1、反比例函数一. 教学内容：反比例函数教学目标：1. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。2. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。二. 重点、难点：重点：1能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质4.反比例函数的应用。三、知识要点1、经历
2、抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量 x，y 之间的关系可以表示成 y= （k 为常数，k 不等于 0）的形式，那x么称 y 是 x 的反比例函数.从 y= 中可知，x 作为分母，所以不能为零k3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用 “光滑的曲线 ”，不能用折线4、反比例函数的性质反比例函数 0kxyk 的取值范围 0k图象性质 的取值范围是 ，x0x的取值范围是yy函数图象的两个分支分
3、别在第一、三象限，在每一个象限内 随 的yx增大而减小 的取值范围是 ，x0x的取值范围是yy函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内 随 的yx增大而增大注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与 轴、 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；xy3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。5、反比例函数系数 的几何意义k如图，过双曲线上任意一点 P 作 轴， 轴的垂线 PM，PN，所得矩形的面积为xy PNMSNM ，xkyyNMS即过双曲线上任一点作 轴， 轴的垂线，所得矩形的面积为xyk注意：若已知矩形的面积为 ，应根据双曲线的
4、位置确定 k 值的符号。k在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，分别过 P，Q 作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，S 2，则有 S1S 2。四、典例解析考点一、反比例函数的定义例 1、用电器的输出功率 P 与通过的电流 I，用电器的电阻 R 之间的关系是，下面说法正确的是（ ）A. P 为定值，I 与 R 成反比例B. P 为定值， 与 R 成反比例2IC. P 为定值，I 与 R 成正比例D. P 为定值， 与 R 成正比例2本题的答案是：B例 2、 为何值时， 是反比例函数？k52kxy解： 1502由 得。xk。yk52是 反 比 例 函 数时当 常见的错误：
5、1）不会把反比例函数的一般形式 写成 形式；xky1x2）忽略了 这个条件。02k考点二：反比例函数的图象例 3、若 三点都在函数 的图象上，则 的大小关系是（ 321,1, yCByA xy1321,y）A. B. C. D. 321321231321y答案为 A例 4、观察下面函数 和 的图像，请大家对比着探索它们的异同点xy相同点：a、图像都是由两条曲线组成b、它们都不与坐标轴相交c、它们都不过原点不同点：它们所在的象限不同， 的两条曲线在第一和第三象限， 的两条曲线在第二xy2 xy2和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？由此看来，反比例函
6、数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以，当 k 大于 0 时，图像的两条曲线在第一、三象限内，当 k 小于 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限。考点三：反比例函数的性质例 5、已知反比例函数 ，分别根据以下条件求出 的取值范围。xky4k（1）函数图象位于第一、三象限内；（2）在每一个象限内， 随 的增大而增大。解：（1）双曲线在第一、三象限内， 04k4k（2）在每一个象限内 随 的增大而增大 yx 例 6、如图，反比例函数图像上任取两点 P、Q，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线与坐标
7、轴围成的矩形面积为 ，过点 Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 。1S 2S（1） 与 有什么关系？为什么？2（2）将反比例函数的图像绕原点旋转 180 度后，能与原来的图像重合吗？解：（1）P、Q 两点在同一条曲线上：设 P（ ） ，过 P 点分别作 x 轴、y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为 ，则1,yx 1S因为（ ）在反比例函数 的图像上，所以1S1, xk1xky即 所以kkS同理可知 所以 =212SP、Q 分别在不同的曲线上：解法同 1同理可知 =S2因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点 P、Q，不管 P、Q 是在同一条曲线上，还是在不同的
8、曲线上，过 P、Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积 、 都有 =1S212S（2）若将反比例函数的图像绕原点旋转 180 度后，能与原来的图像重合. 因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。考点五：反比例函数的实际应用例 7、小明将一篇 24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.（1）如果小明以每分钟 120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度 v（字/min）与完成录入的时间 t（min）有怎样的函数关系（3）小明希望能在 3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度录入时间解
