1、第二章 分解因式的复习一、分解因式的概念（一）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 （和差化积）易错点注意：1、被分解的代数式（等式的左边）是多项式；2、分解后的因式（等式的右边）是整式；3、结果是积的形式；4、结果的因式必须分解彻底。（二）例：1、计算下列各式：(1) = _ _ _. (2) = _ _ _.ab()故 2ab(3) = _ _ _. (4) = _ _ _.8y1xy1根据上述算式填空：(5) =( )( ) (6) =( )( )ax 2a故(7) =( )( ) (8) =( )( )22b8小结：(1)(4) 是初一所学的整式
2、的乘法运算，而(5)(8)的过程就叫分解因式，故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系。2、下列由左到右的变形，哪一个是分解因式（ ）A、 B、2)(baba )1(4)(42 yxyyxC、 D、22 )1(55分析：等式的左边必须是一个多项式（是用加减号连接的式子） ；右边的结果应当是几个整式的、积的形式 即不能出现分式（分母含字母的式子）和加减号 ，而且结果的每个因式都不能再被分解为止。A、是积化和差，右边是减式；B、右边是和式；D、右边含有分式 ，故选 C 。4x3、下列由左到右的变形，属分解因式的是（ ）A、 B、35yxy 42216xC、 D、)54(422 baab )54(1
3、8572 x分析：A、左边是单项式，不是多项式；B、分解不彻底，右边结果的分式 还能再被分解为2，正确的结果是 ，C、结果应当是 ，故选 D 2x421642xx)1(ba。4、已知关于 x 的二次三项式 分解因式的结果为 ,求 m，n 的值。nm23 )(3x解： xx2)1(23 , mn5、甲、乙两个同学分解因式 ，甲看错了 n，分解结果为 ；乙看错了 n，分mx2 26x解结果为 ；请你分析一下 m、n 的值，并写出正确的分解过程。16x解： ；22681xxxmn8又 ；17616n故正确的分解过程为： 22814xx6、k 为何值时，多项式 有一个因式是 ？k63解：设另一个因式为
4、 则：xm22336xmxk故有： ，即，69故： 27k7、已知 ，求 的值。310x234xx解： ， （由已知等式的两边同时乘以 x 得到）x420故： 23108、已知 ，求 的值。228解： ， 10x3222 081 08 9xxx故9、求证 能被 24 整除。81425解：因为 ；所以， 能被 24 整除。82146142145558142510、试说明，一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，则新数字与原数之差能被 99 整除。解：这原三位为： ，依题意，得：0a+bc 10cb110+ba10bc=99ac故原命题成立。（三）练习1、下列由左到右的变形,属分解因式的是( )
5、A、 B、)(2xx 4)(42xxC、 D、aya125102、若多项式 可以分解为 ，则 的值为 2x)(bxa二、提公因式法分解因式（一）公因式：系数取最大公约数；相同字母取最低次幂。（二）提取公因式的方法：每项都从左到右寻找，先考虑系数（取最大公约数，第一项若是负数则需提取负号，提取负号后各项要变号） 、再到字母（把每项都有的相同字母提取出来，以最低次幂为准） 。例：分解因式 )1(22aann 13322xx bccb348233 bababa3642 )()()( ayxyx )()2()2xyyx 22a（三）练习：分解因式 22)()(xyx 23)(1)(8aba 2)()(
6、yxyx )2(3)2)(baab 5243469baba 32)(1)(7yxyx（四）作业：分解因式 abcba412833 33)(10)(5abyax )()(qpmnpqnm dcbdycbx)()(五)、习题1、a47，b32，c21，求 的值。)()()( acbacbacba 2、已知 ab13，ab40，求 的值。2ab3、已知 ，求代数式 的值。6,25)(ab618322ba4、不解方程组 ，求 的值。32)()3(7xyxy5、利用因式分解说明 能被 7 整除。198192030436、已知 可分解因式为 ，求 m 的值。202mx)52(43x7、计算 的结果为（ ）
7、2019)()(1362yxA、 B、 C、 D、 20)1(20)1(21218、分解因式 。0(三、运用公式分解因式（一） （1）平方差公式： )(2baba特点：左边：有二项；符号相反；两项均为完全平方项。右边：左边平方项底数的和与差的积。例、 22nmnmn 11abab 222 19334 2nnn（2）完全平方公式： 22)(baa特点：左边：有三项；有两项分别是两个数的完全平方，且符号相同；有一项是平方项底数的积的 2 倍。右边：是左边平方项底数的和或差的平方。例、 42481716mn22 2222299433nmnnmnm 2()()()abab2222419()3()353
8、ababba 2222()4abab 22 24(1)()()()()ababab 222424244()aba ab 22 1111xyxyxxyxyxy(二)其他方法，参考附页提高篇部分。(三)练习： 2164ba4nm 224ayx ab2312a 22)(16)(49nm 22)()( dcbadcba 3xy 1)2()2(xx 2914x(四)作业：分解因式 21mn 263x 22)(9)(4baa 2yx 22 )(4)(4)( dcba 12ba(五)习题1、已知ABC 的三边 a、b、c 满足 ，那么ABC 是 三角形。022 acbcb2、求方程 的整数解。31yxab3
