1、荆州中学高二元月期末考数学（文科）试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 ，则 的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】当 时， 是成立，当 成立时， 不一定成立，根据必要不充分条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，当 时， 是成立，当 成立时， 不一定成立，所以 是的必要不充分条件，故选 A.【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定问题，其中解答中熟记必要不充分条件的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2.已知椭圆 长轴在 轴上，若焦
2、距为 4，则 等于（ ）A. 4 B. 5 C. 7 D. 8【答案】8【解析】由椭圆 的长轴在 y 轴上，则 a2=m2，b 2=8m，c 2=a2b 2=2m10由焦距为 4，即 2c=4，即有 c=2即有 2m10=4，解得 m=7故答案为：7.3.已知直线 和平面 ，若 ， ，则过点 且平行于 的直线（ ）A. 只有一条，不在平面 内 B. 只有一条，且在平面 内C. 有无数条，一定在平面 内 D. 有无数条，不一定在平面 内【答案】B【解析】【分析】假设 m 是过点 P 且平行于 l 的直线， n 也是过点 P 且平行于 l 的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案.【详解】
3、假设过点 P 且平行于 l 的直线有两条 m 与 n，则 ml 且 nl由平行公理得 mn，这与两条直线 m 与 n 相交与点 P 相矛盾，故过点 且平行于 的直线只有一条，又因为点 P 在平面内，所以过点 P 且平行于 l 的直线只有一条且在平面内故选：B【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系过一点有且只有一条直线与已知直线平行4.已知数列 是等差数列，且 ，则公差 （ ）A. B. 4 C. 8 D. 16【答案】B【解析】试题分析：等差数列中 考点：等差数列的性质5.“更相减损术”是九章算术中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下程序框
4、图，若输入的 ， 分别为 165、66，则输出的 为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】由题中程序框图知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，即可得到答案.【详解】由程序框图可知：输入 时，满足 ，则 ，满足 ，则 ，满足 ，则 ，不满足 ，此时输出 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断
5、框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 2 B. 3C. 4 D. 6【答案】A【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体底面表示一个上底为 1，下底为 2，高为 2 的直角梯形，且几何体的高为 2 的四棱锥，再根据体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体底面表示一个上底为 1，下底为 2，高为 2 的直角梯形，且几何体的高为 2 的四棱锥，所以该四棱锥的体积为 ，故选 A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视
6、图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.7.已知点 ， ，若点 是圆 上的动点，则 面积的最大值是（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，求得 的直线方程为 ，取得圆心 C 到直线 的距离为 ，得到点 P到直线 的最远距离为 ，即可求得答案.【详解】由题意知，点 ， ，则 的直线方程为 ，又由圆 的圆心坐标 ，半径为 ，所以圆心 C 到直线 的
7、距离为 ，所以点 P 到直线 的最远距离为 ，所以 的最大面积为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中合理利用直线与圆的位置关系，求得圆上的点到直线的最远距离是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）A. 9 B. 12 C. 18 D. 24【答案】A【解析】【分析】由已知不等式分离变量 ，然后利用基本不等式求得 的最大值，即可得到答案.【详解】由题意知 ，若不等式 恒成立，即 恒成立，又因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，即 的最大值为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了
8、不等式的恒成立问题，以及利用基本不等式求最值，其中解答中根据题意分离变量 ，再利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了分离参数思想，及推理与计算能力，属于中档试题9.设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，目标函数为两点连线的斜率，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数，利用数形结合得结论.【详解】画出 表示的可行域， 表示可行域内的点 与点 连线的斜率，由 ，得 ， ，由图知， 的范围是 ，故选 A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.
