1、因式分解学习指导一、知识要点回顾1、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是两种互逆的恒等变形，如下所示： (a b) ） a2 b整 式 乘 法因 式 分 解从上可以看出，整式乘法和与之对应的多项式保持相等关系，但方向不同，意义就不一样，但不能说分解因式是整式乘法的逆运算，因为整式乘法的逆运算是整式除法。2、分解因式的要求。（1）分解因式的结果要以乘积的形式表示，不要出现这样的结果。)12()(12yxyyx（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数，不能出现：和 的形式。)(2aba )(ba（3）必须将多项式分解到不能再分解为止，不能出现 )(224yxyx（
2、4）分解的最后结果中，相同因式应写成幂的形式。不能出现 的形式。)2()2(yxayxa)2(yxa3、公因式的构成系数各项系数的最大公约数；字母各项都含有的相同字母；指数相同字母的最低次幂4、提公因式需要注意的问题：（1） 提公因式要干净彻底，也就是说当一个多项式被提取公因式后，剩下的另一个因式中应该再也提不出公因式了，否则就是公因式找错了。（2） 注意避免分解因式的漏项问题，一般地，提公因式后，括号里的多项式的项数和原来多项式的项数一致。不能出现 这种错误。)32(6423 ababa（3） 如果多项式首项系数是负数时，一般公因式应该包括前面的“”号，使提公因式后所得的多项式的第一项系数为
3、正，如 )4(122 yxxy（4） 对于类似 这样的多项式，应该把（ab）看作一个)(2)(42xybayx整体。（5） 把含有相同字母的式子作为公因式时，要特别注意统一式子中字母的顺序。如 )()()()()( bayxyxybax 5、能应用公式分解因式的多项式特点（1）平方差公式：等号左边应满足 1）是二项式；2）每一项都可以表示成平方的形式；3）前面的符号相反。等号右边是等号左边两底数的和与两底数的差的积，（2）完全平方公式：等号的左边应满足 1）是三项式；2）其中有两项可以表示成平方的形式，且前面的符号相同；3）剩下的一项必须是两平方项的底数积的两倍；等号的右边两平方项的底数的和或
4、差的平方的形式，当前面三项符号相同时取两底数和，当三项符号不同时取两底数的差。6、因式分解方法口诀。有人将因式分解方法编成如下口诀:首先提取公因式，然后考虑套公式二项联想平方差，两项异号不混淆三项要用全平方，分解完毕不大意检查是否分彻底。二、常见题型1、判断分解因式题例一：（2005 年茂名市）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为：A 、 ， B、ayxa)( 4)(42xxC、 D、)12(5102 x3316解：判断一个由左到右的变形是不是分解因式，关键看这个变形是不是把一个多项式化成了几个整式的积的形式，选 C说明：判断一个由左到右的变形是不是分解因式，应看右边的式子从整体来看是
5、不是几个整式积的形式。如本题中的 ，右边虽然有积，但从整个式4)(42xx子来看，是一个和的形式。2、利用分解因式与整式乘法的关系求值例二：已知关于 x 的二次三项式 分解因式的结果为 ，求 m，nnmx23)1(23x的值。解法一：因为 )1(2322 x由等式的性质可知 m=1，n2解法二：因为 分解因式的结果为mx2 )1(3所以 3)(3x当 x0 时，00n2当 x=1 时，3mn50解得：m=1，n2说明：分解因式是一个恒等变形，方法一利用整式乘法计算 ，然后根据两个)1(23x多项式相等实质上就是两个多项式各项系数都相等，从而计算得 m，n 的值；方法二是利用恒等的性质，无论 x
6、 取何值， 和 总是相等的，因此只需任取nx23)(xx 的两个值代入，就能得出一个关于 m，n 的方程组，从而求出 m，n 的值。3、寻找公因式例三：指出下列各式中的公因式（1）15x 3y3，5x 2y，20x 2y3（2） （xy）(xz)， （yx） （yz） ， （yx） 2。分析：公因式的系数是各项系数的最大公因式，所含字母应是各项中相同字母的最低次幂的积。解：（1）5x 2y (2)xy 或 yx说明：二次幂的变号规律为 ， （n 为正整数）nnbab22)()(1212)()(nba。4、首项系数为负的多项式的因式分解例四：分解因式 5243469a解：原式 )(32bb说明：
7、不熟悉的同学可以先提取“” ，再提取共因式，分两步完成，提出“”后，第二个因式中的各项符号与原来多项式的各项相反。5、提取多项式形式的公因式例五：分解因式 )(4)(22xybxa方法一：原式 2)()(2byxa= )(yx方法二：原式 422ba)()(xy )(axy说明：表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化为含有公因式的式子来完成因式分解。其一般原则：（1）首项一般不化成含负号的形式；（2）对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化成它的相反数的形式，这样可使各项符号不变。6、利用因式分解进行简便计算例六：利用因式分解计算或说理（1）2.91234 .5+1