9、、已知 ，且 均为正整数，求代数式 的值。032yxyx, yx324、已知 ab7，ab2，求 的值。2ba5、已知 ，求 ， 的值。41x21x2)(x6、请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行分解因式。， ，1 ，9b 224a2)(yx7、右图是四个形状，大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同 表示法，写出一个代数恒等式： 。8、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “神秘数” 。如： ， ， ，因此 4,12,20 都是“神秘数” 。204241246028 和 2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？设两个连续偶数分别为 2k2 和
10、2k（其中 k 取非负整数） ，由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？9、已知 ，求 的值。1yx221yx10、请观察下列等式：23912310892 231根据前面各式的规律，请猜想 1111222 的值是多少？并说明你猜想的正确性。11、在日常生活中，如取款、上网等都需要密码。有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式 ，分解因式的结果是 ，若取 ， 时，则4yx )(2yxyx9xy各个因式的值是： ， ， ，于是就可以把“018162”作为一个六0)()18(x162位数的密码，对于多项式 ，取
11、x=10，y=10 时，用上述方法产生的密码是： 。 （写出234y一个即可）12、已知，如图 1，现在 的正方形纸片和 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种ba, ba纸片至少用一次）在图 2 的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹） ，使拼出的矩形面积为 ，并标出此矩形的长和宽。224513、若整式 ，是完全平方式，请你写出一个满足条件的单项式 Q 是 。142Qxaaab bb14、计算： 2290310 )10()3(2122 n741827412 1)2()1(2)1(6415、当 ，求代数式 的值。bayx, 22)()(yxy
12、x16、已知 ，求代数式 的值。253yx )3()182(2ayxayx17、已知， 都是自然数，且满足方程 ，求 的值。yx, 5492yxyx,18、试说明两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。19、填空： +( ) （ ） 2 ( ) （ ） 2 2x2y210x249yx ( )=（ ） 2 （ ） （ ） 2 369 16a （ ）=（ ） 2 ( ) （ ） 22.01a 24yx4z20、 是一个完全平方式，那么 k 应为（ ）29xykA、 2 B、 4 C、 2y 2 D、 4y 421、若 是完全平方式，则 m 的值等于（ ）16)3(mA、 5 B、 3 C、 7 D、
13、7 或122、分解因式，若 ，则 m 的值等于（ ）22)1(4aaA、 2 B、 2 C、 1 D、 123、若 是一个完全平方式，则 k 。69kx24、如果 是一个完全平方式，则 m 的值是（ ）228mabA、 b 2 B、 2b C、 16b 2 D、 4b25、已知 ，198,198,197xcxx求 的值。cabca2226、已知 ，求 ab 的值。013642ba27、若 ab1， ab2，则 。223ba28、已知 a、b、c 是ABC 的三边的长，并且有 成立，则ABC 是（ ）ac2A、 等边三角形 B、 等腰三角形 C、 直角三角形 D、 锐角三角形29、已知 ，求 a
14、b 的值。0222 cacba30、若 的值为 0，则 的值为（ ）42a5123aA、 11 B、 11 C、 7 D、 731、计算： 。0983232、观察下列各式： ， ， ，请你猜想到的规律用自然数13242n（n1）表示出来： 。33、请先观察下列算式，再填空： ,18328527 25 28（ ） ； 9 2( )2=84； ( )29 285； 13 2( )28（ ）通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： 。34、请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解。你编写的三项式是 ，分解因式的结果是 35、多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加
15、上的单项式可以是 192x。 （填上一个你认为正确的即可）36、如图 1，在边长为 a 的正方形挖掉一个边长为 b 的小正方形（ab） ，把余下的部分剪拼成一个矩形如图 2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A、 B、 )(2baba 22)(babaC、 D、 2)( 2)(37、请你观察图，依据图形面积间的关系，不需添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是 。38、若 是一个完全平方式，则 m，n 的关系是 nmx2。39、如图，边长为 a、b 的矩形，它的周长为 14，面积为 10，则的值为 。2ba40、已知多项式 加上一个单项式后，所得
