1、随堂巩固训练(63)1. 已知 1，a 1，a 2，16 成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，16 成等比数列，则 的值为 b2a1 a2.417解析：因为 1，a 1，a 2，16 成等差数列，所以 a1a 211617.因为1，b 1，b 2，b 3，16 成等比数列，所以 b 116 且 1，b 2，16 同号，所以 . 2b2a1 a2 4172. 已知实数 a1，a 2，a 3，a 4 构成公差不为零的等差数列，且 a1，a 3，a 4 构成等比数列，则此等比数列的公比 q 等于 .12解析：设公差为 d(d0)，则 a a 1a4，即(a 12d) 2a 1(a13d)，解得
2、a14d，所以23q . a3a1 a1 2da1 123. 已知数列a n，b n满足 a11，且 an，a n1 是函数 f(x)x 2b nx2 n 的两个零点，则 b10 64 .解析：依题意有 anan1 2 n，所以 an1 an2 2 n1 ，两式相除得 2，所以an 2ana1，a 3，a 5， 成等比数列， a2，a 4，a 6，也成等比数列 .又 a11，a 22，所以a1022 432 ，a 1112 5 32.因为 ana n1 b n，所以 b10a 10a 1164.4. 已知 x0，y0 ，x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x，b 1，b 2，y 成等比数列，
3、那么的最小值是 4 .（a1 a2）2b1b2解析：因为 a1a 2xy，b 1b2xy，所以 （a1 a2）2b1b2 （x y）2xy x2 y2 2xyxy2224，当且仅当 xy 时取等号. x2 y2xy5. 在等比数列a n中，各项都是正数，且 a1， a3，2a 2 成等差数列，则 12 a9 a10a7 a832 .2解析：由题意得 2 a3a 12a 2，即 a3a 12a 2 设等比数列 an的公比为 q 且 q0，12则 a1q2a 12a 1q，所以 q2 12q，解得 q1 或 q 1 (舍去)，所以 2 2a9 a10a7 a8q 2 ( 1) 232 . a9（1
4、 q）a7（1 q） 2 26. 设 Sn 是等比数列 an的前 n 项和，S 3，S 9，S 6 成等差数列，且 a2a 52a m，则m 8 .解析：当公比 q1 时，29a 13a 16a 1，则 a10，舍去；当公比 q1 时，2 ，所以 2q61q 3.又 a2a 2q3a 2(1q 3)2a 2q6，即a1（1 q9）1 q a1（1 q3）1 q a1（1 q6）1 q2a8a 2a 5，从而 m8.7. 已知等比数列a n的首项为 2，公比为 3，前 n 项和为 Sn. 若log3 9，则 的最小值是 .12an（S4m 1） 1n 4m 52解析：由题设知 an23 n1 ，
5、S 4m1 13 4m，所以 an(S4m1)2（1 34m）1 3 123 4mn1 .又 log3 9，所以 4mn19 ，即 4mn10，所以12an（S4m 1） (4mn)( ) ，当且仅当 ，即 mn2 时等号成1n 4m 110 1n 4m 110(17 4nm 4mn) 52 4nm 4mn立. 8. 设数列a n是首项为 a1，公差为1 的等差数列，S n 为其前 n 项和. 若 S1，S 2，S 4成等比数列，则 a1 的值为 .12解析：由题意得 S S 1S4，且2S1a 1，S 2a 1a 22a 1d， S4a 1a 2a 3a 44a 16d ，d1，所以 a1
6、. 129. 在等差数列a n中，已知首项 a10，公差 d0.若 a1a 260，a 2a 3100，则5a1a 5 的最大值为 200 .解析：由 a1a 260，a 2a 3100 得 2a1d60，2a 1 3d100，a 10，d0.由线性规划的知识得当 5a1a 56a 14d 过点(20 ，20)时取最大值 200.10. 已知数列a n满足 a1 ，2a n1 (nN *)，则 .43 12an 6 n i 11ai 23n 2 n4解析：条件化为 ，即 3 ，所以 3 n1 ，故 1an 1 3an 12 1an 1 14 (1an 14) 1an 14 n i 11ai .
7、 1 3n1 3 n4 23n 2 n411. 已知数列a n是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，满足 S52a 225，且a1，a 4，a 13 恰为等比数列 bn的前三项，求数列a n，b n的通项公式.解析：设等差数列a n的公差为 d(d0)，则 5a1 542 d 2（a1 d） 25，（a1 3d） 2 a1（a1 12d），)解得 a13，d2，所以 an2n1.因为 b1a 13，b 2a 49，所以等比数列b n的公比 q3，所以 bn3 n. 12. 已知数列a n，b n满足 2Sn(a n2)b n，其中 Sn 是数列a n的前 n 项和.(1) 若 bnn
8、，a 23，求数列a n的通项公式；(2) 在 (1)的条件下，设 cn ，求证：数列c n中的任意一项总可以表示成该数列其anbn他两项之积.解析：(1) 若 bnn，则 2Sn nan2n，所以 2Sn1 (n1)a n1 2(n1). 由得 2an1 (n 1)a n1 na n2，即 nan(n 1)a n1 2.当 n2 时，(n1)a n1 (n2)a n2，由得(n1)a n1 (n1)a n1 2(n1)a n，即 an1 a n1 2a n.又由 2S1a 12 得 a12，所以数列a n是首项为 2，公差为 321 的等差数列，故数列a n的通项公式是 ann1.(2) 由
9、(1)得 cn ，n 1n对于任意 nN *，若存在 kn，tn，kt ，k，t N *，使得 cnc kct，只需 n 1n ，即 1 ，即 ，则 t ，k 1k t 1t 1n (1 1k)(1 1t) 1n 1k 1t 1kt n（k 1）k n取 kn1，则 tn( n2)，所以对数列c n中的任意一项 cn ，都存在 cn1 和 cn22n 使得n 1n n 2n 1 （n 1）2n2 2ncnc n1 cn22n . 13. (1) 若数列a n是等差数列，a 110，S n 是其前 n 项和，且Sn10S n1 S n10(nN *)，求公差 d 的取值集合；(2) 若 b1，b 2，b k 成等比数列，公比 q 是大于 1 的整数，b 110，b 220，且b1b 2b k2 017，求正整数 k 的最小值.解析：(1) 由 Sn10S n1 S n10，得10a n1 10，所以1010nd10，所以 d0 对任意的 nN *恒成立，20n所以 d0，所以公差 d 的取值集合为0. (2) 因为 b110，b 210q20，所以 q2.又公比 q 是大于 1 的整数，所以 q2，所以 b1b 2b k 10(2 k1)2 017，10（1 2k）1 2所以 2k202.7.又因为 k 是正整数，所以 k8，即正整数 k 的最小值为 8.
