1、3 数学归纳法一、复习要点1 设 P（）是与自然数有关的一个命题为了证明 P（）对于 （ 1， ）的一切均成立，先证 P（ ）成立，然后假设 P（）（ ，）成立，推证 P（1）也成立，这种证题方法叫做数学归纳法2 用数学归纳法证明命题，第一步称为奠基步骤，是归纳的基础；第二步称为归纳递推步骤这两步缺一不可，缺第一步，归纳假设就失去了依据；缺第二步，实际上等于没有证明 3用数学归纳法证明命题 P（），实质就是证明命题“若（），则（1）”因而它用到数学证明题的各种方法和技巧，特别是在用数学归纳法证明不等式和整除性问题时，还常常用到比较法和分析法 4在研究数列的某些性质时，利用递推关系，便于用数学归
2、纳法证明 5用数学归纳法证明与自然数有关的命题是一个行之有效的方法，因此它有极广泛的应用不论是代数、三角、几何中的问题，还是证明恒等式与不等式，都有它的用武之地 6在研究数列的探索性与存在性问题时，数学归纳法常与不完全归纳法结合使用，其步骤是：归纳猜想证明 与首轮复习不同的是，本轮应把数学归纳法综合问题的复习作为重点 二、例题讲解 例 1 用数学归纳法证明 （11）（1（14）（1（17）11（32） （） 讲解：本题主要复习数学归纳法的原理 （1）当1 时，左边112 ，右边 ，不等式显然成立 （2）假设时，不等式成立，即 （11）（1（14）（1（17）（11（32） 那么，当1 时， （
3、11）（1（14）（1（17）（11（32）（11（31）（11（31） （32）（31） （ （32）（21） （ ） （32） （31） ）（34）（32） （31） （34）（31） ）（94）（31） ）0， （32）（31） 当1 时，不等式亦成立 由（1）、（2）证明知，不等式对一切都成立 说明：在第二步证明 （32）（31） 时，我们还用到了比较法 例 2 已知数列a n满足 a1=2，a n+1=（a n2+2）（2a n），求证 a n +1. 讲解：思路 1当 n=1 时命题显然成立； 设 n=k 时命题成立，即 a k +1，则当 n=k+1 时，a k+1=（a k2+
4、2）（2a k），要比较其与的大小，可作差：a k+1- =（a k- ） 2a k）0 （a k ），若用基本不等式：a k+1，取等号的条件是 ak= ，由归纳假设知等号不能成立而要比较 ak+1与 +1 的大小，亦可作差处理：a k+1- -1=（a k-（ +1） -1-2 2a k）. 用函数观点研究：设 f（x）=（x-（ +1） 12 2x），当 x（ ， +1） 时，分母恒正，而分子是一个二次函数，开口向上，以直线 x= +1 为对称轴，故在所给范围内为减函数，从而分子小于 -（ +1） 1-2 =-2 0 ，故命题成立 （当然也可用函数 g（x）=（x +2）2x=（12）（
5、x+（2x）在（ ， +1）上单调递增加以证明） 思路 2要证明 ak+1 +1，即要证（a k 2）2a k +1，即要证（12）（a k+（2a k） +1,而 ak +1,（2a k）小于何值?显见需知 ak大于何值，由归纳假设有 ak ，故（2a k） ,（12）（a k+（2a k）（12）（ +1+ ）= +（12） +1,得证 这个过程从目标不等号的方向与归纳假设中的不等式的方向的关系上找到了突破口当然也可从简化目标的角度入手：要证 ak +22 ak+2ak,即要证 ak -2（ +1）a k+20，从而由思路 1 中的方法（配方）解决 总之，用数学归纳法证明不等式时，在验证初
6、始情况和进行归纳推理时，证明不等式的一些常用方法在这里也是常常用到的，如：比较法、分析法、放缩法，还有函数与方程的思想方法等 例 3 正数数列 和 满足：对任意自然数， ， ， 1 成等差数列， ， 1 ， 1 成等比数列 （1）证明数列 为等差数列； （2）若 11， 12， 3，求数列 和 的通项公式； （3）在条件（2）下，设数列 满足 2 （），试比较 与 2 的大小，并说明理由 讲解：（1）证明：依题意， 0， 0，2 1 ，且 1 ， （2） 2 由此可得 2 即 （2） 数列 为等差数列 （2）先求 ，再由 与 的关系，求 设 的公差为， 11， 12， 3， （ 1）（92），
7、 （ 2）， （1）（1） 2 数列 的通项公式为 （1） 2 当2 时， （1）2 当1 时， 11 适合上式， 数列 的通项公式为 （1）2 （3）由 2 及 （1） 2），得 2 1 ，2 （1） 直接比较较困难，故考虑运用“归纳猜想证明”的思想方法来处理 当1 时， 14，2 14， 12 1， 当2 时， 8，2 9， 2 ， 当3 时， 16，2 16， 2 ， 当4 时， 32，2 25， 2 猜想：当4 且时， 2 对猜想结论用数学归纳法证明如下： 1 当4 时，易验证结论成立 2 假设（4）时，结论成立，即 2 1 （1） 那么，当1 时， 1 2 11 22 1 2（1）
8、4 2 44（2） 2 1 即 1 2 1 当1 时，结论也成立 综合 1 、2 ，当4 时， 2 成立 综上，当1、3 时， 2 ， 当2 时， 2 ， 当4 时， 2 说明：也可用二项式定理证明： 当4 时，2 1 （1） 可将 21 写成（11） 1 展开，请同学们自己完成 三、专题训练 1已知数列 的通项公式为 （4112），用数学归纳法证明它的前n 项和为 （3）（3）1 2已知数列 1-（14），1-（19），1-（116），,1-（1（n+1） ）,.它的前 n 项积是 n,计算 1， 2， 3，由此推测计算 n的公式，然后用数学归纳法证明这个公式 3当是 4 的整数倍时，77
9、7 7 能被 100 整除 4已知函数（）（ -n）（ -n），对于，试比较（ ）与（ 1）（ 1）的大小，并说明理由 5已知数列 满足 21，其中 是 的前项和 （1）求 1， 2， 3； （2）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明 6已知等差数列 中， 28，前 10 项和为 185 （1）求数列 的通项公式； （2）若从数列 中依次取出第 2 项，第 4 项，第 2 项，按原来的顺序排成一个新的数列，求此数列的前项和 ，并求 的值； （3）设 （9 ），试证：当4 时， 7是否存在整数（1），使得（）9（27）3 对任意自然数都能被整除若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由 8已知数列 中， （1） 问是否存在等差数列 ，使 2 3 （）对一切自然数都成立如果存在，求出数列 的通项公式；如果不存在，请说明理由
