1、高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 1 页（共 11 页）课 题：4.2 弧度制（一）教学目的：1.理解 1 弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆内容分析：讲清 1 弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的. 通过电教手段的直观性
2、，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式. 使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学过程：一、复习引入：1角的概念的推广 奎 屯王 新 敞新 疆“旋转”形成角 AB O一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到另一位置 OB，就形成角 旋转开始时的射线 OA 叫做角 的始边，旋转终止的射线 OB 叫做角 的终边，射线的端点 O 叫做角 的顶点“正角”与“负角”“0 角” 奎 屯王 新 敞新 疆我们把按逆时针方向旋转所形成的
3、角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以 OA 为始边的角 =210，=-150，=660，高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 2 页（共 11 页）210-150602度量角的大小第一种单位制角度制的定义 奎 屯王 新 敞新 疆初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1的角是如何定义的？规定周角的 作为 1的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角360度制，有了它，可以计算弧长，公式为 180rnl3探究30、60的圆心角，半径 r 为 1，2，3，4，分别计算对应的弧长 l，再计算弧长与半径的比 奎 屯王 新 敞新 疆结论：圆心角不变，则比值不
4、变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度弧度制 奎 屯王 新 敞新 疆 2度量角的大小第一种单位制角度制的定义 奎 屯王 新 敞新 疆初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1的角是如何定义的？规定周角的 作为 1的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角360度制，有了它，可以计算弧长，公式为 180rnl3探究30、60的圆心角，半径 r 为 1，2，3，4，分别计算对应的弧长 l，再计算弧长与半径的比 奎 屯王 新 敞新 疆结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种
5、度量角的制度弧度制 奎 屯王 新 敞新 疆 一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 奎 屯王 新 敞新 疆高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 3 页（共 11 页）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 奎 屯王 新 敞新 疆2. 角度制与弧度制的换算： 360=2 rad 180 = rad 1= radrad01745.8183.三、讲解范例：例 1 把 化成弧度3067解： 21 radrad836780367例 2 把 化
6、成度5解： 1r注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；2今后在具体运算时， “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3 表示 3rad ， sin表示rad 角的正弦；3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180弧度 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 角度 210 225 240 270 300 315 330 360弧度 7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 24应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 4
7、 页（共 11 页）制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 奎 屯王 新 敞新 疆任意角的集合 实数集 R例 3 用弧度制表示：1 终边在 轴上的角的集合 x2 终边在 轴上的角的集合 y3 终边在坐标轴上的角的集合解：1 终边在 轴上的角的集合 xZkS,|12 终边在 轴上的角的集合 y ,2|23 终边在坐标轴上的角的集合 ZkS,|3四、课堂练习：1.下列各对角中终边相同的角是( )A. （ ） B. 和 k2和 32C. 和 D. 971 910和2.若 3，则角 的终边在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若 是第四象限角，则 一定在(
8、)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .5.7 弧度的角在第 象限，与 7 弧度角终边相同的最小正角为 .6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .7.求值： .2costan6costan3tsin正角零角负角正实数零负实数高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 5 页（共 11 页）8.已知集合 2 2 ， ，B 4 4 ，求 AB.9.现在时针和分针都指向 12 点，试用弧度制表示 15 分钟后，时针和分针的夹角.参考答案：1.C 2.C 3.C4. 2k 2k ，k
9、Z k k ，kZ5.一 72 6. 7.238.AB 4 或 0 9. 1五、小结 1弧度制定义 2与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数六、课后作业：已知 是第二象限角，试求： (1) 角所在的象限；(2) 角所在的象限；(3)2 角所在范围. 23解：(1) 是第二象限角, +2k +2k ,kZ,即 +k 242+k ,kZ. 2故当 k=2m(mZ)时， +2m +2m ,因此， 角是第一象限角；422当 k=2m+1(mZ)时， +2m +2m ,因此， 角是第三象限角. 53综上可知， 角是第一或第三象限角. 2(2)同理可求得： + k + k ,kZ.当 k=3m(mZ)时，63
10、32,此时， 是第一象限角； m6当 k=3m+1(mZ)时， ，即322 +2m ,此时， 角是第二象限角； 3253高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 6 页（共 11 页）当 k=3m+2(mZ)时， ,此时， 角是第四m25323象限角. 综上可知， 角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得 2 角所在范围为： +4k 2 2 +4k ,kZ. 评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如 0 90这个区间角，只是 k=0 时第一象限角的一种特殊情况. (2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以 k 取不同值，讨论形如 = +
