1、第 1 页 共 4 页南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题答案 一、1、3. 2、 . 3、24 . 4、 . 5、 . 92xye1,2二、1、D. 2、D. 3、C. 4、A. 5、B.三、 解 令 ，则ny121n lllln = 11ln= 1lnii= =2lmlny1lnii10lnxdln21原式= 4e四、 解 100sinsisin2tdttd当 时，存在正整数 使 ，因此x1x1000iiinxnttt 2sd20i1xtnn，limn2li21=0silxtd第 2 页 共 4 页五、解 由 得 .方程两边对 求偏导得0,xy0zx2sincosy zzeyxx,0,
2、0,1xyyzz上述方程两边再对 求偏导数得 212sincosxyxy zzeeyxxx将 ， 代入得 =00,0z,0,yz六、解 令 ，则uxt= =0xtfd0xufd00xxfudfu原方程可化为 000x xftff两边对 求导得（）01xffud再对 求导得ff求解此微分方程得 xfce由（）得 ，代入上式得011因此 xfe七、解 在 秒时刻，冰雹的质量为 ，速度为 ，受阻力为 ， 为比例系数，t 0Mmtvtkv0根据牛顿运动定律得 0dvtgk化简得 0dvkvgtmt解得 ，由 得 ，于是0kmMct0vc10kmgM10 kgvtk第 3 页 共 4 页八、解 ，令 ，
3、 ，则25112xxx512ab= ，00nnxfab1105nnxab. 由于 ，因此x1110!55nn nnnf baab10n，由 收敛得 收敛11!limlin nnfaab1n1!nf九、证 ， 介于 与 之 2122!b abfxffxfx x2ab间 21!aabfbff fb 222afff f 相加得 ， （1）1218abaaf不妨设 ，由 在 内连续得 在 上连续，设 在 上12fx,fx,fx12,的最大值和最小值分别为 和 ，则 ,由介值定理得至少存Mm122fmM在一点 使得 ，代入（1）得结论.12,abf十、解 ， ，22zxy22xzay22yzaxy，由对称性得2315,: ,04Dax 4S2221xyDzddya=52320ad第 4 页 共 4 页十一、 解 令 ,0:,02LOAyxa= ,0sincosxebdeyxd 220abxa由格林公式得,20si csx xL Dbeyeyad .0LIA23b十二、 解 1、 ，1220cosinrIdrd由于 ，因此31 122 20 02isirdr =1220Idln2 令 ，取下侧。2:,zxya2203zdvA=5220 6sinaadrr 22500 1i4aDayxd5556194I
