1、上海市交大附中 2017-2018 学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）1.“ ”是“ ”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出 x24 的充要条件，结合集合的包含关系判断即可【详解】由 x24，解得：2 x2，故 x2 是 x24 的必要不充分条件，故选： B【点睛】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题2.设函数 ，则 的值为（ ）A. B. C. 中较小的数 D. 中较大的数【答案】D【解析】函数当 时， ;当 时， ; 的值为 a,b 中较小的
2、数故选：C3.如图中，哪个最有可能是函数 的图象（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可【详解】 y ，令 y0，解得： x ，令 y0，解得： x ，故函数在（， ）递增，在（ ，+）递减，而 x0 时，函数值 y0，x时， y， x+时， y0，故选： A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.若定义在 上的函数
3、 满足：对任意 有 则下列说法一定正确的是A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数【答案】C【解析】x1=x2=0，则 ， 。令 x1=x， x2=-x，则，所以 ，即 。二、填空题（本大题共 12 小题，共 54.0 分）5.若关于 x 的不等式 的解集为 ,则实数 a_.【答案】4【解析】【分析】不等式即为（x+1） （xa）0，再再由它的解集为（，1）（4，+） ，可得1和 4 是（x+1） （xa）=0 的两个实数根，由此可得 a 的值【详解】关于 x 的不等式 即 （x+1） （xa）0再由它的解集为（，1）（4，+） ，可得1 和 4 是（x+1） （xa）=
4、0 的两个实数根，故 a=4，故答案为 4【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，体现了等价转化的数学思想，属于中档题6.设集合 ，若 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由 ，所以当 时，满足 ，此时不等式 无解，所以，当 即 时， ，由 可知 ，综上可知实数 的取值范围是 .考点：1.集合的运算；2.分类讨论的思想.7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于_弧度【答案】【解析】【分析】直接利用平面性质求出圆心角即可【详解】由题意可知：ABC 为等边三角形，所以圆心角等于 .故答案为： 【点睛】本题考查圆心角的求法，基本知识的考查8.若函数 的反函数的
5、图象经过点 ，则实数 _【答案】3【解析】【分析】由题意可得函数 f（ x）log 2（ x+1）+ a 过（1，4） ，代入求得 a 的值【详解】函数 f（ x）log 2（ x+1）+ a 的反函数的图象经过点（4，1） ，即函数 f（ x）log 2（ x+1）+ a 的图象经过点（1，4） ，4log 2（1+1）+ a41+ a，a3故答案为：3【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题9.若 ，则满足 的 的取值范围是_【答案】 （1，+）【解析】【分析】根据题意，将 f（ x）0 变形为 1，解可得 x 的取值范围，即可得答案【详解】若 ，则满足 f（
6、 x）0，即 ，变形可得： 1，函数 g（ x） 为增函数，且 g（1）1，解可得： x1，即 x 的取值范围为（1，+） ；故答案为：（1，+） 【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.已知 是 上的增函数，那么 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，由分段函数的单调性分析可得 ，解可得 a 的取值范围，即可得答案【详解】根据题意， f（ x） 是（，+）上的增函数，必有 ，解可得 a7，即 a 的取值范围为：故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质，注意三点：第一段单调性，第二段单调性，断点处的函数值的比较，属于中档题.11.定义在 上的偶函数 ，当 时，
