1、广东省清远市 2019 届高三第一学期期末教学质量检测理科数学试题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解出集合 N，然后进行交集的运算即可【详解】 M x|0 x2， N0，1，2； MN0，1，2故选： D【点睛】本题考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算，属于基础题2.设复数 满足 (其中 为虚数单位)，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将已知条件化为 ，再利用复数除法运算化简求得 的表达式.【
2、详解】依题意可知 ，故 ，故选 C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数除法的求解方法以及运算求解能力，属于基础题.3.等比数列 中，满足 ，且 成等差数列，则数列 的公比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据 ，且 成等差数列，列出关于公比 的方程，从而可得 的值.【详解】因为 ，且 成等差数列，所以 ，即 ,解得 或 （舍去） ，所以数列 的公比为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式以及等差中项的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4.如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何体的体积为（ ）A. B
3、. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图判断出几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，由此计算几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，正方体的体积为 ，圆锥的体积为 ，故所求几何体的体积为 .故选 B.【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查正方体的体积公式，考查圆锥的体积公式，属于基础题.5.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得两项都合格以及两项都不合格的概率，用 减去这两个概率
4、求得恰有一项合格的概率.【详解】两项都合格的概率为 ，两项都不合格的概率为 ，故恰有一项合格的概率为 .故选 D.【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概率计算公式，考查利用补集的思想求事件的概率，属于基础题.6.如图，矩形 中曲线的方程分别是 ，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用定积分计算得阴影部分的面积，在利用几何概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】依题意的阴影部分的面积 ，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为 ，故选 A.【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查几何概型的识别以及其概率计算公式，属于基础题.7.世
5、界上最古老的数学著作莱茵德纸草书中有一道这样的题目：把 磅面包分给 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和是较小的三份之和，则最小的 份为（ ）A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅【答案】D【解析】【分析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为 的形式，由此求得最小 分的磅数.【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为 ，且公差为 ，依题意可知，即 ，解得 .故选 D.【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前 项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有 个基本量 ，利用等差数列的通项公式或前 项和公式，结合已知条件列出方程
6、组，通过解方程组即可求得数列 ，进而求得数列其它的一些量的值.8.下列命题中正确的是（ ）A. 在 中， 是 为等腰三角形的充要条件B. “ ”是“ ”成立的充分条件C. 命题“ ”的否定是“ ”D. 命题“若 ，则 或 ”的逆否命题是“若 或 ，则 ”【答案】B【解析】【分析】利用特殊的等腰三角形排除 A 选项，直接证明 B 选项正确，利用特称命题的否定是全称命题的知识排除 C 选项.利用逆否命题的知识排除 D 选项，由此得出正确选项.【详解】当 时，三角形为等腰三角形，但是 ，排除 A 选项.构造函数 ， ，故函数 在 上单调递增，所以当 时，即 ，故 B 选项正确.特称命题的否定是全称命
7、题， 不需要否定，故 C 选项错误.“ 或 ”的否定应该是“ 且 ”，故 D 选项错误.综上所述，本小题选 B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断，考查利用导数证明不等式，考查全称命题与特称命题的否定，考查逆否命题等知识，属于中档题.9.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象如图所示，则函数 的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据函数 g（x）的图象知，= = ，T=，= =2；由五点法画图知，x= 时，x+=2 += ，解得 = ；g（x）=sin（2x+ ） ；又 f（x）向左平移 个单位后得到函数 g（x）的图象，f（x）=sin2（x ）+ =s
8、in（2x ） 故选：A点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .10.已知 ，给出下列三个结论： ； ； .中所有的正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】代入 的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项.【详解】不妨设 ，满足 .代入验证 成立，代入成立，代入 错误，由此排除 B,C,D 三个选项，本小题选 A.【点睛】本小题主要考查利用特殊值进行实数比较大小，还考查对数的运算，属于基础题.11.在正方体 中， 分别在是线段 的中点，以下结论：直线丄直线 ；直线 与直线 异面；直线 丄平面 ；