8、17123.4546012.435（2）5 235 21能被 120 整除吗？分析：这两道题目都是因式分解在计算中的应用， （1）将 2.91234 .5+117123.4546012.435 整理成 2.91234 .5+11.71234.54.61243.5，然后提取公因式 1234 .5，从而达到化减的目的。 （2）中可以先提取 520，则5235 215 20（5 35）5 20120解：（1）原式2.91234 .5+11.71234.54.61243.51234 .5（2.9+11.74.6）1234 .51012345（2）原式5 20（5 35）5 20120所以：5 235
9、21能被 120 整除分析：本题是利用因式分解进行简便计算，思路新颖，方法独特，有利于培养大家的发散性思维能力和学以致用的数学品质，在应用中对数学加以理解。7、运用平方差公式例七：把下列各式因式分解：（1） （2）254nm 22)(1)(169baba分析：此题中两项都可以表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑用平方差公式来分解解：（1） （2）2 22)()(= =)5(nm（ 113baba（= =2（ )()（ )(1)3ba（=（24a + 2b）(2a + 24b)=4(12a + b)(a + 12b)提醒：第（2）小题中的（24a + 2b）(2a + 24b
10、)，将括号内提取公因式“2”后，应把两个 2 相乘，而不要当成提公因式，误写成 2(12a + b)(a + 12b)。8、应用完全平方公式例八：把下列各式分解因式：（1） （2）2294ba 22)(8)16nmn（3） （4）607yx 30(baba分析：此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式，应考虑用完全平方公式。解：（1） 22914ba= 3）（）（ = 23）（2） 2)(8)16nmn（= 244（= )（= （8m + 3n） 2提醒：第（2）小题中的 2m+n 应看作一个整体，而不要利用整式乘法进行计算，否则分解比较困难。总结提高：多项式各项没有公因式且是三项式，应考虑用
11、完全平方公式9、平方差和完全平方综合例九：因式分解：（1） （2）2216)4(yxyx 4)1()(22a分析：只要（1）把 和 ， （2） 把看作整体就不难套用平方差)(a公式和完全平方公式来分解这个多项式的第一步，但本题中的两小题都能继续因式分解，因此要特别注意分解要彻底。解：（1） 22216)4(yxyx= (= 222)(xyx= )4(4xy= 2)(yx2)（2） 1(a= 2)1(a= 2= 2)(提醒：因式分解结束时一定要检查是否分解彻底了。10、提公因式后再运用公式 例十：把下列各式因式分解：（1） ； （2）523)(xyx 223104xyx分析：分析：第（1） （2
12、）小题的多项式是二项式且都有公因式，应先提公因式，在考虑提公因式后的另一个多项式是否能进行因式分解；第（1）提公因式 2x3后剩下 ，再考虑使用平方差公式，第216)(xyx（2）小题是三项式且有公因式 ，先提公因式 ，再考虑是否可用完全44平方公式。解：（1）解：（1） 523)(xyx= 162= ） （ xyxyx424(3 = ） （5（2） 22310xyx= )2510(42yx= )提醒：第（2）小题提取“”后，得到的多项式的各项都要变符号，容易出现符号差错而影响下一步的分解。总结：多项式的各项有公因式，应先提取公因式，再考虑另一个多项式是否可以继续分解。11、应用因式分解解决其
13、他问题例十一：设 a、b、c 为ABC 的三边，求证： bca22分析：此例是一道代数与几何相结合的综合题。解决此题的关键是将问题转化为求证 成立，因此通过分解因式及三角形三边之间的关022c系可以获得证明。解：因为 a、b、c 为ABC 的三边所以 ，ab所以 2222 )(cc=（ ） （ ）cb所以 022ba即 c总结提高：遇到与三角形三边有关的代数问题，往往先考虑分解因式，再通过三角形三边关系进行分析解答。例十二：已知 ， ，求 的值2ba4c 132cbcb分析：本例的关键是由 ， ，两式相减得到 ，然后a2将原代数式变形后整体代入即可。解：因为 ，所以 2cb所以 原式 = (b c) 2 + 3(b c)+1= 22 + 32 + 1= 11总结提高；在求代数值的时候，往往先将代数式用因式分解进行变形，用含已知条件的代数式表示原代数式，再将已知条件整体带入，这样能使计算简便。
