1、随堂巩固训练(46)1. 已知方程(2k)x 2ky 22kk 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是_(1， 2)_解析：由(2k)x 2ky 22kk 2 表示椭圆知，2kk 20，所以 1.因为方程x2k y22 k表示焦点在 x 轴上的椭圆，所以 k2k0，即 1a20，解得 0AB.根据椭圆的定义可得，点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴为 8 的椭圆(长轴端点除外)，所以2a8，2c4，所以 a4，c2，可得 b2a 2c 212，故点 C 的轨迹方程为 1(y0)x216 y2128. 椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在椭圆上若 PF14
2、，则x29 y22PF2 _2_，F 1PF2 的大小为_120_解析：由 PF1PF 26 且 PF14，知 PF22.在PF 1F2 中，cosF 1PF2 ，12所以F 1PF2 120.9. 已知椭圆 C1 与椭圆 C2： 1 有相同的焦点，椭圆 C1 过点( ，1) ，则椭x29 y25 6圆 C1 的标准方程为_ 1_x28 y24解析：设椭圆 C1 的方程为 1，则 a2b 2954，将点( ，1) 代入x2a2 y2b2 6 1，联立 解得 则椭圆 C1 的标准方程为 1.6a2 1b2 a2 b2 4，6a2 1b2 1，) a2 8，b2 4，) x28 y2410. 椭圆
3、 1 上一点 P 到两个焦点的距离之积为 m，则当 m 取得最大值时，点x225 y29P 的坐标是_(0，3)或(0， 3)_解析：由题意得 a5，b3，c 4，由椭圆的定义得 PF1PF 210，所以a2 b2点 P 到两焦点的距离之积 mPF 1PF2 25，当且仅当 PF1PF 25 时，12（PF1 PF2）2等号成立，m 有最大值为 25，此时点 P 的坐标为(0，3) 或(0 ，3)11. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的 3 倍，且过点P(3，2)，求椭圆的方程解析：当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2则 解得2a 32b，
4、9a2 4b2 1，) a2 45，b2 5，)所以椭圆的方程为 1；x245 y25当焦点在 y 轴上时，设椭圆方程为 1(ab0) ，y2a2 x2b2则 解得 所以椭圆的方程为 1.2a 32b，9b2 4a2 1，) a2 85，b2 859，) 9x285 y285综上，椭圆的方程为 1 或 1.x245 y25 9x285 y28512. 已知椭圆(m2)x 2y 2 m(m0)的焦距 F1F2 .6(1) 求 m 的值及其焦点的坐标；(2) 椭圆上是否存在一点 P，使得 F 1PF290 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1) 把椭圆方程化为 1，x2mm
5、 2 y2m因为 m0，所以 m .所以 a2m，b 2 ，mm 2 mm 2所以 c2a 2b 2m ，mm 2 ( 62)232解得 m2 或 m (舍去)，32椭圆的焦点坐标为 .(0， 62)(2) 由(1)知，椭圆方程为 1，即 4x2y 22.x212 y22设点 P(x0，y 0)，则有 4x y 2.20 20因为F 1PF290 ，所以F 1PF2 为直角三角形，所以 PO F1F2 ，所以 x y .12 62 20 20 ( 62)232联立，解得 x0 ，y 0 ，66 233所以存在 4 个符合条件的点 P，即( ， )，( ， )，( ， )，( ，66 233 6
6、6 233 66 233 66)23313. 已知椭圆 C： 1(ab0)的长轴长为 4.x2a2 y2b2(1) 若以原点为圆心、椭圆短半轴长度为半径的圆与直线 yx2 相切，求椭圆 C 的焦点坐标；(2) 若 P 是椭圆 C 上的任意一点，过原点的直线 l 与椭圆相交于 M，N 两点，记直线PM， PN 的斜率分别为 kPM，k PN，当 kPMkPN 时，求椭圆的方程14解析：(1) 由题意得 b .又 2a4，所以 a2.21 1 2因为 c2a 2b 2422，所以两个焦点坐标为( ，0) ，( ，0)2 2(2) 由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称，设点 M(x0，y 0)，则点 N(x 0，y 0)，P(x，y)由于点 M，N，P 在椭圆上，则 1， 1.x2a2 y2b2两式相减得 .b2a2由题意可知直线 PM，PN 的斜率存在，则 kPM ，k PN ，y y0x x0 y y0x x0kPMkPN ，y y0x x0y y0x x0 b2a2 14由 a2 得 b1，故所求椭圆的方程为 y 21.x24
