1、随堂巩固训练(44)1. 过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2y 24y0 所截得的弦长为_2 _3解析：易知过原点且倾斜角为 60的直线方程为 y x，圆的方程可化为 x2(y 2)324，圆心为(0，2)，半径为 2，所以圆心到直线的距离为 1.设弦长为 l，则 |2 0|3 1 l2，解得 l2 .22 1 32. 若过点 A(a，a) 可作圆 x2y 22axa 22a30 的两条切线，则实数 a 的取值范围为_( ，3) _(1，32)解析：将圆的方程化为(xa) 2y 232a. 由题意知点 A(a，a)在圆外，且 0，3 2a所以 解得 所以 13 2a，3 2a0， ) a1
2、或 a0)的公共弦长为 2 ，则 a_1_3解析：联立方程 x2y 22ay60 与 x2y 24，相减得 2ay2，所以 y .由题意1a得 ，解得 a 1.22 （3）21a8. 圆 2x22y 21 与直线 xsiny10 的位置关系( R， 2 k，k Z)是_相离_解析：将圆的方程化为标准方程得 x2y 2 ，所以圆心坐标为(0，0) ，半径 r .因12 22为|sin| r，则直线与圆的位置关系是相离11 sin2 229. 若直线 l：xy20 与圆 C：x 2y 22x6y2 0 交于 A，B 两点，则ABC的面积为_2 _3解析：圆 C：x 2y 22x6y 20 的圆心为
3、(1，3)，半径 r2 ，圆心到直线的距2离 d ，所以 AB2 ，所以 SABC 2 2 .|1 3 2|2 2 6 12 6 2 310. 已知以点 A(1，2)为圆心的圆与直线 l1：x2y 70 相切过点 B(2，0) 的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点(1) 求圆 A 的方程；(2) 当 MN2 时，求直线 l 的方程19解析：(1) 设圆 A 的半径为 r.因为圆 A 与直线 l1：x2y70 相切，所以 r 2 ，| 1 4 7|5 5所以圆 A 的方程为(x1) 2(y 2) 220.(2) 当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意；当
4、直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.连结 AQ，则 AQMN.因为 MN2 ，所以 AQ 1，19 20 19所以由 AQ 1，得 k ，|k 2|k2 1 34所以直线 l 的方程为 3x4y 60.综上所述，直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.11. 已知点 P(0，5)及圆 C：x 2y 24x12y240.(1) 若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ，求直线 l 的方程；3(2) 求过点 P 的圆 C 的弦的中点的轨迹方程解析：(1) 方法一：圆 C 的标准方程为(x2) 2(y6) 216.如图所示，AB4 ，
5、D 是 AB 的中点，3所以 CDAB ，AD2 ，AC4，在 RtACD 中，CD 2.3 42 （23）2当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为y5kx，即 kxy50.由点到直线距离公式得 2，解得 k ，| 2k 6 5|k2 （ 1）2 34所以直线 l 的方程为 3x4y 200；当直线 l 的斜率不存在时也满足题意，此时直线的方程为 x0.综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y200.方法二：当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线 l 的方程为ykx5，联立方程组 y kx 5，x2 y2 4x 12y 24 0，)消去 y
6、并整理得(1k 2)x2(42k)x 110.设方程的两个根为 x1，x 2，则 x1x 2 ，x 1x2 .2k 41 k2 111 k2由弦长公式得 |x1x 2| 4 ，1 k2 （1 k2）（x1 x2）2 4x1x2 3将代入得 k ，34所以直线 l 的方程为 3x4y 200；当直线 l 的斜率不存在时也满足题意，此时直线的方程为 x0.综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y200.(2) 设过点 P 的圆 C 的弦的中点为 D(x，y) ，则 CDPD，所以 0 ，即(x2，y6)(x，y5)0，CD PD 化简得 x2y 22x11y300，故所求轨迹方程为 x2y
7、 22x11y300.12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AOB 和COD 为两个等腰直角三角形，A(2， 0)，C(a，0)(a0)设AOB 和COD 的外接圆圆心分别为 M，N.(1) 若圆 M 与直线 CD 相切，求直线 CD 的方程；(2) 若直线 AB 截圆 N 所得弦长为 4，求圆 N 的标准方程；(3) 是否存在这样的圆 N，使得圆 N 上有且只有三个点到直线 AB的距离为 ？若存在，求此时圆 N 的标准方程；若不存在，请说明理2由解析：(1) 由题意得圆心 M(1，1)，直线 CD 的方程为xya0，所以圆 M 的方程为(x1) 2(y1) 22.因为圆 M 与直线 C
8、D 相切，所以圆心 M 到直线 CD 的距离 d ，| a|2 2解得 a2( 舍去负值)，所以直线 CD 的方程为 xy20.(2) 由题意得直线 AB 的方程为 xy20，圆心 N ，(a2，a2)所以圆心 N 到直线 AB 的距离为 .|a2 a2 2|2 2因为直线 AB 截圆 N 所得的弦长为 4，所以 ( )2 ，(42)22 (a2 0)2(a2 0)2所以 a2 (舍去负值 )，3所以圆 N 的标准方程为(x )2(y )26.3 3(3) 存在圆 N，使得圆 N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离为 .2由(2)知圆心 N 到直线 AB 的距离为 (定值)，且 ABCD 始
9、终成立，2所以当且仅当圆 N 的半径 2 ，即 a4 时，圆 N 上有且只有三个点到直线 AB 的a2 2距离为 ，2此时圆 N 的标准方程为(x2) 2(y 2) 28.13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2y 24 交 x 轴于点 A，B(点 A 在 x 轴的负半轴上) ，M 为圆 O 上一动点，MA，MB 分别交直线 x 4 于 P，Q 两点(1) 求 P，Q 两点纵坐标的乘积；(2) 若点 C 的坐标为(1 ，0)，连结 MC 交圆 O 于另一点 N.试判断点 C 与以 PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由；记 MA，NA 的斜率分别为 k1，k 2，试探究 k1k2
10、是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解析：(1) 由题意得点 A(2 ，0)，B(2，0)设点 M(x0，y 0)，则直线 AM 的方程为 y (x2)y0x0 2令 x4，则 y ，所以点 P .6y0x0 2 (4，6y0x0 2)同理点 Q ，(4，2y0x0 2)所以 yPyQ 12.6y0x0 2 2y0x0 2(2) 点 C 在圆内理由如下：由(1)知 ， ，CP (3，6y0x0 2) CQ (3，2y0x0 2)所以 9 3，CP CQ 6y0x0 2 2y0x0 2所以PCQ ，所以点 C 在圆内2设点 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)当直线 MN 的斜率不存在时，M(1 ， )，N(1， )，此时 k1k2 ；3 313当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 yk(x 1)，代入圆的方程 x2y 24，整理得(1k 2)x22k 2xk 24 0，所以 x1x 2 ，x 1x2 .2k21 k2 k2 41 k2又 k1k2 ，y1y2（x1 2）（x2 2） k2（x1x2 x1 x2 1）x1x2 2（x1 x2） 4所以 k1k2k 2 .k2 41 k2 2k21 k2 1k2 41 k2 4k21 k2 4 13综上，k 1k2 为定值 .13
