1、泉州市 2019 届普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义即可得解.【详解】集合 ， ，则 ,故选 C.【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2.若复数 满足 ，则 的实部等于（ ）A. -3 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】由 可得 z 的表达式，根据复数的乘除运算即可化简 z,得出 的实部.【详解】由 可得 所以 的实部为 2，故选 D.【点睛】本题考查了复
2、数的乘除运算，属于基础题.3.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（bi no）.如图，网格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A. 6 B. 12 C. 18 D. 27【答案】D【解析】【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果【详解】根据几何体的三视图得知：该几何体是由一个底面以 3 和 4 为直角边的直角三角形和高为 3 的四面体构成，所以：S= ,故选 D.【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型4.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （
3、 ）A. 15 B. 30 C. 40 D. 60【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出【详解】S 3-S2=a3，a 3=6，S 5= ,故选 B.【点睛】本题主要考查了等差的性质以及前 n 项和等基础知识，考查了运算能力，属于基础题.5.设 ， 是条不同的直线， 是一个平面，以下命题正确的是（ ）A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】D【解析】【分析】逐项进行分析，在 A 中，l 与 m 相交、平行或异面；在 B 中，m 与 相交、平行或 m；在 C 中，m 或 m；在 D 中，由线面垂直的性质定理得 lm【详解】由 l
4、，m 是条不同的直线， 是一个平面，知：在 A 中，若 l，m，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 A 错误；在 B 中，若 l，ml，则 m 与 相交、平行或 m，故 B 错误；在 C 中，若 l，ml，则 m 或 m，故 C 错误；在 D 中，若 l，m，则由线面垂直的性质定理得 lm，故 D 正确故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意知该程序运行后输出分段函数 y，根据输入 x 的取值范
5、围求出函数 y 的值域即可【详解】由程序框图知，该程序运行后输出函数 y= 输入 x-2，1时，当x-2，0时，y=-x 2+2x=-（x-1） 2+1-8，0；当 x（0，1时，y（-1，2；综上所述，y 的取值范围是-8，2故选 B【点睛】本题主要考查了程序框图、条件结构、分段函数的应用问题，是基础题7.若 ， 满足约束条件 则 的最大值为（ ）A. 3 B. 5 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+2y 得 y=- x+ z 平移直线 y=-
6、 x+ z,由图象可知当直线 y=- x+ z,经过点 A 时，直线y=- x+ z 的截距最大，此时 z 最大联立两直线方程得 A（1，3） ，代入目标函数 z=x+2y 得z=1+23=7 故选 D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行可以求目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法8.函数 的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数为奇函数排除 A；再由当 x+时，y+，排除 B；利用导数判断单调性且求极值得答案【详解】函数的定义域为（-，0）（0，+） ，且 f（-x）=-f（x） ，函数为奇函数，排除 A；又当
7、 x+时，y+，排除 B；而 x0 时， , 可得 x=1 为函数的极小值点，结合图象可知，函数 的部分图象大致为 C故选 C【点睛】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题9.已知双曲线 的一个顶点到其渐近线的距离等于 ，则 的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】求出双曲线 的渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离，进而可得c，b 的关系，从而可求双曲线的离心率【详解】由题意，双曲线 的渐近线方程为 y x 即 bxay=0，顶点到渐近线的
8、距离为 双曲线 （a，b0）的顶点到渐近线的距离等于 = c=2b， ，故选 B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几何性质，属于中档题10.已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，有下列叫个结论： 在 单调递增； 为奇函数；的图象关于直线 对称； 在 的值域为 .其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由两角和的正弦公式和周期公式可得 f（x）的解析式，由图象平移可得 g（x）的解析式，由正弦函数的单调性可判断 p1；由奇偶性的定义可判断 p2；由正弦函数的对称性可判断 p3；由正
9、弦函数的值域可判断 p4【详解】函数 的最小正周期为 ，可得 f（x）=2sin(x+ ）的周期为T= 即 =2，即有 f（x）=2sin（2x+ ）将 f（x）的图象向右平移 个单位长度得到函数 g（x）的图象，可得 g（x）=2sin（2x- + ）=2sin（2x- ）由 x 可得 2x- 可得 g（x）在 单调递增，故 p1正确；g（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数，故 p2错误；由 g（ ）=2sin =-2，为最小值，y=g（x）的图象关于直线 x= 对称，故 p3正确；由 x 可得 2x- 即有 在 的值域为 故 p4错误故选 A【点睛】本题考查三角函数的图象变换和解析式的求
