1、2017-2018 学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中一年数学科试卷第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的）1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题 ，则 .故选 B2.函数 的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】要使函数有意义,则 得 , 即 , 即函数的定义域为 , 故选 C3.已知幂函数 的图象过（4，2）点，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可设 ,又函数图象过定点（4，2）, , ,从而可知 ，则.故选 A4.
2、设函数 ，若 ，则 的值为（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D【解析】由题 所以 解得 ，故选 D5.下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】对 A:定义域为 ，函数为非奇非偶函数，排除 A；对 B: 为奇函数, 排除 B；对 C: 在 上单调递减, 排除 C；故选 D6.已知函数 的图象恒过定点 A，若点 A 也在函数的图象上，则 =（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题函数恒过定点（0，2） ，所以 ，解得 b=1,故选 B7.用二分法求方程 的近似解，可以取的一个区间是（ ）A. B. C. D.
3、 【答案】C【解析】设 故选 C8.已知 ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题 ,所以 c1,所以函数的图象在 上单调递增，故选 D11.已知 ，则下列各式一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，此时 A,C 正确 当 时， ，此时 B,C 正确所以一定正确的是 C,故选 C12.已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可知 ，由于 ，由，由 ，又 ，所以 ，从而 ， ，故选 D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置上）13.已知集
4、合 ，则集合 子集的个数为_【答案】4【解析】,所以集合 子集有 共 4 个.14.计算： =_【答案】【解析】15.已知 是定义在 上的奇函数, 当 时, ,则 的值为_【答案】-7【解析】由已知 是定义在 上的奇函数, 当 时, ，所以，则 =点睛：利用函数的奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：若奇函数 在 处有定义，则 ；奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数 奇函数=偶函数 偶函数=偶函数；特殊值验证法16.如果存在函数 （ 为常数） ，使得对函数 定义域内任意 都有成立，那么称 为函数 的一个“线性覆盖函数” 给出如下四个
5、结论：函数 存在“线性覆盖函数” ；对于给定的函数 ，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个； 为函数 的一个“线性覆盖函数” ；若 为函数 的一个“线性覆盖函数” ，则其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】对：由函数 的图象可知，不存在“线性覆盖函数”故命题错误对：如 f（x）=sinx，则 g（x）=B（B1）就是“线性覆盖函数” ，且有无数个，再如中的函数 就没有“线性覆盖函数” ，命题正确；对：设 则当 时， 在（0，1）单调递增当 时， 在 单调递减，即为函数 的一个“线性覆盖函数” ；命题正确对，设 ，则 ，当 b=1 时， 也为函数的一个 “线性覆盖函数” ，故命题错误
6、故答案为三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集 ，集合 ,(1)求 ；(2)若集合 ，且 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】【详解】试题分析：(1)求出集合 A,B 进行运算即可（2）分 和 两种情况，结合数轴列出不等式和不等式组求解试题解析： (1) （2）当 时，即 ，所以 ，此时满足题意 当 时， ，即 时，所以 ，解得： 综上，实数 a 的取值范围是18.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ；（1）求函数 在 上的解析式并画出函数 的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）（2） （）写出函数 的单调递
7、增区间；（）若方程 在 上有两个不同的实数根，求实数 的取值范围。【答案】 （1） （2） （） 和 （）【解析】试题分析：（1）设 则 ， 有 ，结合 为奇函数，所以，可得 的解析式（2） （）由图象可得函数 的单调递增区间为 和 （）方程 在 上有两个不同的实数根，转化为函数 与 在上有两个不同的交点，由图象得 ，所以试题解析：（1）设 则所以又因为 为奇函数，所以所以 即 所以 图象（2） （）由图象得函数 的单调递增区间为 和 （）方程 在 上有两个不同的实数根，所以函数 与 在 上有两个不同的交点， 由图象得 ，所以所以实数 的取值范围为点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和
8、导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“， ”连接，不能用“”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.19.已知函数 .（1）当 时，判断并证明函数 在 上单调性。（2）当 时，若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围。【答案】 （1）单调递增（2）【解析】试题分析：（1）设 ，比较 和 0 的大小，从而得 在 上的单调性（2）首先 时可证明函数 为奇函数，且在 上单调递增，从而转化为 在 上有解，进而转
9、化为函数 与函数 有交点，所以 ，即试题解析：（1）当 时，函数 在 上单调递增，证明如下： 设 ，则因为 ，所以 ， ，又所以 即 所以，函数 在 上单调递增（2）当 时， ，定义域为所以，函数 为奇函数因为所以 由（1）知， 时，函数 在 上单调递增所以 在 上有解， 所以函数 与函数 有交点所以 ，即所以实数 的取值范围为点晴：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取 ，并且 （或） ；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止） ；（3）定号：判断 的正负（要注意说理的充分性） ，必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.20.近年来,“共享单
10、车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资 120 万元,根据行业规定,每个城市至少要投资 40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益 与投入 (单位:万元)满足 ,乙城市收益 与投入 (单位:万元)满足 ,设甲城市的投入为 (单位:万元),两个城市的总收益为(单位:万元).(1)当甲城市投资 50 万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【答案】 （1）43.5（2）当甲城市投资 72 万元,乙城市投资 48 万元时,总收益最大,且最大收益为 44 万元.【解析】(1)当 时,此时甲城市投资
11、 50 万元,乙城市投资 70 万元,所以总收益 = =43.5(万元).(2)由题知,甲城市投资 万元,乙城市投资 万元,所以 = =依题意得 ,解得 ,故 = ,令 ,则 ,所以 = = .当 ,即 万元时, 的最大值为 44 万元,所以当甲城市投资 72 万元,乙城市投资 48 万元时,总收益最大,且最大收益为 44 万元.21.已知函数（1）设 ，当 时，求函数 的定义域，判断并证明函数 的奇偶性；（2）是否存在实数 ，使得函数 在 递减，并且最小值为 1，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）奇函数（2）不存在【解析】试题分析：（1）当 时, 有意义，需要满足 ，
12、可得定义域，又 ，可得函数 为奇函数（2）假设存在实数 ,并设 ， ，所以 在 上单调递增， 由复合函数的单调性可知 ，所以要满足 可得解试题解析：（1）当 时，所以由 得， ，所以函数 的定义域为 ， 所以定义域关于原点对称又因为所以函数 为奇函数（2）假设存在实数令 ， ，所以 在 上单调递增， 又函数 在 递减， 由复合函数的单调性可知 ， 又 函数 在 的最小值为 1，所以 所以 ， 所以 所以 无解所以不存在实数 满足题意22.已知函数 的图象过点 。（1）求 的值并求函数 的值域；（2）若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围；（3）若函数 ， ，则是否存在实数 ，使得函数 的最
13、大值为 0？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。【答案】 （1） ，值域为 （2） （3）【解析】试题分析：（1）由 可得(2) 有实根,即方程 有实根，即函数 与函数有交点，即转化为函数 的值域问题.（3）函数 ， ，令 ，则 结合二次函数的图象和性质，分类讨论可得 a 的值.试题解析：（1）因为函数 的图象过点所以 ，即 ，所以 所以 ，因为 ，所以所以 所以函数 的值域为 （2）因为关于 的方程 有实根，即方程 有实根即函数 与函数 有交点，令 ，则函数 的图象与直线 有交点又 5 分任取 ，则 ，所以 ，所以所以 所以 在 R 上是减函数（或由复合函数判断 为单调递减）因为 ，所以所以实数 的取值范围是 （3）由题意知 ，令 ，则 当 时， ，所以当 时， ，所以 （舍去）综上，存在 使得函数 的最大值为 0
