1、周口市 2018-2019 学年高二年级（上）期末抽测考试 数学（文科）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，分别求得集合 ， ，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合 ， ，则 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合 ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.命题“ ， ”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，即可求得
2、命题的否定，得到答案.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ ， ”的否定为“ ”，故选 D.【点睛】本题主要考查了含有量词的否定问题，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确作出书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.双曲线 的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的方程 ，可得 ，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解【详解】由双曲线的方程 ，可得双曲线的焦点在 轴上，且 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，即 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的标准
3、方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.已知 ， 则“ ”是“方程 表示的曲线是椭圆”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由方程 表示的曲线是椭圆时，满足 ，且 ，进而利用充要条件的判定，即可得到答案.【详解】由题意，可得方程 表示的曲线是椭圆时，满足 ，且 ，所以“ ”是“方程 表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选 B.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及必要不充分条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解
4、答问题的能力，属于基础题.5.已知 ，则下列不等式正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数与对数函数的单调性，逐项判定，即可得到答案.【详解】由题意，因为 ，则 对于 A 中，则 ，所以 ，所以不正确；对于 B 中，因为函数 为单调递减函数，所以 ，所以不正确；对于 C 中，因为函数 为单调递增函数，又因为 ，则 ，所以 是正确的；对于 D 中，由 ，所以 ，所以不正确，故选 C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，以及比较大小问题，其中解答中熟练应用作差法比较，以及熟记指数函数与对数函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力
5、，属于基础题.6.已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， ，则当 取得最大值时，( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意，可得数列 为等差数列，求得数列 的通项公式为 ，进而得到当时， ，当 时， ，即可得到答案.【详解】由题意，数列 满足 ，即 ，所以数列 为等差数列，设等差数列 的公差为 ，则 ，所以数列 的通项公式为 ，令 ，即 ，解得 ，所以当 时， ，当 时， ，所以数列 中前 项的和 最大，故选 C.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前 n 项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公
6、式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.已知函数 ，则 （ ）A. 4 B. 2 C. -2 D. -4【答案】D【解析】【分析】由导数的定义得 ，再求得函数 的导数 ，得到，即可得到答案.【详解】由题意，根据导数的定义可得 ，又由函数函数 ，则 ，所以 ，所以 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了导数的概念及其导数的运算问题，其中解答中正确理解导数的定义，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8.已知变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示
7、的平面区域，由目标函数 ，得 ，结合图象，得到目标函数的最优解，即可得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数 ，得 ，由图象可知，当直线 过可行域内点 A 时，直线在 轴上的截距最小，此时 取得最大值，又由 ，解得 ，所以目标函数的最大值为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中解答中正确画出约束条件坐标表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.9.已知等比数列 中的各项均为正数， ，则 的值为( )A. 30 B. 15 C. 5 D. 3【答案】B【解析
8、】【分析】由等比数列的性质可得 ，再根据对数的运算，即可求解.【详解】由题意，等比数列 中的各项均为正数，满足 ，由等比数列的性质可得 所以 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟练应用等比数列的性质，以及熟练应用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10.已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 8，则 （ 为坐标原点）的面积为（ ）A. 16 B. 8 C. 4 D. 2【答案】A【解析】【分析】设点 ，根据抛物线的定义和抛物线的标准方程，求得 ，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】设点 ，因为抛物线 上的点 到焦
9、点 的距离为 8，根据抛物线的定义，可得 ，即 ，代入抛物线的方程，得 ，解得 ，即 ，所以 的面积为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，及抛物线的标准方程的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义和标准方程，求得点 P 的坐标是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11.已知 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，在 中，利用面积公式和余弦定理求得 ，再由 ，求得 ，进而可求得，得到答案.【详解】由题意，在 的面积为 ，即 ，根据余弦定理，可得 ，即 ，又 ，所以 ，又由 ，又由 ，且 ，所以 ，所
10、以 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理和三角形的面积公式求解三角形问题，其中解答中合理利用余弦定理和面积公式，求得 C 角的大小，再由特殊角的三角函数值，确定 B 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.函数 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，利用导数求得函数的单调区间，进而求解函数的最小值，得到答案.【详解】由题意，函数 ，则函数的定义域为 ，又由 ，令 ，解得 或 ，当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，所以函数 的最小值为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间和最值，其中解
