1、探讨“韩信点兵”应用余数的奥秘作者：山东省安丘市景芝镇耀华小学 李洛泉、王岐宝 内容摘要：作者回顾“韩信点兵” ，质疑为什么余数分别乘 70，21，15？通过列表分析得出结论-“余数定理” 。并对“定理”进行验证，确保“定理”的可靠性。根据“定理”证明“韩信点兵”不止局限于 3，5，7 作除数，适应于其它互质数。从而点评“韩信点兵”对于余数应用的推动作用。通过实践，作者呼吁广大教师可以选用其它问题激励学生自主探讨，激发学生的学习兴趣。要求小学生尽量使用笔算少用计算机，力求达到知识拓展、创新的目的。关键词：质数、合数、互质数、寻找规律、拓展、创新、激发学习兴趣。一、回顾历史故事“韩信点兵”：早在
2、西汉时期，著名军事家韩信就能够应用余数检查士兵是否足数， 韩信用旗语指挥士兵先按三人一伍排列，再按五人一伍排列，最后按七人一伍排列，各记下余数，在很短时间内就能得出士兵是否足数的结论。因为这种算法中国比西欧早几千年；所以，人们把这种算法定义为“中国剩余定理” （临时没有得到公认） 。到了明代，数学家程大位结合“孙子算经”对韩信的计算方法（无法考查韩信的计算）进一步研究，并总结成了口诀：“ 三人同行七十稀，五树梅花二十一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知” 。 意思是把三人一伍的余数乘 70，五人一伍的余数乘 21，七人一伍的余数乘 15，三个积相加，减去或加上几个 105 即得答案（古汉语中“
3、除” 的意思有不包括等含义） 。后人把程大位的口诀仍称作“韩信点兵” 。很久以前人们就用此方法考查别人。只要对方说出规定范围内的数各除以3，5，7 的余数，考查者就能知道对方的数。例如，对方说：“ 1100 的一个数除以 3，5，7 的余数分别为 2，3，0.这个数是多少”？ 考查者暗算：270=140，321=63，140+63=203，203-105=98，立刻回答：“你的数一定是 98”。 “韩信点兵”适应于各个范围的数，只不过计算后要加或减几个 105 罢了。二、解读“韩信点兵” ，寻找规律得结论：“韩信点兵”的准确率无可质疑，但是为什么余数要分别乘 70，21，15 呢？自明代至今没
4、有资料解释过这样算的理由。对于这个问题的探讨，曾经有人认为是 3，5，7 两两相乘的结果。因为，35=15，37=21，57=35，而 35 是 70 的一半；所以，不能说明问题。我经过长时间的探索，通过列表分析（事实上是对程大位口诀的分析） ，对这个问题有了新的发现。可以取从 1 往后的数分别除以 3，5，7，观察余数的特点。在这里值得说明的是，根据资料考查，明代的数学理论仍把除法叫做“分法” ，像 1，2 小于3 根本不够 3 除，仍说做余 1 或 2；对自然数的定义也不包括 0.应用现代数学理论：0 是最小的自然数，0 除以（0 除外）其它实数仍得 0.对于研究“韩信点兵”并不矛盾。取
5、1 往后的数列表分析寻找规律，因为 3，5，7 的最小公倍数是 105，可以取 1106 的数列表分析。列表如下：x 3（余数） 5（余数） 7（余数）1 1 1 12 2 2 23 0 3 34 1 4 45 2 0 56 0 1 67 1 2 08 2 3 19 0 4 210 1 0 311 2 1 4 105 0 0 0106 1 1 1由上表分析看出：一、 每个被除数都对应着三个余数，把三个余数看做是一组（以后简称余数组） ，在 1105 的范围内余数组不同，而 1 和 106 的余数组相同；说明所有自然数的余数组按周期 105 变化。二、被除数 70 对应的余数组是“1，0，0”与
6、“三人同行七十稀”相吻合；21 对应的余数组是“0，1，0”与“五树梅花二十一枝”相吻合；15 对应的余数组是“0，0，1”与“七子团圆月正半”相吻合。三、余数组“1，1，1” 分别乘 70，21，15相加等于 106，自然数 1 和 106 的差等于 105；说明其它任一余数组分别扩大 70，21，15 倍的和加或减几个 105 等于一个预设数。如：2 的余数组“2，2，2”分别扩大 70，21，15 倍的和等于 212，212-1052=2，2 与 107 的余数组重合。至此已经找到了任一自然数除以 3，5，7 的余数分别乘 70，21，15 相加再加减 105 的根据。假如说：1000
7、左右的一个数分别除以 3，5，7，余数分别为 0，4，5，这个数是多少？计算 ：421=84，515=75，84+75=159，可以连续加 105，159+1058=999，即这个 1000 左右的数是 999.结论：设三个互质数 a,b,c（两两互质）分别除从 1 往后的自然数所得余数组分别为“1，0，0” ， “0，1，0” ， “0，0，1” ，三个余数组对应的自然数就是 a,b,c 的扩大倍数，任一自然数除以 a,b,c 的余数扩大倍数的和一定包含着 n 个“a,b,c”的最小公倍数。三、拓展“韩信点兵” ，证明规律的准确性：大胆猜想：两个或两个以上不同互质数（有限个且两两互质）作除数
8、，分别除从 1 往后的自然数，只要找到任意一个除数的余数为 1 而其它除数的余数为 0，这组余数对应的自然数就是余数的扩大倍数；任一自然数分别除以互质数，所得余数扩大倍数的和一定包含着n 个互质数的最小公倍数。我自己认为可以算作余数定理（临时没有得到大家的认可，以后简称规律） 。应用排列寻找规律对研究数学知识具有很大的帮助，例如：寻找数列的通项公式时就应用了排列的方法。为了验证这种规律的真实性，换用其它除数进行证明。 （注：以后提到的互质数均指两两互质） 。换用 2，3，5 作除数继续探讨，因为 2，3，5 的最小公倍数是 30，为了便于理解（因为 1 不够 2，3，5 除） ，取 3160