9、求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.已知点 ， 分别为椭圆 ： 的左、右焦点，点 在椭圆 C 上，线段的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，知点 在椭圆 C 上，线段 的中点在 轴上，求得 ，在直角 中，得到，整理得 ，即可求解，得到答案.【详解】由题意，知点 在椭圆 C 上，线段 的中点在 轴上，可得点 轴，且
10、点 ，所以在直角 中， ，且 ，所以 ，即 ，整理得 ，两边同除 得 ，解得 或 （舍去） ，故选 D.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)11.已知点 是函数 的对称中心，则函数 的一个单调区间可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知，求得函数的解析式 ，利用三角函数的性质，求得函数的单调区间，即
11、可作出判定，得到答案.【详解】由题意知，点 是函数 的对称中心，所以 ，取 ，解得 ，即 ，令 ，整理得 ，令 ，得 ，即函数 在区间 单调递减，故选 A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中求得三角函数的解析式，熟记三角函数的性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知 是圆 ： 上两点，点 且 ，则 最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设 是线段 AB 的中点求得其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，再利用圆的性质和弦长公式，即可求解得到答案.【详解】如图所示，设 是线段 AB 的中点，则 ，因为 ，所
12、以 ，于是 ,在直角 中， ， ，由勾股定理得 ，整理得 ，故 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，故 ，又由圆的弦长公式可得，故选 C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及直线与圆的位置关系和圆的弦长公式的应用，其中解答中求得弦 MN 的中点的轨迹，合理利用圆的性质和圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，属于中档试题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.从某高中随机选取 5 名高二男生，由他们身高和体重的数据得到的回归直线方程为，数据列表是：身高 x（cm） 160 165 170 175 180体重 y（
13、kg） 63 66 72 74则其中的数据 _【答案】70【解析】【分析】由题意，根据表中的数据，求得数据的中心为 ，代入回归直线的方程，即可求解.【详解】由题意，根据表中的数据可得 ，即数据的中心为 ，又由回归直线的方程为 ，即 ，解得 .【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过数据的中心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14. 为长方形， ， ， 为 的中点，在长方形 内随机取一点，取到的点到 的距离大于 1 的概率为_【答案】【解析】【分析】由题意，得长方形的面积为 ，以 O 点为原型，半径为 1 作圆，此时圆在长方形内部的部分的面
14、积为 ，再由面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，如图所示，可得长方形的面积为 ，以 O 点为原型，半径为 1 作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为 ，所以取到的点到 的距离大于 1 的表示圆的外部在矩形内部分部分，所以概率为 .【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量 ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量 ”，然后根据 求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.15.如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是_【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为 ，且 ，代入椭圆方程得 ，两式作差并化简得
15、，即弦的斜率为 ，由点斜式得 ，化简得 .16.已知圆 ： ，圆 ： ，动圆 与圆 相切，与圆 外切，则圆心 的轨迹方程是_【答案】 或【解析】【分析】当圆 P 与圆 M 与圆 N 都相外切时，得到圆 P 的圆心的轨迹为 ，当圆 P 与圆 M 相内切，与圆 N 相外切时，利用椭圆的定义，可得此时 ，即可得到答案.【详解】如图所示，当圆 P 与圆 M 与圆 N 都相外切时，此时圆 P 的圆心的轨迹为 ；当圆 P 与圆 M 相内切，与圆 N 相外切时，此时满足 ，两式相加，可得 ，根据椭圆的定义可知，点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，且 ，所以 ，则 ，此时点 P 的轨迹方程为 ，综上所述
16、，点 P 的轨迹方程为 或 .【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，以及椭圆的定义的应用，其中解答中合理分类讨论，利用椭圆的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若命题 ： ， ；命题 ： ， ，若 为真命题，求实数 的取值范围.【答案】【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，当命题 为真命题时，得到 ，再根据指数函数的性质，当命题 为真命题时，得到 ，进而根据 与 同时为真，即可求解.【详解】由题意，命题 ，当 时，不等式成立，当 时，由题意知 ，综上可知 .由命题 可知，当