10、法，同时考查三角函数的奇偶性和单调性、对称性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题11.定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 f（x）是奇函数，以及 f（x+2）=f（-x）即可得出 f（x+4）=f（x） ，即得出 f（x）的周期为 4，从而可得出 f（2018）=f（0） ， ， 然后可根据 f（x）在0，1上的解析式可判断 f（x）在0，1上单调递增，从而可得出结果.【详解】f（x）是奇函数；f（x+2）=f（-x）=-f（x） ；f（x+4）=-f（x+2）=f（x） ；f（x）的周期为
11、4；f（2018）=f（2+4504）=f（2）=f（0） ， ,x0， 1时，f（x）=2 x-cosx 单调递增；f(0) ,故选 C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.12.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ，若球 的表面积为 ，则三棱锥 的侧面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由球 O 的表面积为 29，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值【详解】设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由
12、4R 2=29，得 4R2=29又 x2+y2+22=（2R） 2，得 x2+y2=25三棱锥 A-BCD 的侧面积：S=SABD +SACD +SABC = 由 x2+y22xy，得 xy 当且仅当 x=y= 时取等号，由（x+y） 2=x2+2xy+y22（x 2+y2） ，得 x+y5 ,当且仅当 x=y= 时取等号，S5 += 当且仅当 x=y= 时取等号. 三棱锥 A-BCD 的侧面积的最大值为 .故选 A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空
13、题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 ， ，若 ，则 _.【答案】2【解析】【分析】根据 即可得出 进行数量积的坐标运算即可求出 m 的值【详解】因为 所以 m=2故答案为 2【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.若函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 _.【答案】1【解析】【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，得到切线方程，然后代入（2，2）得到结果即可【详解】函数 f（x）=xlnx+a，可得 f（x）=lnx+1，所以 f（1）=1，又 f（1）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2） ，所以 2
14、=2-1+a，解得 a=1故答案为 1【点睛】本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力15.若 ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】由 求得 利用二倍角公式即可求解.【详解】由 2 = .故答案为 .【点睛】本题考查了三角恒等变换，配凑角的应用，属于中档题.16.已知 是椭圆 的右焦点，过原点的直线 与 交于 ， 两点，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求得椭圆的 a，b，c，取左焦点 F，可得四边形 MFNF为平行四边形，由椭圆定义可得|MF|+|NF|=4，设|MF|=x，x1，3，则|NF|=4-x，则 = ，运用导数求得单调性，可
15、得最值，即可得到所求范围【详解】椭圆 C： 的 a=2，b= ，c=1，可取左焦点为 F，连接 MF，NF，可得四边形 MFNF为平行四边形，即有|MF|+|NF|=|MF|+|MF|=2a=4，设|MF|=x，x1，3，则|NF|=4-x，则 = 可令 f（x）= , 可得f（x）在1， 递减， （ ，3递增，可得 f（x）的最小值为 f( )= ,f（1）= ,f（3）= 即 f（x）的最大值为 ,则 的取值范围是 .【点睛】本题考查椭圆的定义和方程、性质，考查函数的导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题三、解答题：17.已知等差数列 的公差 ， ，且 ， ， 成等比数列.（1）求
16、的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和【详解】 （1）根据题意，得即解得 或 （不合，舍去） ，所以 .（2）由（1）得 ，所以数列 是首项为 4，公比为 4 的等比数列.所以【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18. 中， ， ， .（1）求 ；（2）点 在边 上， ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由已知及余弦定理可求 BC，由正
17、弦定理可得 sinB 的值；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosB 的值，在ABD 中，设 BD=x，由余弦定理可得 BD 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【详解】 （1）由余弦定理，得：，所以 ，由正弦定理，得： ，则 .（2）因为 ，所以 为锐角， ，在 中，设 ，由余弦定理得： ，即 ，解得： ，即 ，所以 .【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，点 为 的中点.（1）证明： 平面 ；（2）若直线 与底面 所成的角为 ，求四棱
