1、浙江省 2019 年高考模拟训练卷数学（三）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出 A B，然后再在全集 U1，2，3，4，5下求 U（ A B） 【详解】 A ，B ， A B1，2，3，又全集 U1，2，3，4，5， U（ A B）4，5故选： C【点睛】本题主要考查集合的交并补的混合运算，求得 A 与 B 的交集是关键，属于基础题2.已知双曲线 ，则 的离心率是（ ）A. B. C. 2 D. 【答案
2、】B【解析】【分析】由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率.【详解】双曲线方程为 ，双曲线为等轴双曲线，e= .故选 B.【点睛】本题考查了等轴双曲线的特点，考查了双曲线的性质，属于基础题.3.已知 （ 为虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于 a+bi ，故有 a ， b- ，即可得结果【详解】由于 a+bi = ， a+bi ， a ， b- ， =故选 B【点睛】本题主要考查两个复数相等的充要条件，考查了复数的乘除运算，属于基础题4.函数 的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可.【
3、详解】 = ，函数 为偶函数，排除 A、B，又当 0 ，只需-（ ，即 ，即 在 上恒成立， ，则正实数 的取值范围是 .故选 D.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查了分析问题的能力及转化思想，属于中档题9.如图， 是以 直径的圆 上的动点，已知 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过点 作 的平行线交圆 于点 ，交 BC 于 M，且 M 为垂足，设 D 在 OE 的投影为 N，由向量的几何意义可知， = ，只需当 N 落在 E 处时，MN 最大，求得2cos ，再由 0， ）求得最值即可.【详解】如
4、图，先将 C 视为定点，设 CAB，0， ） ，则 AC=2cos，连接 CB，则 CB AC，过 O 作 AC 的平行线交圆 于 E，交 BC 于 M，且 M 为垂足，又知当 D、C 在 AB 同侧时， 取最大值，设 D 在 OE 的投影为 N，当 C 确定时，M 为定点，则当 N 落在 E 处时，MN 最大，此时 取最大值，由向量的几何意义可知， = ，最大时为 ，又 OM= cos, cos， 最大为 2cos ,当且仅当 cos=时等号成立，即 = ， 的最大值为 .故选 A.【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的 D 的位置，当题目
5、中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段，考查了逻辑推理能力，属于难题.10.已知数列 满足 ， ， ，数列 满足 ， ， 若存在正整数 ，使得 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得 ， ，利用单调性可得 ，代入已知求得， ，又 ，得到 ，可得所求.【详解】因为 ， ，则有 ， ，且函数 在 上单调递增，故有 ，得 ，同理有 ，又因为 ，故 ，所以 .故选 D.【点睛】本题考查了数列及函数单调性的应用，考查了逻辑思维能力及分析能力，属于难题.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）11.已知函数 ，则 _； _【答
6、案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】由已知利用分段函数及对数函数的性质求解【详解】函数 ， f（4） 2， f（ ） ，故答案为：(1). 2 (2). 【点睛】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数及对数性质的合理运用12.若实数 满足不等式组 ，则 的最大值为_【答案】10【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【详解】由 z y2 x，得 y2 x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线 y2 x+z，由平移可知当直线 y2 x+z 经过点 A 时，线 y2 x+z 的截距最大，此时 z 取得最大值，由 ，得 ，即 A（-3，4
7、）代入 z y2 x，得 z42（-3）10，即 z y2 x 的最大值为 10故答案为：10【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题13.若 ，则 _【答案】0【解析】【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的 x 赋值，即可求得 的值【详解】令 x2 得：0 ，即 0；故答案为：0【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题14.在 中，角 所对的边 ，点 为边 上的中点，已知 ， ， ，则_； _【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】直接利用余弦定理可得 ，利用中线定理的向量表示法将
8、 表示出，平方可得模.【详解】在 中， = ，同理可得 - ，又 = ( + )，平方得 = ，所以 ，故答案为(1). (2). 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了向量法表示中线及求模，属于中档题.15.已知 ，若 ，则 的最小值为_；若 ，则 的最大值为_【答案】 (1). 8 (2). 【解析】【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得 4 x+2y2 ，变形可得 2xy ，进而可得x2+4y2（ x+2y） 24 xy164 xy，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.【详解】根据题意， x， yR +，且 x+2y4，则有 4 x+2y2 ，变形可得 2xy ， （当
9、且仅当 x2 y 时等号成立）x2+4y2（ x+2y） 24 xy164 xy，又由 4xy ，则有 x2+4y2 ，即 x2+4y2的最小值为 8；若 ，则由柯西不等式得（ ） （1+ ） ， （当且仅当 x4 y 时等号成立） ，所以 4即 的最大值为 ，故答案为：(1). 8 (2). 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，考查了柯西不等式，属于中档题16.已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ， ，且，则 _【答案】-3【解析】【分析】设 ， ，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到 ，构造方程 ，求得结果.【详解】设 ， ，则 ， ， ，则有，代入方程 ，故有 ，同理 ，