16、的三项式是一个完全平方式，则这个单项式是 24x。41、若一个三角形的三边长分别为 a、b、c，则代数式 的值（ ）2)(bcab a 图 1 ab图 2 a b x x xyyyxyA、一定是正数 B、 一定为负数 C、 可能为正数，也可能为负数 D、可能为 042、先分解因式，再求值： ，其中 a3， 。221b43b提高部分：（二）其他方法：因式分解的四种常用方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x2+（ p+q） x+pq 的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法） 。1、因式分解时要注意四种方法的使用次序：先提公因式再运用公式再用十字相乘法最后考虑分组分解法。2、三项式
17、通常用公式法或十字相乘法分解因式；四项或四项以上的式子通常用分组分解法。3、因式分解一定要彻底，分解到各个因式都不能再分解为止。4、因式分解最终结果一定要进行整理：如果有同类项，应当合并；如果在相同因式，如：（ x+y）（ x+y） （ x y）应当写成（ x+y） 2（ x y） ；如果有中括号应当去掉中括号总之应当满足最简原则！（1）十字相乘法：不能直接用完全完全平方公式分解的，形如 x2+（ p+q） x+pq 的二次三项式，可以考虑十字相乘法。 （不熟悉这法的同学可以不看）例 1、若 x2+y24 x6 y+13=0，求 x+y 的值。 此题要用到拆项的思想解： x2+y24 x6 y
18、+13 不熟悉这法的同学可以不看=（ x24 x + 4）+（ y26 y + 9） 将 13 拆成两项 4、9=（ x2） 2+（ y3） 2 分别形成两个完全平方式（ x2） 2+（ y3） 2=0 解得0x x+y=2+3=5例 2、分解因式： x2+xy12 y2 解：原式=（ x3 y） （ x+4y）此题易错把结果写成（ x3） （ x+4） ，所以建议你在每一例的顶部写上此列所代表的项中的字母例 3、分解因式： x2 x61解：原式=（ x ） （ x+ ）3此题的系数是分数，如果你不习惯分数形式的十字相乘，也可先提出此分数，解题过程如下：解：原式= （6 x2 x1）= （2
19、x1） （3 x+1）6例 4、分解因式：（ x24 x） 22（ x24 x）15解：原式=（ x24 x）+3 （ x24 x）5 把（ x24 x）看成一个整体，整个式子看成一个二次三项式=（ x24 x+3） （ x24 x5）因式分解一定要彻底，这两个式子可分别用十字相乘法分解=（ x1） （ x3） （ x+1） （ x5）（2）分组分解法：分组分解法是综合性较强的一种方法，也是学生们不易掌握的一种方法。它有以下几种情形：、分组后直接提公因式，再进一步提取公因式 - 1211x 2-4x 1 1 3 -5 例 1 ：把 a2ab+ac-bc 因式分解解：原式（a 2ab）+(ac-
20、bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)、分组后直接运用公式法，此种方法又可分为三类1、分组后直接运用公式法，再进一步提取公因式例 2.：把 a2-b2+a-b 因式分解解：原式（a+b）(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1)2、分组后直接运用公式法，再进一步运用公式法例 3：把 a2-2ab+b2-c2因式分解解：原式(a 2-2ab+b2 ) -c2=（a-b） 2-c2=(a-b+c)(a-b-c)3、分组后直接运用公式法，再进一步用十字相乘法例 4：把 a2-2ab+b2 a+b-2 因式分解解：原式(a 2-2ab+b2 )-(a-b)=（a-b） 2-(a
21、-b)-2=(a-b)+1(a-b)-2=(a-b+1)(a-b-2)、分组后直接运用十字相乘法，此种方法又可分为二类1、分组后直接运用十字相乘法，再进一步提取公因式例 5：把 a2-2ab-3b2+2a-6b 因式分解解：原式(a+b)(a-3b)+2(a-3b)=(a-3b) (a+b)+2=(a-3b)(a+b+2)2、分组后直接运用十字相乘法，再进一步运用十字相乘法例 6： 把 a2-ab-2b2+a+4b-2 因式分解解：原式(a+b)(a-2b)+2a-a+2b+2b-2=(a+b)(a-2b)+2(a+b)-(a-2b)-2=(a+b)-1 (a-2b)-2=(a+b-1)(a-
22、2b-2)练习1、填空题 _)_)(2cab )2yxyx 分解因式： 122b 若 ，则 ，)3(72xBAx_A_B 若 ， ，则2ba4c _)(32cbcb 当 时，01)(2yxy 2yx 将 分解因式，得 8722、选择题 用分组分解法把 分解因式，不正确的分组方法有（ ）个。1ba )1(ba)( )()1(ba)1(baA、1 B、2 C、3 D、4 分解因式 ，等于（ ）67xA、 B、 C、 D、)(3x)1(x)2(3x)1(6x 若 是二次三项式 的因式，那么 k 的值是（ ）552kA、8 B、- 8 C、2 D、- 2（4） 无论 x、 y 为任何实数，多项式 的值总是（ ）84yxA、正数 B、负数 C、0 D、不能确定3、分解因式(1) (x25x)(x 25x2)24(2) x3x 2yxy 2y 3；(3) 2x3-13x2+25x-14
