,数学建模竞赛三阶段,竞赛三阶段: 赛前培训、三天竞赛、赛后继续,2004年的“饮酒驾车”赛题是让学生分析、估计司机饮用少量酒后多长时间驾车才符合交通规则,重庆某校师生与当地交警大队联系，由交警大队安排司机做试验，由师生分析：根据司机肇事时的血液酒精浓度推测他饮用了多少酒；根据司机肇事若干时间后的血液酒精浓度推测他肇事时的浓度,该成果参加第九届“挑战杯”全国大学生课外学术科技作品竞赛并获奖,2006年赛题“出版社的资源配置”由高
46、教社提供的素材形成,赛后高教社批准了与该题相关的研究项目，吸取竞赛优秀论文的创意和一些大学生参加，进行实用研究,“一次参赛，终生受益”,学生在学习专业课、毕业设计阶段及进入社会后的发展中表现出明显的优势，不少人免试读研，得到用人单位和研究生导师的普遍欢迎,数学建模竞赛的赛后效果,竞赛反响一例：IBM 中国研究中心- 招聘条件Award in mathematical contest in modeling is a plus,历届竞赛赛题基本解法,近年题目,1.1 问题提出（出版社的资源配置）出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成
47、成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。,选讲一：出版社的资源配置,资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于
48、市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。(2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题)本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。附录附件1：问卷调查表；附件2：问卷调查数据（五年）；附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）；附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）；附件5：9个分社人力资源细目。,2.1基本情况出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程做出出版计划，付诸实施。,
