1、1. 已知函数 在 的某个邻域内有连续的导数，且)(xf0求 及 (-1 2),2)(sinlm20xfx 0.2. 已知 在 处可导，且 则 , .)(f ,31arctnlim)(0xfe)0(f)(f( )0)f31(f3. 1arctntlim2n解： ttli2n 1arctntlim2xx法 1 法 则洛 必 达 322)1(limxaax 223)(li aax法 2：设 ，则 ，由拉格朗日中值定理得frctn)(2)(f)1,()(1att 2xafx222 limrctntlimxx22liax axx21li4. 求不定积分 d)ln(解: dxxxx 222 1)l()1
2、l( Cd 222 )ln(1)ln(5. 求不定积分 x4sinco解： Cxxdx )arctn(si21)(sin12sin1co 246.计算下列定积分.(1) 30arcsidx解: 230230 )1(arcsin11rcsin tdtxt 302230232 cos4si)(1arcsi dyydtt34tan340y(2) 42sidx解: 3434342 cotct)cot(sin xdxx2ln1)93(sil)91(347. 求下列广义积分. (1) )0(cos0abxdea解： )(cos1axebd0incos1ebxeaax0inda02)(si1axebd02
3、cosi1ebxebax02cos1bxdea20cosbaxdea(2) a223)(解： 2121221223223 )(lim)(lim)(li)( asaxaxdaxd asassa故该广义积分发散.8. 计算定积分 31215xd解: 312312312 41)5(5tdtdtx9.求定积分 40)tan1l(dx解法 1： 444 000 )tan12l()tan1l()tl( duduul8)l(2ln4)ta1ln(2l 444 000 xddu解法 2： 4444 0000 cosln)sil(co)cosil()t1l( xddxx而 44 00 )(2ln)siln(co
4、 dd04cosl2luxu 40coslnl8x所以原式 ln80 xy0 xy解法 3：利用等式 00 )(sin2)(sindxfdxf 44 020 ta1ec)ta1l()ta1ln( dx02)4(tan1sec4ltdx上 02)4(tns8l td0)(4t82ln4t 0)a1l(2ln2lnll10.求双扭线 所围图形的面积. si42解：由方程知 ，即 0或 ， 03得 或 ， 2故双纽线的两个分支分别位于第一象限和第三象限，由对称性 2020sin41ddA42cos011.求圆 与心形线 所围图形公共部分的面积i1解：设 为心形线与 轴在第四象限围成的图形的面积，则1
5、x，由对称性 ddA2)sin(1A上022)sin(1d022)i(xyoxdxyod)(axyo)(bR24512.半径为 的半球形水池内存满水，求吸出池中全部水所做的功 .m0解法 1：如图 选取坐标系，图中半圆为半球体的截面，)(a水的密度 ,半圆的方程为 ，3/kg 220yx将水池中位于 中的水吸出所作的功的微元为,dxdxgygxdW)20(12（焦耳）970 10235.14)(1 g解法 2：如图 选取坐标系，图中半圆为半球体的截面，)b水的密度 ,设半球体的半径为 3/0mkgR水池中位于 的表面的水的面积为 ，2)cos(表面距水面的距离为 ，故图中薄片的体积sinR为
6、，因而将水池中位于)()cos(2d的薄片的水吸出所作的功的微元为 dRggdWsincosi)i()( 34242042034 1sinco gdR（焦耳）97105.1g13. 某加油站把汽油存放在地下一容器中，容器为水平放置的圆柱体. 如果圆柱的底面半径为 ，长度为 ，并且最高点位于地面下方 处，设容器装满了汽油，试求把容器m54m3中的汽油从容器中全部抽出所做的功(汽油的密度为 ).3/7.6kg解：如图选取坐标系，图中圆为圆柱体 的截面，圆的方程为 ，225.1yx将容器位于区间 上的汽油,d抽出所作的功的微元 )42)(5.4(ygdWdxx.1.8 5.125.12.485.1)
7、4(8 dxgdxxgW（焦耳）37.8.8.9736. g上14. 已知 ，求 的表达式 xxf 2sinta)cos2( )(f解法 1： )cossit)c(2xdd故 (s)cs( 2f 1)cos()o2( Cxfx 23222 cos1)(cosscssinta Cxxddx Cxf 3os1)co(令 ，则 ，即xu2uuf3)2()( Cxxf3)2(1)(解法 2（换元法）：令 ，则 ，所以xcos2xf 22222 coscos1secinta)cs() 22)(1u两边对 积分， dudf22)()(1则 ，即Cuf32)( Cxxf3)2(115. 设 在区间 上连续，