9、 ，其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】在平面 内作出 的平行直线 ，根据中位线得到 ，由此得到错误.根据平面 得到正确，利用中位线及勾股定理证得正确.由此得出正确的个数为个.【详解】过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 .由于 分别为 的中点，故 ，故四边形 为矩形，故 ，由于，故判断错误.由于 ，所以 平面 ，所以 且直线 丄平面 ，即正确.由勾股定理得 ，故 ，故判断正确.综上所述，正确的个数为 个，故选 C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线垂直的判断，考查直线与直线平行的判断，考查线面垂直的证明，属于基础题.要判断两条异面直线
10、垂直，往往是通过线面垂直来证明，要证明线线平行，可以考虑用中位线来证明，要证明线面垂直则需要证明垂直平面内两条相交直线来证明.12.半圆的直径 ， 为圆心， 是半圆上不同于 的任意一点，若 为半径 上的动点，则 的最小值是（ ）A. 2 B. 0 C. -2 D. 4【答案】C【解析】【分析】将 转化为 ，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示， ,等号在 ，即 为 的中点时成立.故选 C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在
11、答题纸上）13. 的常数项是_【答案】-7【解析】【分析】根据乘法的分配率， 要乘以 中的常数项， 要乘以 中含 的项，将这两种情况相加，得到表达式的常数项.【详解】 展开式中的常数项为 ， 展开式中含 的项为 .由此 .【点睛】本小题主要考查二项式定理，考查乘法的分配率的理解和应用，考查分类计算的思想方法，属于基础题.14.设向量 ，若单位向量 满足 ，则 _【答案】 【解析】【分析】根据 ，即它们的数量积为零列方程，化简后可求得 的值.【详解】由于 ，故 ，即 ，解得 .【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查方程的思想，属于基础题.15.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测
12、试成绩中随机抽取 个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示） ，已知成绩在 的学生人数为 ，且有 个女生的成绩在 中，则 _；现由成绩在 的样本中随机抽取 2 名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为 ，则 的数学期望是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先利用频率和为 求得 的值.根据 的学生人数及频率，计算出 的值.根据 的频率计算出该组的总人数，利用超几何分布概率计算公式求得 分布列，由此求得 的数学期望.【详解】由 ，解得 .依题意 ，则.成绩在 的人数为 ，其中 个为女生， 个为男生. 的可能取值为 . ，故.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考
13、查超几何分布的概率计算公式，考查分布列的期望求法.属于中档题.对于频率分布直方图，要注意的有以下两点：一个是小长方形的面积和为 ，二个是频率分布直方图的纵坐标为 .超几何分布的计算公式，类似于古典概型的计算公式.16.对于三次函数 有如下定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.若点 是函数 的“拐点” ，也是函数 图像上的点，则函数 的最大值是_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，二次导函数，通过函数的“拐点” ，求出 b，化简函数 h（ x）x 为一个角的一个三角函数的形式，然后求解最大值【详解】 g（ x）3 x22 ax+b，
14、g（ x）6 x2 a，则 a3，又 g（1）3，得 b4，所以 h（ x）sin x+2cos2xsin x-2 +2,令 sinx=t,则 t ，即求 y= +t+2 ，t 时的最大值，当 时， y 有最大值 故答案为： .【点睛】本题考查函数的导数的运算，三角函数的化简及二次函数的最值问题，考查计算能力，属于简单的综合题三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分，答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤。其中第 17-21 题为必做题，每题 12 分，第 22-23 题为选做题，每题 10 分，考生只需做其中一道，若多做，只按所做的第一道题得分）17.在 中，角 的对边分别为
15、，且 .（1）求角 的大小；（2）已知 外接圆半径 , 且 ,求 的周长.【答案】 （1） （2）3+【解析】【分析】(1)由 ,利用降幂公式可得 ，从而得 ,结合范围 ，可求 的值；(2)结合 ，由正弦定理可求 ,利用余弦定理可得,解得 的值,可求周长.【详解】 （1） ，即 又 （2） ,由余弦定理可得 ， ， ， 所以得 ，周长 a+b+c=3+ 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明
16、化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18.一只红铃虫的产卵数 和温度 有关，现收集了 组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：温度 /产卵数 /个（I）根据散点图判断 与 哪一个更适宜作为产卵数 关于温度 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程（数字保留 位小数） ；（III）要使得产卵数不超过 ，则温度控制在多少以下？（最后结果保留到整数）参考数据： ， ，【答案】 （I）选择 更适宜作为产卵数 关于温度 的回归方程类型； （II）； （III）要使得产卵数不超过 50，则温度控制在 以下.【解析】【分析】
17、（I）由于散点图类似指数函数的图像，由此选择 .（II）对 ；两边取以 为底底而得对数，将非线性回归的问题转化为线性回归的问题，利用回归直线方程的计算公式计算出回归直线方程，进而化简为回归曲线方程.（III）令 ，解指数不等式求得温度的控制范围.【详解】 （I）依散点图可知，选择 更适宜作为产卵数 关于温度 的回归方程类型。（II）因为 ，令 ， 所以 与 可看成线性回归， 所以， 所以， 即， （III）由 即 ， 解得 ， 要使得产卵数不超过 50，则温度控制在 以下。【点睛】本小题主要考查散点图的判断，考查非线性回归的求解方法，考查线性归回直线方程的计算公式，考查了利用回归方程进行预测.