7、，则 在 R 上的零点个数为_【答案】0【解析】【分析】求出 x0 时函数的零点个数，结合奇偶性即可得到结果【详解】当 x0 时， f（ x） lg（ x2+3x+2） ，令 lg（ x2+3x+2）0，即 x2+3x+10，解得 x （舍去） 因为函数是定义在 R 上的偶函数 y f（ x） ，所以函数的零点个数为：0 个故答案为：0【点睛】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力12.设 ， ，则 的值为_【答案】7【解析】【分析】利用已知条件求出 a、 b、 c、 d 的关系式，化简所求的表达式，求解即可【详解】 f（ x） x4+ax3+bx2+cx+d， f（
8、1）1， f（2）2， f（3）3，可得： ， b6 a25； c11 a+61； d6 a36， f（4）+ f（0）（256+64 a+16b+4c+2d）（128+32 a+8b+2c+d）（128+32 a48 a200+22 a+1226 a36）147【点睛】本题考查求函数的值，待定系数法的应用，考查计算能力13.设 为 的反函数，则 的最大值为_【答案】4【解析】【分析】由 f（ x）4 x2 +x1 在 x0，2上为增函数可得其值域，得到 y f1 （ x）在 ，2上为增函数，由函数的单调性求得 y f（ x）+ f1 （ x）的最大值【详解】由 f（ x）4 x2 +x1 在
9、 x0，2上为增函数，得其值域为 ，2，可得 y 在 ，2上为增函数，因此 y f（ x）+ 在 ，2上为增函数， y f（ x）+ 的最大值为 f（2）+ （2）2+24故答案为：4【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题14.已知函数 ，且 为 的最小值，则实数 a 的取值范围是_【答案】0，4【解析】【分析】若 f（0）为 f（ x）的最小值，则当 x0 时，函数 f（ x）（ x a） 2为减函数，当 x0 时，函数 f（ x） 的最小值 4+3a f（0） ，进而得到实数 a 的取值范围【详解】若 f（0）为 f（ x）的最小值，则当 x0 时
10、，函数 f（ x）（ x a） 2为减函数，则 a0，当 x0 时，函数 f（ x） 的最小值 4+3a f（0） ，即 4+3a a2，解得：1 a4，综上所述实数 a 的取值范围是0，4，故答案为：0，4【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题15.设 ，若函数 在区间 上有两个不同的零点，则 的取值范围为_【答案】 （0，1）【解析】【分析】函数 在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程 x2+bx+a0 在区间（1，2）上两个不相等的实根，利用线性规划知识即可得到结果.【详解】函数 在区间（1，2）上有两个不同的
11、零点，即方程 x2+bx+a0 在区间（1，2）上两个不相等的实根， ，如图画出数对（ a， b）所表示的区域，目标函数 z f（1）= a+b+1 z 的最小值为 z a+b+1 过点（1，2）时， z 的最大值为 z a+b+1 过点（4，4）时 f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解16.已知下列
12、四个命题：函数 满足：对任意 ，有 ；函数 均为奇函数；若函数 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足 ，那么；设 是关于 的方程 的两根，则 其中正确命题的序号是_【答案】【解析】【分析】由指数的运算性质和基本不等式，可判断；运用奇偶性的定义和性质，可判断；由题意可得 f（ x）+ f（2 x）0，结合条件可得 f（ x）为最小正周期为 4 的函数，可得结论，可判断；由对数的运算性质，可判断【详解】函数 f（ x）2 x满足：对任意 x1， x2R， x1 x2，f（ x1）+ f（ x2） 2 2 2f（ ） ，故正确；由 x0， x0 时， x 0 成立；由 x0， x2+1 x2
13、，可得 x，即 x 0，由 f（ x）+ f（ x）log 2（ x2+1 x2）0，即有 f（ x）为奇函数；又 g（ x）+ g（ x）2 2 0，可得 g（ x）为奇函数函数 均为奇函数，故正确；若函数 f（ x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得 f（ x）+ f（2 x）0，且满足 f（4 x） f（ x） ，则 f（4 x） f（2 x） ，即 f（2+ x） f（ x） ，可得f（ x+4） f（ x+2） f（ x） ，即 f（ x）为最小正周期为 4 的函数，可得 f（2018） f（4504+2） f（2） ，那么 f（2） f（2018） ，故正确；设 x1， x
