1、1 复数的性质一、复习要点 1复数的有关概念和性质： （1）两个复数相等的充要条件； （2）复数是实数或纯虚数的充要条件； （3）互为共轭的两个复数的性质； （4）复数的辐角和模的性质 2复数运算中的几个常用结论： （1）（1） 2，（1）（1），（1）（1）； （2） 3 0（）； （3）设 （12）（ 2），则 3 1；（1） ； 0（） 3复习中应把握好的几个要点： （1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择 （2）应注意解题后的反思反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思
2、想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力 二、例题讲解 例 1 （1）已知，且0， ， ， ，则 等于（ ） （2） （2） （32） （2）复数（22） （1 ） 等于（ ） 1 1 1 1 讲解：（1）显然 与 有联系，欲把 用 表示，当找出 与 的运算联系仔细分析，得 （2），选 （2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于 22与 1 的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（22） 2 ，（1 ） 2 （1 ）， 原式4（1 ）1 ，选 若认真思考一下选项，发现 4 个选项所给复数的对应点分别位于 4 个不同
3、象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来 22的一个辐角是 4，1 的一个辐角是 （3），所求复数的一个辐角为 4 5 （53）2（23），位于第二象限故排除、，选 例 2 设复数 ，记（4） （1）求复数的三角形式； （2）如果（）（）2，求实数、的值 讲解：这道题的两问是有联系的第（1）问最容易想到将 代入（4） 后，先得到的代数式，再化成三角形式，但是要将（4） 化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错事实上，要求的三角形式，只要求得及即可注意到复数有关性质就不难得解第（2）问是先将和代入化简后，得到带有、的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于、的方程组，再解方程组即可 （
4、1） 2 ， （4） （4） 2 令，则 （ 2 ）（ 2），12， （56），从而（56）3432 的三角形式为 2 （32）（32） （2）由（1）知，2 ，代入（）（）2，得 （ 8）（ 8）（ 4） 3 由复数相等的充要条件，得方程组 （ 8） ，（ 8）（ 4）3 解得 8，8 例 3 已知复数 、 满足 1，且 （1）求 的值； （2）求证（ ） 0； （3）求证对于任意实数 a，恒有 讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质 ，则由 1，得 1，这时只要将 与 分别改写成 与 即可 由 1 及（ ） 2，得 0 （ ）（ ） 2， 故 此题也可利用复数加减法的几
5、何意义求解（留给读者自己去完成） （2）若（ ）（，），则（ ） 2，要证（ ） 0，即证 +2 ， 0，但 0， （ ）0， 只能是0 要证原命题，只要证（ ）是纯虚数即可因此，首先要在已知等式 中变出（ ） ， 1， （ ） ，即（ ）1 （ ）1） （ 2，即 （ ）1）（ ）1）2， 也即 （ ）（ ）（ ）1 （ ） 0 设（ ）（，），上式化为 （）（）0，即0 又 0， 、不能全为零， 0 则（ ）（，0） （ ） 0 若注意到 及 与 加减法的几何意义，不难得出 与 恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简解（请读者证明，并加以比较）
6、（3）利用复数性质 证左、右两边等于同一个值即可（留给读者完成） 三、专题训练 1已知复数 ，则（1）是（ ） 6 116 3 53 2已知 （12）（ 2）， （12）（ 2），并且，那么可以取（ ） 6 8 1 12 3复数 3， ， ，则 是实数与 是纯虚数的充要条件分别是（ ） 3 与（13） （13）与3 3 与（13） （13）与3 4（1） （1 ） ）（1）（1） 的值等于（ ） 0 2 2 5已知 ，则_，_ 6已知关于 x 的实系数方程 x -2ax+a -4a+4=0 的两虚根分别为 x 、x ,且|x |+|x |=3,则 a 的值为_7 给出下列命题：a,bR ，且 a=b 是（a-b）+（a+b）i 为纯虚数的充要条件； 、 为复数， - 0 是 的必要条件； 复数 z 的辐角主值为 是 z 的辐角主值为 2 的充分条件；非零复数 、 对应的向量与 垂直的充要条件是 =ki （kR，且 k0） 其中正确命题的序号为_ 8设复数 、 、 满足 0，且0（1，2，3），求（ ）9 设非零复数 z 的辐角主值为（34），且 z +2（z -zi）是实数 （1）求复数 z； （2）若 wisin（02），求|z-w|的最大值与最小值 10设 ， ，w 1， 1 问 w 与能否比较大小如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由