18、属于中档题.解题的关键点有两个，首先是根据散点图选择出恰当的回归方程，其次是要将非线性回归的问题，转化为线性回归来求解.19.如图，三棱柱 中，侧面 是菱形， .（I）证明： ；（II）若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.【答案】 （I）见解析； （II） .【解析】【分析】（I）连接 交 于点 ，连接 ，通过证明 以及 ，证得 平面，由此证得 ，根据垂直平分线的性质可知 .（II）先证得 平面，由此以 为原点建立空间直角坐标系，通过计算直线 的方向向量以及平面的法向量，由此求得线面角的正弦值，进而求得余弦值.【详解】 （I）证明：连接 交 于点 ，连接 ，因为四边形 为菱形，所以 且 为
19、中点,所以 平面 ，平面 ， 为 中点， 为 的垂直平分线， （II）已知 ， ，故由（I）知 则 ，又 又 平面 故以 为原点， 、 、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 则 、 、 、设平面 的一个法向量为 ，则 ，设 设直线 与平面 所成角为则 故直线 与平面 所成角的余弦值为 【点睛】本小题主要考查线面垂直关系的证明，考查利用空间向量计算直线和平面所成角的余弦值，属于中档题.在利用空间向量来求得线面角的过程中，首先要证明可以建立坐标系的条件，即共起点的三条线要两两垂直.要注意的是，利用公式计算出来的是线面角的正弦值，还需要通过同角三角函数的基本关系式转化为余弦值.20.如图，已知椭圆
20、 的左、右焦点分别为 ， ，短轴的两端点分别为 ，线段 ， 的中点分别为 ， ，且四边形 是面积为 8 的矩形（）求椭圆 的方程；（）过 作直线 交椭圆于 ， 两点，若 ，求直线 的方程【答案】 （1） ； （2） 或 .【解析】【分析】（I）通过矩形 的面积和对角线长相等列方程组，结合 ，解得 的值，从而求得椭圆方程.（II）当直线 的斜率不存在时，直接得出直线 的方程，代入椭圆方程求得 两点的坐标，代入 验证出不符合题意.当直线 的斜率存在时，设出直线 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，将坐标代入 ，解方程求得直线 的斜率，由此求得直线 的方程.【详解】 （I）在矩形
21、 中，所以四边形 是正方形，所以又， 椭圆 C 的方程为 （II）由（I）可知 ，1）当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=-2,由 l：x=-2 不满足题意 2）当 l 的斜率为 k 时，设 l 的方程为 ，由则 综上所述，直线 l 的方程为 或【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数关系，考查向量的数量积运算，考查运算求解能力，运算较大，属于中档题.解题过程中，要注意直线斜率不存在的情况.第二问中，给定向量的数量积，这个是方程的思想，将坐标代入后解方程可求出相应参数的值.21.已知函数（I）讨论 的单调性；（II）当 ，是否存在
22、实数 ，使得 ，都有 ？若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】 （I）当 ， 在 为增函数；当 ， 在 为增函数，在 为减函数； （II） .【解析】【分析】（I）先求得函数 的定义域，对其求导后对 分成 两类，讨论函数的单调区间.（II）将不等式 等价转化为 恒成立，构造函数，利用其导数恒为非负数列不等式，分离常数后利用基本不等式求得 的取值范围.【详解】 （I） 的定义域为 ，当 ，则 ， 在 为增函数，令 ，解得 或 （舍去） ，所以，当 ， ， 在 为增函数；当 ， ， 在 为减函数，综上所述，当 ， 在 为增函数；当 ， 在 为增函数，在 为减函数。（II）不妨设 ，则
23、 ，假设存在实数 ，使得 ，都有 ，则 恒成立，即 恒成立， （*） 设 ，即（*）等价于 在 为单调递增等价于 在 恒成立， 等价于 在 恒成立，等价于 在 恒成立， ，当且仅当 取等号， ， 的取值范围为【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用分析法化简不等式，考查利用导数求解不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的数学思想.利用导数求函数的单调区间时，要注意先求出函数的定义域，要在函数定义域的范围内来研究函数的单调区间.分离常数法是解不等式恒成立问题中常用的方法.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号22.在平面直角坐标系中
24、，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线的参数方程为 （ 为参数， ）直线 的极坐标方程为.（I）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；（II）已知 ，直线 与曲线 的交点为 ，求 .【答案】 （I） ， （II）8【解析】【详解】 （I）由 得 （1）式除以 2 与（2）式平方相减得 ，曲线 C 的直角坐标方程为 由 得 ， 曲线 l 的直角坐标方程为 ； （II）由（I）可知，曲线 l 的直角坐标方程为 ，故曲线 l 是倾斜角为 的直线，点 A 在直线 l 上，则可设直线 l 的参数方程为 （ 为参数） 代入 ，并整理得： 。 设点为 M、N 对应的参数值分别为 ，
25、则|MA|NA|= =8.【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法;极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可.23.已知函数 .（I）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；（II）在（I）的条件下，若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （I） ； （II） .【解析】【分析】（I）将原不等式转化为 ，利用绝对值不等式的解法求得 的范围，对比题目所给已知条件，可求得 的值.（II）利用零点分段法将函数 表示成分段函数的形式，由此求得 的最小值，从而求得 的取值范围.【详解】 （I）由 ，得 则 ，即故得 。（II）由（1）得， 令则所以，若 对一切实数 恒成立，实数 的取值范围是 。解法二 由（1）得， =4 ， , 所以，若 对一切实数 恒成立，实数 的取值范围是 。【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值的不等式的解法，考查含有两个绝对值问题的求解策略，即零点分段法.属于中档题.
