1、第二章 实数一、实数的概念及分类 1. 有理数，无理数概念：有理数： 整数和分数的统称（任何有限小数和无限循环小数都是有理数） 。无理数： 无限不循环小数叫做无理数。实数: 是有理数和无理数的统称；2.分类：a 按定义分b 按正负分正有理数正实数 实数 零 正无理数负有理数负实数 负无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 等；32,7（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如 +8 等；3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；例 1.（1）下列各数：3.141、0.33333、 、75、 、0.30300030
2、00003 （相邻两个 3 之间 0 的个数逐25.3次增加 2） 、其中是有理数的有；是无理数的有。 （填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,- , , 其中无理数有 432( )个 A 2 B 3 C 4 D 5 无 限 不 循 环 小 数负 无 理 数正 无 理 数无 理 数 数有 限 小 数 或 无 限 循 环 小负 分 数负 整 数负 有 理 数零 正 分 数正 整 数正 有 理 数有 理 数实 数二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） ，从数轴上看，互为相反数的两个数所对
3、应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a= b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|0） 。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则a0。3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方
4、根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特别地， 0 的算术平方根是 0。表示方法：记作“ ”，读作根号 a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x就叫做 a 的平方根（或二次方根） 。表示方法：正数 a 的平方根记做 “ ”，读作“正、负根号 a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。0a注意 的双重非负性：03、算术平方根与平方根的关系：算
5、术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表a示为： 。a例 2.（1） 的平方是 64，所以 64 的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若 的平方根是2，则 x= ； 的平方根是 x 16（4）当 x 时， 有意义。x23（5）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？3、立方根一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根） 。表示方法：记作 3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个
6、负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33例 3.（1）64 的立方根是 （2）若 ，则 b 等于（ ） 9.28,.33abA. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中： 都是 27 的立方根， ， 的立方根是y3642， 。4832其中正确的有 （ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个例 3.（1）下列说法正确的是 （ ） A1 的立方根是 B1；（C） 、 的平方根是 ； （ D） 、0 没有平方根； 2481（2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、98114.34.339273
7、5（3） 的算术平方根是 。2)(（4）若 有意义，则 _。x1x（5）已知ABC 的三边分别是 且 满足 ，求 c 的取,cba0)4(32ba值范围。（6）已知：A= 是 的算术平方根，B= 是 的yx3yx32yxyx立方根。求 AB 的平方根。（7） （提高题）如果 x、y 分别是 4 的整数部分和小数部分。求 x y 的3值.四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：
8、设 a、b 是实数， ,0ba（3）平方法：设 a、b 是两负实数，则 。ba2五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。2、性质：（1） )0()(2a)(（2） 2)0(a（3） （ ）,bab )0,(bab（4） （ ）)0,(,3、最简二次根式：运算结果若含有“ ”形式，必须满足：a（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律：运算律在无理数范围内
9、仍然适用加法交换律 ab加法结合律 )()(cc乘法交换律 乘法结合律 )()(ba乘法对加法的分配律 cba例 5.（1）下列说法正确的是（ ） ；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1 和 2 之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。2（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A、 B、 C、 D、baabbaab（3）比较大小(填“”或“0，则 ab=1；（ ）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213，1234， ,0， , , , , ( 227 9 3 18 2 8 2)0，3 2 ，ctg45,1.212
10、1121112 中3无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知 10，且 y0y0 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。k0b0y0 x图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小K0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常xy数 k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常b数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。7、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是 y=kx+b（k、b 为常数，k0） 当函数值为 0 时，即 kx+b=0 就与一元一次方程完全相同结论：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0（k、b 为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值