17、 时， ，则 ， ： ，由题意知： 与 同时为真，则 ， .【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数的取值范围问题，其中解答中根据二次函数的性质和指数函数的性质，分别求得当命题 为真命题时，实数 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知函数 .（）当 时，求 的值域；（）已知 的内角 的对边分别为 ， ，求 的面积.【答案】 （） （）【解析】【分析】（）根据三角恒等变换的公式，化简得 ，利用三角函数的图象与性质，即可求解.（）由题意，根据（1）可得 ，再在 中，由余弦定理，求得 ，利用面积公式，即可求解.【详解】 （）由题意，根据三角恒等变换的公式，化简得
18、 ， ，则 ， ，即函数 的值域为 .（）由题意，得 ， .在 中，由余弦定理得 ，解得，所以 .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中准确利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，及合理利用余弦定理和面积公式，准确计算是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.19.设数列 的前 项和为 ，已知 ， .（）求 的通项公式；（）若数列 满足 ，求 的前 项和 【答案】 （） （）【解析】【分析】（）由题意，利用数列的递推公式，化简得 ，且 ，得到 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即可求解数列的通项公式；（）由（）可得， ，利
19、用裂项法，即可求解其前 n 项和.【详解】 （）由题意，知 ，则 ，两式相减得： ， ， ，且 ， 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列， .（）由（）可得， .【点睛】本题主要考查了数列递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用和“裂项法”求解数列的前 n 项和，其中解答中合理利用数列的递推公式，利用定义求解数列的通项公式是解答本题的关键，同时注意裂项后的求和的项数是解答的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召 n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成 5 组第 1 组20，25） ，第 2 组25
20、，30） ，第 3 组30，35） ，第 4 组35，40） ，第 5 组40，45，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1 组有 5 人.（）分别求出第 3，4，5 组志愿者人数，若在第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？（）在（）的条件下，该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 3 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率.【答案】 （）利用分层抽样在第三，第四，第五组中分别抽取 3 人，2 人，1 人.（）【解析】【分析】（）由题意，因为第一组有 5 人，求得 ，分别求得第三组、第四组
21、、第五组，根据分层抽样，即可得到结果；（）记第三组的 3 名志愿者为 ， ， ，第四组的 2 名志愿者为 ， ，第五组的 1名志愿者为 ，求得从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者构成基本事件的总数，进而得到其中第三组的 3 名志愿者 ， ， 至少有一名志愿者被抽中的所含基本事件的总数，利用古典概型及概率的公式，即可求解.【详解】 （）由题意，因为第一组有 5 人，则 ， ，第三组有 人，第四组有 人，第五组有 人.利用分层抽样在第三，第四，第五组中分别抽取 3 人，2 人，1 人.（）记第三组的 3 名志愿者为 ， ， ，第四组的 2 名志愿者为 ， ，第五组的 1名志愿者为 ，则从 6 名志
22、愿者中抽取 2 名志愿者有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15 种.其中第三组的 3 名志愿者 ， ， 至少有一名志愿者被抽中的有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 12 种.则第三组至少有 1 名志愿者被抽中的概率为 .【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，属于基础题解题时要正确找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.21.如图，在四棱锥 中， 平面 ， 底面 是矩形， ， ， 分别是 ， 的中点.（）求证： 平面 ；（）设 ，
23、求三棱锥 的体积.【答案】 （）见解析（）【解析】【分析】（）取 中点 ，连 ， ，根据平行四边形，可得 ，进而证得平面 平面，利用面面垂直的性质，得 平面 ，又由 ，即可得到 平面 .（）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.【详解】 （）取 中点 ，连 ， ，由 ，可得 ，可得 是平行四边形，则 ，又 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ， 是 中点，则 ，而 平面 平面 ，而 ， 平面 .（）根据三棱锥的体积公式，得 .【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以
24、及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.22.已知椭圆 的右焦点 ，点 在椭圆上.（）求椭圆的标准方程；（）若点 在圆 上，且 在第一象限，过点 作圆 的切线交椭圆于两点，问 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由。【答案】 （） （） 和为定值为 6 【解析】【分析】（）法 1：根据椭圆定义，求得 ，进而求得 ，即可求解椭圆的标准方程；法 2：联立方程组 ，求得 的值，即可得到椭圆的标准方程.（）法 1：连 ， ， ，设 ， ，分别求得 和，即可求解；法 2：设直线 ： ，联立方程组，利用根与系数的关系，分别求解 ，及， ，即可得到结论.【详解】 （）法 1：由题意知： ，根据椭圆定义知： ， ， ，则椭圆的标准方程为 .法 2： ，则椭圆的标准方程为 .（）法 1：连 ， ， ，设 ， ， ， ， ， ，又 ， ，则 ，同理： ， .法 2：设直线 ： ， ， ， ， ，又 ，同理： ，.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