9、：（1）24000120=200（分钟） 所以他需要用 200分钟才能完成录入工作。（2）函数关系式是： （3）3h=180mintv2403.14082v由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入 134个字。例 8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）与电阻 R（ ）之间的函数关系如图所示。（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ /R3 4 5 6 7 8 9 10A4解：（1）设函数表达式为 ， 在图象上，RUI4,9A 蓄电池的电压是
10、36伏。36IU6（2） /R3 4 5 6 7 8 9 10A12 9 7. 2 6 34. 5 4 3. 6电流不超过 10A，即 I最大为 10A，代入关系式中得 R=3.6，为最小电阻，所用电器的可变电阻应控制在 这个范围内.63例 9、 反 比 例 函 数 的 图 象 上 有 一 点 P（ m， n） 其 坐 标 是 关 于 t的 一 元 二 次 方 程 的032kt两 根 ， 且 P到 原 点 的 距 离 为 ， 求 该 反 比 例 函 数 的 解 析 式 . 13分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出 k，为此我们需要列出一个关于 k的方程. 解： m，n 是关于 t的方程 的
11、两根 m+n=3， mn=k，02t又 PO= 132n 9 2k=13. 2 k= 2 当 k= 2时 ， =9+8 0， k= 2符 合 条 件 ， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ： x2y考 点 六 ： 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 应 用例 10、 如 图 ， 一 次 函 数 的 图 象 与 反 比 例 函 数 的 图 象 相 交 于 A、 B两 点 。bkxyxmy（ 1） 根 据 图 象 ， 写 出 B点 的 坐 标 ； （ 2） 求 出 两 函 数 的 解 析 式 ；（ 3） 根 据 图 象 回 答 ： 当 为 何 值 时 ， 一 次 函 数 的 函 数
12、值 大 于 反 比 例 函 数 的 值 。x解 ： （ 1） 由 图 象 可 得 B（ 4， 3）（ 2） 把 反 比 例 函 数 上 的 点 代 入 函 数 的 关 系 式 得xmy4312 反 比 例 函 数 的 关 系 式 为 xy12由 图 可 知 一 次 函 数 与 坐 标 轴 的 交 点 为 （ 0， 1） 和 （ 2， 0）把 这 两 点 代 入 一 次 函 数 关 系 式 +b得 ：k解 得 ：bk20121k 一 次 函 数 的 关 系 式 为 ： xy（ 3） 由 图 象 可 知 ， 当 时 ， 一 次 函 数 的 函 数 值 大 于 反 比 例 函 数 的 函 数 值 。
13、406或例 11、 如 图 ， 平 行 于 直 线 的 直 线 不 经 过 第 四 象 限 ， 且 与 函 数 的 图 象 交 于 点l 03xyA， 过 点 A作 AB 轴 于 点 B， AC 轴 于 点 C， 四 边 形 ABOC的 周 长 是 8， 求 直 线 的 解 析 式 。yx l解 ： 点 A在 函 数 的图象上，03xy设 A点的横坐标为 ，由点 A的纵坐标为 ，即 A点的坐标为aa3a3,0AB 轴于点 B，AC 轴于点 C，BOC=90yx四边 形 ABOC是 矩 形 ， 四边 形 ABOC的 周 长 是 8， 即832a0342a解 得 ,12当 1时当时 A点 坐 标
14、为 （ 1， 3） 或 （ 3， 1） （ 由 题 意 可 知 ） A点 坐 标 为 （ 1， 3）xy设 直 线 的 解 析 式 为 把 A点 代 入 得lbxyb3=1+b b=2 直 线 的 解 析 式 为l2xy课后检测一、选择题1. 下列不是反比例函数图象的特点的是 （ ）A. 图象是由两部分构成 B. 图象与坐标轴无交点C. 图象要么总向右上方，要么总向右下方D. 图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内2. 若点（3，6）在反比例函数 （k0 ）的图象上，那么下列各点在此图象上的是（ ）xkyA. （ ，6） B. （2，9） C. （2， ） D. （3， ）96*3. 当 时，下列
15、图象中表示函数 的图象的是 （ ）0x 14. 如果 x 与 y 满足 ，则 y 是 x 的 （ ）01xA. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数5. 已知反比例函数的图象过（2，2）和（1，n） ，则 n 等于 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 126. 已知某县的粮食产量为 a（a 为常数）吨，设该县平均每人粮食产量为 y 吨，人口数为 x，则 y与 x 之间的函数关系的图象可能是下图中的 （ ）A. B. C. D. 7. 若 ab0，则函数 axy与 b在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的（ ）A. B. C. D. 8、下列函数中， 是 反比例函数