8、 ，证明)(xf,0a0)(af)(0Madfa解法 1：由于 在区间 上连续，由闭区间上连续函数的最值定理，必存在 ，,使得在区间 上， ，所以 ,0aMxf)( adxfd0)()(xyo)2(1xydxyo2xy124y32)()( 000 Maxdfxdfxaaa 解法 2：由于 在区间 上连续，由闭区间上连续函数的最值定理，必存在 ，, M使得在区间 上， 。由于 在区间 上连续，利用中值定理或泰,axf)()(xf,a勒公式， ，使得 ，(b )(xfa所以 2000)() aMdxdxfdxfaa 16. 曲线 和 轴围成一平面图形，求此图形绕 轴旋转一周所成旋转体21(y y的
9、体积.解：曲线 与 )(x轴的交点为 ， ， x0,1,2选 为积分变量，则体积微元 为 dxydVy)(x212 2)3(2)(11 dxdxy17. 求由曲线 与 轴所围成的平面图形绕直线 旋转一周所得的旋转32y 3y体的体积 .V解：曲线 关于 轴对12xy称(只画出第一象限的图形)，与 轴的 交点坐标为 、 ，设以)0,(,(， ， ， 围x3y2x0y成的平面图形为 ， 绕 所得A的旋转体的体积记为 ，为使 成为坐标轴，做坐标平移 ，V33yYX则曲线在新坐标系中的方程为 ，它的图像与 轴（直线 ）的交点为12XYxyoxd、 ，且关于 轴对称，选 为积分变量，利用对称性，则)0,
10、1(,(YX 154862)1(2320220 ddVAX18.在椭圆 绕其长轴旋转所成的椭球体上，沿其长轴方向穿心打一圆孔，使剩14yx下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径.解：设圆孔的直径为 ，由方程 r2知 轴是椭圆的长轴，所求旋转y体可视为由 轴正向上的图形绕x轴所得，选取 为积分变量，如图，在 上的体积微元,dxydVy2d24x1802dV上 38)1(38102x21212 )()(8 rxrr上由题意 得 ，解得上V上223)1(88341r故圆孔的直径 34r19.半径为 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，R需做多少功？解：
11、如图选取坐标系，图中的圆为球体 的截面，其方程为 ，小22Ryx区间 上球体薄片的体积微,d元为 ，将球dxyV)(22 从水中取出时，此薄片在水中经过的距离为 ，在空气中经过的距离为 ， xR)(2xyo12xdxyod4xyod因为球的密度与水相同，在水中重力与浮力大小相等，方向相反，所以小薄片在水中移动时作功为零.在空气中 dxRgxdW)()(2402 3)( RgRgxR 20.容器上部为圆柱形，高为 ，下半部为半球形，半径为 ，容器盛水到圆柱的一半，m4m2该容器埋在地下，容器口离地面 ，求将其中的水全部吸上地面所做的功.3解：如图选取坐标系，图为容器的截面， 半球截面的方程为 ，
12、设将2yx圆柱部分吸出所作的功为 ，将半球1W部分吸出所作的功为 ，则在小区间2上薄片的体积微元,dxdxgdxg)7(4)7(21 ，y22 所求功 1W02)7(4dxg02)(焦耳)61075.289104.3268348 gg21.水管的一端与储水器相连，另一端是阀门，已知水管直径为 ，储水器的水面高出cm水管上部边缘 ，求阀门所受侧压力.cm10解：如图选取坐标系，图中的圆为阀门 的截面，其方程为 ，2203.yx小区间 上阀门所受侧压力,d微元为 dxygF2)03.1(xg.203. 2.)(.02.14dxgg42107.9)03.(413. 上(牛顿)53.28.9104.3
13、1027.9322.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 ， ） ，k0汽锤第一次击打将桩打进地下 . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一am次击打时所作的功之比为常数 . 问)10(r(1) 汽锤击打桩 次后，可将桩打进地下多深？3(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注： 表示长度单位米）m解：设：(1)第 次击打后，桩被打进地下总深度为 ，汽锤第 次所作的功为nnx,由题设，当桩被打进地下深度为 时，土层对桩的阻力为 ，)2,1(wn kx故 ,由题设，汽锤每次击打所作的功与前一次击2210 kaxkdx打时所作的功之比为常数 ，故r 112312, wrwrrwn则前 次击打所作功总和为n1n 21karrn又 2021 nxnxkdwwn从而有 ，则 ，221nakrarn1故 arx2331即汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下 米 .ar21(2) ，arxnnn 1limli即击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 米.r123.