10、有，即可视为方程 的两根，则 .故答案为-3.【点睛】本题考查了向量相等的坐标表示，考查了曲线与方程的定义，考查了方程思想，属于中档题.17.如图，在三棱锥 中，点 为 的中点，点 在平面 的投影恰为 的中点.已知，点 到 的距离为 ，则当 最大时，二面角 的余弦值是_【答案】【解析】【分析】由条件得到点 的轨迹是以 为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当 最大时有 ，做出二面角 的平面角，在 中求解即可.【详解】因为点 到 的距离为 ，则点 是以 为旋转面的轴的圆柱与平面 的公共点，即点 的轨迹是以 为长轴，以 为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知，则当 最大时有 .如图，在 上取一点 ，满足
11、，连接 ，则有 ，又因为 ，则 是二面角 的平面角，在 中，OP=1,OE= , PE= , PF= ,在 中， ，故二面角的余弦值是 .故答案为 .【点睛】本题考查了二面角的作法及求法，考查了平面截圆锥所得的圆锥曲线的形状，考查了逻辑思维与运算能力，属于难题.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.已知函数 . （1）求函数 在 上的值域；（2）若 ，求 .【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义域求得 的范围，利用正弦函数在 的图像特点求得函数f（ x） sin（2 x ）的值域（2）将 展开，结合二倍角公式
12、及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可.【详解】 （1）因为 x , ，当 时， 最大为 ，当 时， 最小为 1，所以 在 的值域为 ；（2）因为 ，即 ，所以 . .【点睛】本题着重考查了三角函数的图象与性质，考查了利用同角基本关系求值问题，考查了二倍角公式，属于中档题19.在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， .（1）证明： ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直，可证 平面 ，从而有 ，再利用勾股定理证明 ，可证 平面 ，证得结论.（2）先证得平面 平面 ，过点 作 于点 ，有 平面 ，可证明是 与平面 所成的角，
13、在 ABC 中，求得 ，可得 ，由等面积法知 ，即可求解直线 与平面 所成角的正弦值.【详解】 （1）由题意平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 =AC，又 ， ， ， 平面 ，从而有 ，又由勾股定理得 ， ， 平面 ，即 ；（2）设 ，则 ，在 中， ，即 .故 ， ，过 作 于点 ，连接 ，过点 作 于点 ，连接 ，因为 且 ，故 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ，进而有 平面 ，故 是 与平面 所成的角，在 中，有 ，得 ，故 ， ，由等面积法知 ，所以 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 .【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了直线与
14、平面所成角的正弦值，关键是正确作出直线与平面所成角，是中档题20.已知数列 的前 项为 .（1）证明： 为等比数列；（2）求数列 的前 项和为 .【答案】 （1）详见解析（2） .【解析】【分析】（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当 n2 时， Sn1 3 an1 ，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入 ，利用分组求和及错位相减法即可求得 Tn【详解】 （1）当 时， ，当 时， Sn1 3 an1 ， ，即 ，故 ，所以 ，故 是 为首项，以 为公比的等比数列；（2）由（1）知 ，故 ，令数列 ， 的前 和为 ，则 ，因为 ，则 ，即 ，故 .【点睛】本
15、题考查数列递推式，考查了等比关系的判定与证明，考查了错位相减法及分组求和法求数列的前 n 项和，是中档题21.如图，直线 交椭圆 于 两点，点 是线段 的中点，连接 并延长 交椭圆 于点 . （1）设直线 的斜率为 ，求 的值；（2）若 ，求 面积的最大值.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，代入椭圆方程，利用点差法能得到 的值（2）由（1）知 ，则可求点 F 坐标，利用点 到直线 的距离公式求得 的高，联立，由韦达定理求得 ，将面积表示为关于 m 的函数，求导求得最值.【详解】 （1）设 ，则 ，将 A、B 点坐标代入椭圆方程，
16、有 ， ，-得 ，即 ，即 ；（2）由（1）知，当 时，有 ，则有直线 ，直线 ，不妨设 ，则有 ，故点 到直线 的距离 ，联立方程组 ，即 ，则 ，故 面积 ，令 ，则 ，令 则 或 2 （舍去） 时， 有最大值 243，即 面积的最大值为 .【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率、椭圆性质、点差法的合理运用，考查了弦长公式的应用，借助导数求函数最值的求法，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题22.知函数 ， .（1）求 的单调区间；（2）证明：存在 ，使得方程 在 上有唯一解.【答案】 （1）详见解析（2）详见解析【解析
17、】【分析】（1）求出函数 f（ x）的定义域，对函数 f（ x）求导得到 ，分 与 ,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数 f（ x）的单调区间；（2）构造 ，求导分析 的单调性，找到 a1 时， 在 上恒成立，在 上递增，而 h( ， ,由函数零点存在定理得到存在，使得方程 在 上有唯一解，即证得结论.【详解】 （1）函数 f（ x）的定义域为 ，因为 ，令 ，则 ，即 ，则 在 上恒成立，当 或 ，由 有 或 ，由 有 ，综上，当 时， 的递增区间是 ，当 或 时， 的递增区间是 ，递减区间是；（2）令 ，当 时，则，因为 ，故当 时， ，当 时， ，所以 在上递减，在 上递增，即当 时， 有最小值，又h（1）=1-2a，当 a1 时，h（1） 0，即 在 上恒成立，又 a1 时, ，取 x= ,则 即 ，又 在 上递增，而 h( ，由函数零点存在定理知 在 上存在唯一零点，所以当 a1 时即存在 ，使得方程 在 上有唯一解，即方程 在上有唯一解.【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题