16、的是（ ）yxA. y2B. 12C. yx1D. yx129、函数 y1=kx和 的图象如图所示，自变量 x的取值范围相同的是（ ）xk10、函数 与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）。11、反比例函数 （k0）的图象的两个分支分别位于（ ）象限。xky2A. 一、二 B. 一、三 C. 二、四 D. 一、四 12、当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成（ ）关系。A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数13、函数 ykxb与 ykx()0的图象可能是（ ）A B C D14、如图，是三个反比例函数 在 x轴上的图像，由此观察得到 k1、k 2、k
17、3的kyxky321,大小关系为（ ）A. k1k2k3 B. k1k3k2 C. k2k3k1 D. k3k2k115、已知双曲线 上有一点 P（m，n），且 m、n 是关于 t的一元二次方程 t23t+k=0 的两根，P点到原点的距离为 ，则双曲线的表达式为（ ）A. B. C. D. 16、如图，正比例函数 y=x与反比例函数 的图象相交于 A、C 两点，ABx 轴于 B，CDx 轴xy1于 D，则四边形 ABCD的面积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 17、如图，已知点 A是一次函数 y=x的图象与反比例函数 的图象在第一象限内的交点，点 B在 x轴的负半轴上，且 OA=OB，那
18、么AOB 的面积为A. 2 B. C. D. 二、填空题1. 反比例函数 （k0 ）的图象是_，当 k0 时，图象的两个分支分别在第xky_、_象限内，在每一个象限内，y 随 x 的增大而_；当 k0 时，图象的两个分支分别在第_、_象限内，在每一个象限内，y 随 x 的增大而_；*2. 已知函数 ，当 x0 时，y_0，此时，其图象的相应部分在第_象限；41*3. 当 时，双曲线 y= 过点（ ，2 ） ；_kk34. 已知 （k0）的图象的一部分如图，则 ；xky 0_k5. 如图，若反比例函数 的图象过点 A，则该函数的解析式为_；xky*6. 若 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y
19、 2） ，C（x 3，y 3）都是反比例函数 的图象上的点，且xy1x10x 2x 3，则 y1，y 2，y 3由小到大的顺序是 ；*14. 已知 y 与 x 成正比例， z 与 y 成反比例，则 z 与 x 成_关系，当 时， ；当2y时， ，则当 时， ；yz_*7、已知 y与（2x+1）成反比例且当 x=0时，y=2，那么当 x=1 时，y=_。8、如果反比例函数 的图象经过点（3，1），那么 k=_。9、函数 与 y=2x 的图象的交点坐标是_。10、已知一次函数 y=ax+b图象在一、二、三象限，则反比例函数 y= 的函数值随 x的增大而_。11、已知 ，那么 y与 x成_比例，k=
20、_，其图象在第_象限。*12、反比例函数 ，当 x0 时，y 随 x的增大而增大，则 m的值是 。2m)1(y三、解答题1. 已知反比例函数 ，分别根据下列条件求 k 的取值范围，并画出草图.k4（1）函数图象位于第一、三象限.（2）函数图象的一个分支向右上方延伸.2. 已知 y 与 x 的部分取值满足下表：x 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 y 1 1.2 1.5 2 3 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）试猜想 y 与 x 的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式.（不要求写 x 的取值范围） （2）简要叙述该函数的性质.3、直线 kb过 x轴上的点 A（
21、32，0） ，且与双曲线 ykx相交于 B、C 两点，已知 B点坐标为（ 12，4） ，求直线和双曲线的解析式。4、已知一次函数 yx2与反比例函数 ykx的图象的一个交点为 P（a，b） ，且 P到原点的距离是 10，求 a、b 的值及反比例函数的解析式。5、已知函数 mm()212是一次函数，它的图象与反比例函数 ykx的图象交于一点，交点的横坐标是13，求反比例函数的解析式。6、已知反比例函数 的图象经过点 A（4， ），若一次函数 y=x+1的图象沿 x轴平移后经过xky21该反比例函数图象上的点 B（2，m），求平移后的一次函数图象与 x轴的交点坐标？试题答案一 1、B 2、C 3、
22、B 4、B 5、B 6、A7、D 8、C 9、C10、C 11.C 12. B13. C14. B15. B 16. A 17. B 二、11、2；12、3；13、 ；14、减小；15、反，6，二、四；16、1二、8.双曲线 一 三 减小 二 四 增大 9. 二，点拔：函数的系数是 4110. 6，把过曲线的点代入，可以求出 K 的值 11. 12 y= x213. y2y 3y 1，14. 反比例 1三、17、由题意知点 A（32，0） ，点 B（ 12，4）在直线 ykxb上，由此得0241kb3直线的解析式为 点 B（ 12，4）在双曲线 ykx上x2y412k， 双曲线的解析式为 yx18、由题设，得 bak102abk1684，2a6， 或 a， 6yx4819、由已知条件得 m021,或 则 yx32得 ：） 代 入，把 （ ），交 点 坐 标 为 （ 得 ：代 入把 xkyyxyx13231k反比例函数的解析式为： yx1320、（1，0）三、15. （1）k 4 图略（ 2）k 4 图略16. （1）反比例函数，y= .（2）该函数性质如下：x6图象与 x 轴、y 轴无交点；图象是双曲线，两分支分别位于第二、四象限；图象在每一个分支都朝右上方延伸，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大.