18、锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取 PA 中点 Q，连结 QD，QE，推导出四边形 CDQE 是平行四边形，CEQD，由此能证明CE平面 PAD（2）连结 BD，取 BD 中点 O，连结 EO，CO，推导出ECO 是直线 CE 与底面 ABCD 所成的角，ECO=45，由 VP-ABCD= S 底面 ABCDPD，能求出四棱锥 P-ABCD 的体积【详解】 （1）取 中点 ，连接 ， ，则 ，且 ，所以 ，且 ，即四边形 为平行四边形， ，又因为 平面 ， 平面 ， （两条件各 1 分）所以 平面 .（2）连接 ，取 中点 ，连接 ， ，则 ，且 ，因为 平面
19、，所以 平面 ，则 为 在平面 上的射影，即 为直线 与底面 所成的角， ，在等腰直角三角形 中， ，则 ，则在 中， ， ，所以 ，所以 ，所以四棱锥 的体积为 .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.在平面直角坐标系 中，已知点 是 轴与圆 的一个公共点（异于原点） ，抛物线 的准线为 ， 上横坐标为 的点 到 的距离等于 .（1）求 的方程；（2）直线 与圆 相切且与 相交于 ， 两点，若 的面积为 4，求 的方程.【答案】 （1） ；（2） 或【解析】【分析】（1）由抛
20、物线定义可得，点 P 到 l 的距离等于|PF|=|PQ|，以及点 P 在线段 FQ 的中垂线上，则 解得 p=2，即可求出 E 的方程，（2）设 m 的方程为 x=ny+b，A（x 1，y 1） ，B（x 1，y 1） ，根据直线 m 与圆 C 相切，可得 b2-4b=4n2，再根据韦达定理和三角形的面积公式以及弦长公式即可求出 b 的值，即可求出 m 的方程【详解】 （1）由已知得 ，焦点 ，由抛物线定义得，点 到 的距离等于 ，因为 ，所以 ，所以 、 两点不重合，所以点 在线段 的中垂线上，则 ，解得 ，故 的方程为 .（2）由已知，直线 不与 轴垂直，设 的方程为 ， ， ， 则 ，
21、所以 ，由 化简得 ，判別式 ，且直线 与 轴交于点 ，所以 ，因为 ， 或 ，所以 ， ，所以 方程是 或 .解法二：（1）由已知得 ，设 ， 的准线方程为 ，由 到 的距离等于 得， ，则 ，解得： 或 ，因为 ，所以 ，故 的方程为 .（2）由已知，直线 不与 轴垂直，设 的方程为 ， ， ，则 ，所以 ，由 化简得 ，判别式 ，且所以，又原点 到直线 的距离 ，所以 ，所以 ，因为 ， 或 ，所以 ， ，所以 的方程是 或 .【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，利用直线与椭圆的联立，韦达定理求弦长是常用方法，属于中档题21.已知函数（1）讨论 的单调性；（2）当 时
22、， ，求 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）f（x）=（x+1）e x-ax-a=（x+1） （e x-a） 对 a 分类讨论，即可得出单调性（2）由 xex-ax-a+10，可得 a（x+1）xe x+1，当 x=-1 时，0- +1 恒成立当 x-1 时，a 令 g（x）= ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【详解】解法一：（1）当 时，-1- 0 + 极小值 所以 在 上单调递减，在 单调递增.当 时， 的根为 或 .若 ，即 ，-1+ 0 - 0 + 极大值 极小值 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.若 ，即 ，在 上恒成立，所以 在 上
23、单调递增，无减区间. 若 ，即 ，-1+ 0 - 0 + 极大值 极小值 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. 综上：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；自 时， 在 上单调递增，无减区间；当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.（2）因为 ，所以 .当 时， 恒成立.当 时， .令 ， ， 设 ，因为 在 上恒成立，即 在 上单调递增.又因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，所以 .综上， 的取值范围为 .解法二：（1）同解法一；（2）令 ，所以 ，当 时， ，则 在 上单调递增，所以 ，满足题意.当 时，令 ，因
24、为 ，即 在 上单调递增.又因为 ， ，所以 在 上有唯一的解，记为 ，- 0 + 极小值 ，满足题意.当 时， ，不满足题意.综上， 的取值范围为 .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22.在直角坐标系 中，直线 过点 且倾斜角为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 .（1）求曲线 的直角坐标方程；（2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的直角坐标方程.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利
25、用直线参数方程中 t 的几何意义即可解得直线直角坐标方程.【详解】 （1）由 ， 得，曲线 的直角坐标方程为 .（2）直线 的参数方程为 （ 为参数）将其代入曲线 的直角坐标方程得 ，设 ， 是方程的两个实数根，则 即 ，且 ，由 的几何意义得， ，所以 或 （舍去） ，又因为 ，所以 ，故直线 的直角坐标方程为 即 .【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23.已知函数 ，其中 .（1）若 ，求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）求出 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）通过讨论 x 的范围，求出不等式组的解集，结合 a 的范围求出不等式的解集即可【详解】 （1）若 ， ，则 即 .当 时，原不等式等价于 ，解得 ；当 时，原不等式等价于 ，即 ，结合 ，知此时不等式的解为 ；当 时，原不等式等价于 ，解得 .综上，原不等式的解集为 .（2）由 ，得 .此不等式化为不等式组 或 ，即 或因为 ， ，所以 的解为 ，的解为 ，所以原不等式的解集为 .又由已知原不等式的解集为 ，可得 ，故 .【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题.