11、答中准确求解函数的导数，利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知函数 为 的导函数，则 _【答案】3【解析】【分析】由函数 ，求得 ，代入 ，即可求解，得到答案.【详解】由函数 ，可得 ，所以 ，故答案为 3.【点睛】本题主要考查了导数的运算，及函数在某点处的导数值的运算，其中解答中利用导数的运算，准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14.已知数列 是公比为 2 的等比数列，其前 项和为 ，则 _【答案】7【解析】【分析】由题意，数列 是公比为 2 的等比数列，则 ，即可求解.【详
12、解】由题意，数列 是公比为 2 的等比数列，则 ，故答案为 7.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前 n 项和的基本量的运算问题，其中熟记等比数列的通项公式和前 n 项和是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为_【答案】4【解析】【分析】由题意，可得 ，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.【详解】由题意，正实数 ， 满足 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取得最小值，其最小值为 4，故答案为 4.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，构造基本不等式的条件，利用基本不等式求解最小值是解答的关键，着重考
13、查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16.已知 是等腰直角三角形，且 ，点 在线段 的延长线上，若 ，则 _【答案】【解析】【分析】由题意，在 中，设 且 ，利用余弦定理，列出关于的方程，即可求解，得到答案.【详解】如图所示， 为等腰直角三角形，且 ， ，所以 ，且 ，则 ，在 中，设 且 ，由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 （舍去） ，即 .【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，以及利用余弦定理求解三角形问题，其中解答中合理利用等腰直角三角形的性质，利用余弦定理列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算
14、步骤.17.已知 函数 在 上单调递增； ， .若 为真，为假，求实数 的取值范围.【答案】【解析】【分析】依题意，根据函数 的单调性，求得当 为真，则 ；在根据三角函数的性质，求得当为真，则 ，又由命题 一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】依题意，函数 的定义域为 .由于 ，故函数 在 和 上单调递增，若 为真，则 .因为 ，所以 ， .若 为真，则 .若 真 假，则实数 满足 无解.若 假 真，则实数 满足 所以 .综上所述，实数 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中根据函数单调性和三角函数的性质，正确求解命题 为真时，实数 的取值范围，在分类
15、讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知正项等比数列 满足 ，且 ， ， 依次成等差数列.（）求 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （） （）【解析】【分析】（）由题意，设 的公比为 ，根据题意，求得公比 ，进而利用等比数列的通项公式，即可求解.（）由（1）得 ，利用乘公比错位相减法，即可求解数列 的前 n 项和.【详解】 （）设 的公比为 .因为 ， ， 依次成等差数列， ,所以 所以 .解得 （负值舍去）.所以 .（）依题意， .故 ，.故 .故 ，即 ，整理得 .【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、数列的“错位相减法” ，此类题
16、目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.19.已知曲线 位于第一、四象限（含原点） ，且 上任意一点的横坐标比其到点 的距离小 1.（）求曲线 的方程；（）求曲线 上到直线 的距离最小的点的坐标.【答案】 （） （）【解析】【分析】（）根据抛物线的定义，得到曲线 是以 为焦点，以 为准线的抛物线，即可求得到曲线的方程；（）设曲线 与直线 平行的切线方程为 ，联立方程组，求得实数的值，进而可求得答案.【详解】 （）因为曲线 上任意
17、一点的横坐标比其到点 的距离小 1，所以任意一点到直线 的距离等于其到 的距离.因此曲线 是以 为焦点，以 为准线的抛物线.所以曲线 的方程为 .（）设曲线 与直线 平行的切线方程为 .将 与 联立得 .由 得 .此时 ， ，所以距离最近的点为 .【点睛】本题主要考查了抛物线的定义法求解抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中利用抛物线的定义，正确求解抛物线的标准方程，以及合理利用直线与抛物线联立，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20.已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .（）求角 的大小；（）若 ，求 的周长的最
18、大值.【答案】 （） （）【解析】【分析】（）由正弦定理和两角和的正弦函数的公式，化简求得 ，进而得到角 的大小；（）由余弦定理和基本不等式，求得 ，得到 ，进而得到周长的最大值.【详解】 （）由正弦定理可得 .所以 .因为 ，所以 .由于 ，故 .（）由余弦定理，得 .即 ，当且仅当 时取等号.所以 ，即 ， ，所以 .故 的周长的最大值为 .【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键在 中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时
19、，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.21.已知椭圆 的离心率 ，且过点 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线 ： ，若原点 到直线 的距离为 ，且直线 与椭圆 交于 两点，证明：.【答案】 （1） （2）见证明【解析】【分析】（1）由椭圆 过点 ，求得 ，再由 和 ，求得 ，即可得到椭圆的标准方程；（2）由直线的方程和椭圆的方程，联立方程组，利用根和系数的关系，求得 ，以及向量的数量积的运算，即可作出证明.【详解】 （1）由椭圆 过点 ，可知 ，又 ， ，可知 .故椭圆 的标准方程为 .（2）由题意得原点 到直线 的距离 ，即 .由 整理得 .设 ， ，则因为
20、 ，故 .【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.已知函数 .（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；（2）若关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数根，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）依题意，令导数的几何意义，即可求解曲线在某点处的切线方程；（2）由题意，令 ，得 ，设 ，转化为函数 与 的图
21、像在区间 上有两个交点，利用导数求得函数 的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【详解】 （1）依题意 ，故 .因为 ，故 .故所求切线方程为 ，即 .（2）令 ，得 .设 ，问题等价于函数 与 的图像在区间 上有两个交点.，令 ，得 .， 以及 的变化情况如下表：- 0 +单调递减 极小值 单调递增易知 ， .结合图像可知解得 ，故 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，以及利用导数研究方程根求解参数问题，其中解答中利用导数正确求解函数的单调性与极值，以及把方程的根转化为两个函数图像有两个交点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