11、 k (kZ)所表示的角所在象限. 32(3)对于本例(3)，不能说 2 只是第一、二象限的角，因为 2 也可为终边在 y 轴负半轴上的角 +4k (kZ),而此角不属于任何象限.3七、板书设计（略）八、课后记：课 题：4.2 弧度制（一）教学目的：1.理解 1 弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪
12、 奎 屯王 新 敞新 疆内容分析：讲清 1 弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的. 通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式. 使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学过程：一、复习引入：1角的概念的推广 奎 屯王 新 敞新 疆“旋转”形成角高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 7 页（共 11 页）AB O一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到另一位
13、置 OB，就形成角 旋转开始时的射线 OA 叫做角 的始边，旋转终止的射线 OB 叫做角 的终边，射线的端点 O 叫做角 的顶点“正角”与“负角”“0 角” 奎 屯王 新 敞新 疆我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以 OA 为始边的角 =210，=-150，=660，210-150602度量角的大小第一种单位制角度制的定义 奎 屯王 新 敞新 疆初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1的角是如何定义的？规定周角的 作为 1的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角360度制，有了它，可以计算弧长，公式为 180rnl3探究30、
14、60的圆心角，半径 r 为 1，2，3，4，分别计算对应的弧长 l，再计算弧长与半径的比 奎 屯王 新 敞新 疆结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度弧度制 奎 屯王 新 敞新 疆 二、讲解新课： 1 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角 奎 屯王 新 敞新 疆 它的单位是 rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 8 页（共 11 页）如下图，依次是 1rad ， 2rad ， 3rad ，rad rrr1rad2rr2rad3
15、rr3radlr rad探究：平角、周角的弧度数， （平角= rad、周角=2 rad）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0角的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径）rlr角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 奎 屯王 新 敞新 疆用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 奎 屯王 新 敞新 疆2. 角度制与弧度制的换算： 360=2 rad 180 = r
16、ad 1= radrad01745.8183.三、讲解范例：例 1 把 化成弧度3067解： 21 radrad836780367例 2 把 化成度5高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 9 页（共 11 页）解： 10853rad注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；2今后在具体运算时， “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3 表示 3rad ， sin表示rad 角的正弦；3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180弧度 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 角度 210 2
17、25 240 270 300 315 330 360弧度 7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 24应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 奎 屯王 新 敞新 疆任意角的集合 实数集 R例 3 用弧度制表示：1 终边在 轴上的角的集合 x2 终边在 轴上的角的集合 y3 终边在坐标轴上的角的集合解：1 终边在 轴上的角的集合 xZkS,|12 终边在 轴上的角的集合 y ,2|23 终边在坐标轴上的角的集合 ZkS,|3正角零角负角 正实数 零负实数高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 10
18、 页（共 11 页）四、课堂练习：1.下列各对角中终边相同的角是( )A. （ ） B. 和 k2和 32C. 和 D. 971 910和2.若 3，则角 的终边在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若 是第四象限角，则 一定在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .5.7 弧度的角在第 象限，与 7 弧度角终边相同的最小正角为 .6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .7.求值： .2cos4tan6costan3tsin8.已知集合 2 2 ， ，
19、B 4 4 ，求 AB.9.现在时针和分针都指向 12 点，试用弧度制表示 15 分钟后，时针和分针的夹角.参考答案：1.C 2.C 3.C4. 2k 2k ，k Z k k ，kZ5.一 72 6. 7.238.AB 4 或 0 9. 1五、小结 1弧度制定义 2与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数六、课后作业：已知 是第二象限角，试求： (1) 角所在的象限；(2) 角所在的象限；(3)2 角所在范围. 23高中数学教案 第四章 三角函数（第 3 课时）第 11 页（共 11 页）解：(1) 是第二象限角, +2k +2k ,kZ,即 +k 242+k ,kZ. 2故当 k=2m(mZ)时，
20、 +2m +2m ,因此， 角是第一象限角；422当 k=2m+1(mZ)时， +2m +2m ,因此， 角是第三象限角. 53综上可知， 角是第一或第三象限角. 2(2)同理可求得： + k + k ,kZ.当 k=3m(mZ)时，6332,此时， 是第一象限角； m6当 k=3m+1(mZ)时， ，即322 +2m ,此时， 角是第二象限角； 3253当 k=3m+2(mZ)时， ,此时， 角是第四m252象限角. 综上可知， 角是第一、第二或第四象限角. 3(3)同理可求得 2 角所在范围为： +4k 2 2 +4k ,kZ. 评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如 0 90这个区间角，只是 k=0 时第一象限角的一种特殊情况. (2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以 k 取不同值，讨论形如 = + k (kZ)所表示的角所在象限. 32(3)对于本例(3)，不能说 2 只是第一、二象限的角，因为 2 也可为终边在 y 轴负半轴上的角 +4k (kZ),而此角不属于任何象限.3七、板书设计（略）八、课后记：