14、2是关于 x 的方程|log ax| k（ a0， a1）的两根，可得 logax1+logax20，即 logax1x20，则 x1x21，故正确故答案为：【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0 分）17.解关于 的不等式： 【答案】当 a1 或-1 a0 时，不等式的解集为 当 时，解集为当0 a1 或 a-1 时，不等式的解集为 【解析】【分析】原不等式即（log 2x a）（log 2x ）0，分类讨论 a 与 的大小关系，求得 log2x 的范围，可得 x 的范围【
15、详解】关于 x 的不等式： ，即 ，即 当 时，即 a1 或-1 a0 时， ， ，原不等式的解集为 当 时，即 时，不等式即 ，显然它无解，即解集为 当 时，即 0 a1 或 a-1 时， ， ，原不等式的解集为【点睛】 （1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类18.设 ，函数 ；（1）求 的值，使得
16、为奇函数；（2）若 对任意的 成立，求 的取值范围【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得 f（0） 0，解可得 a 的值，即可得答案；（2）根据题意， 变形可得 3（ a1） a（3 x+1） ，分 3 种情况讨论，求出 a 的取值范围，综合可得答案【详解】 （1）根据题意，函数 ，其定义域为 R，若 为奇函数，则 ，解可得 ；故 ；（2）根据题意， ，即 ，变形可得： ，即 ， （）分 3 种情况讨论：当 a=0 时， （）变形为-30，恒成立，当 a0 时， （）变形为 ，若 恒成立，必有 ，解可得 ，此时 a 的取值范围为（0， ，当 a0 时
17、， （）变形为 ，不可能恒成立，综合可得： a 的取值范围为 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和。（）求 k 的值及 f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。【答案】 ，
18、因此 .,当隔热层修建 厚时，总费用达到最小值为 70 万元。【解析】解：（）设隔热层厚度为 ，由题设，每年能源消耗费用为 .再由 ，得 ，因此 .而建造费用为最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为（） ，令 ，即 .解得 ， （舍去）.当 时， ，当 时， ，故 是 的最小值点，对应的最小值为 。当隔热层修建 厚时，总费用达到最小值为 70 万元。20.已知函数 |， （1）若 ，求 在 上的最小值；（2）若 对于任意的实数 恒成立，求 的取值范围；（3）当 时，求函数 在 上的最小值【答案】(1)(2)(3)【解析】（1） ；（2）即 恒成立，得 ，即 对 恒成立，因，故只需
19、 ，解得 ，又 ，故 的取值范围为 。（3）当 时，由（2）知 ，当 时， 。当 时， ，故 。时， ， ；时， ， ；时，由 ，得 ，其中 ，故当时， ；当 时， .因此，当 时，令 ，得 ，且 ，如图，()当 ，即 时， ；()当 ，即 时， ；()当 ，即 时， 。综上所述，(wwwcom)wwwcom版权所有：(wwwcom)21.对于定义在 上的函数 ，若函数 满足：在区间 上单调递减，存在常数 p，使其值域为 ，则称函数 是函数 的“逼进函数” （1）判断函数 是不是函数 的“逼进函数” ；（2）求证：函数 不是函数 ，的“逼进函数”（3）若 是函数 的“逼进函数” ，求 a 的值
20、【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）2.【解析】【分析】（1）由 f（ x） g（ x） ，化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足，说明不满足，即可得证；（3）由新定义，可得 y x ax 为0，+）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得 a 的范围；再由值域为（0，1，结合不等式恒成立思想可得 a 的范围，即可得到 a 的值【详解】 （1） ，可得 在0，+）递减，且 ，可得存在 ，函数 y 的值域为 ，则函数 是函数 ， 的“逼进函数” ；（2）证明： ，由 ， 在0，+）递减，则函数 在0，+）递减，则函数 在0，+）的最大值为 1；由 时， ， 时， ，则函数 在0，+）的值域为（-，1，即有函数 不是函数 ， x0，+）的“逼进函数” ；（3） 是函数 ， 的“逼进函数” ，可得 为0，+）的减函数，可得导数 在0，+）恒成立，可得 ，由 x0 时， ，则 ，即 ；又 在0，+）的值域为（0，1，则 ，x=0 时，显然成立；x0 时， ，可得 ，即 则 a=2【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题