9、的数列表分析。 （说明：扩大倍数换为自然数在表中的顺序数） 。列表如下：X 2 的余数 3 的余数 5 的余数31 1 1 132 0 2 233 1 0 334 0 1 435 1 2 036 0 0 137 1 1 238 0 2 339 1 0 440 0 1 041 1 2 142 0 0 243 1 1 344 0 2 445 1 0 0 60 0 0 0由上表可以看出，第 6 个数 36 对应的余数组是“0，0，1” ，第 10 个数 40 对应的余数组是“0，1，0” ，第 15 个数 45 对应的余数组是“1，0，0” ，可定义为：二二分余乘 15，三三分余乘 10，五五分余乘
10、 6，加减 30 即得数。验证，如：70，702=35，703=231，705=14，110=10， 10+230=70.规律成立。换用非互质数成立吗？我曾用 4，5，6 或 2，3，4 作除数在最小公倍数范围内列表探讨，规律不成立，说明三个除数必须是互质数。 换用两个除数验证，用 3，5 作除数，因为 3，5 的最小公倍数是 15；取 1630 的数列表分析。列表如下：X 3 的余数 5 的余数16 1 117 2 218 0 319 1 420 2 021 0 122 1 223 2 324 0 425 1 0 30 0 0由上表不难发现，第 6 个数 21 对应的余数组是“0，1” ，第
11、 10 个数 25 对应的余数组是“1，0” ，应为：三三分余乘 10，五五分余乘 6，加减 15 即得数 。 验证，如：21， 213=7， 215=41， 16=6，6+15=21.再如：40， 403=131， 405=8， 110=10， 10+215=40.规律成立。换用 2，3 作除数验证一下，2，3 的最小公倍数是 6，取 712 排列分析。X 2 的余数 3 的余数7 1 18 0 29 1 010 0 111 1 212 0 0很显然第 3 个数的余数组是“1，0” ，第 4 个数的余数组是“0，1”应为：二二分余乘 3，三三分余乘 4，加 6 可得数。验证：152=71，1
12、53=5， 13+26=15.规律仍成立。两个非互质数可以吗？先用 2，4 或 4，6 作除数列表，规律不成立；再用 4，5 作除数列表分析，因 4，5 的最小公倍数是 20，取 2140 的数列表分析。X 4 的余数 5 的余数21 1 122 2 223 3 324 0 425 1 026 2 127 3 228 0 329 1 430 2 031 3 132 0 233 1 334 2 435 3 036 0 1 40 0 0上表第 5 个数 25 对应的余数组是“1，0” ，第 16 个数 36 对应的余数组是“0，1”应为：四四分余乘 5，五五分余乘 16，加减 20 即得数。验证，
13、如：75，754=183，755=15，35=15，15+320=75.再如：100，1004=25，1005=20，0+520=100.说明两个互质数规律成立。综上所述，两个除数，只要是互质数规律就一定成立。还可以选取 4 个除数进一步探讨，例如：取 2，3，5，7 作除数，因为 2，3，5，7 的最小公倍数是 210，省去列表，依据 3，5，7 余数组的特点进行口算。自然数 105 的余数组是 1，0，0，0；70 的余数组是 0，1，0，0；126 的余数组是 0，0，1，0；120 的余数组是 0，0，0，1，适合规律。口诀可为：二二分余乘 105，三三分余乘 70，五五分余乘126，
14、七七分余乘 120.验证，如：200，2002=100，2003=662，2005=40，2007=284.计算：270=140，4120=480，140+480=620，620-2210=200，大家不妨用其它 4 个互质数验证，说明用三个以上互质数探讨，规律仍成立。至此，充分证明了规律的可靠性。综上所述， “韩信点兵”不止局限于 3，5，7 作除数。两个或两个以上其他互质数都可以。我认为“定理”是正确的。四、探讨“韩信点兵”得到的启发：“韩信点兵”应当属于中国非物质文化遗产，现在很少有人提起它。但是，它对余数的应用起到了不可估量的推动作用。现代数学问题应用单个余数的例子仍不少。如：“五一劳
15、动节是星期二，那么当年的国庆节是星期几”？计算中就应用了余数原理，将“五一”劳动节到“国庆节”的总天数除以 7，用余数确定是那一天。余 1 即星期三，余 2 即星期四，依次类推便得到答案。再如：“一年中，一个月里最少可存在四个星期日，最多可存在五个星期日 。那么，一年中出现五个星期日的月份最多有几个”？解答过程也是应用了余数原理。一年的总天数有 365 或 366 天，3657=521，3667=522， 说明一年中要度过 52个周多一天或者两天。所以，总有一年要存在 53 个星期日。5312=45，因此，一年中存在 5 个星期日的月份最多可以有 5 个。 类似问题举不胜举。随着科学技术的发展
16、，计算机已经被普遍应用。部分学生对列竖式计算有余数的除法不够重视；甚至，不会用竖式计算；对余数的理解和应用造成了不良影响。希望小学生尽量用笔算，少用计算机。为了开发学生智力，作为“人类灵魂的工程师”可以利用辅导课向学生渗透一点儿类似的知识，提示学生自主探讨，做到古为今用，让知识得到传承和发展。更希望广大教师能用这种钻研精神去影响学生，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主探究能力，让知识得到进一步的拓展与创新。五、 “韩信点兵”的应用：第一，历史上韩信应用于检查士兵人数；第二，在现实生活中可以检查估计范围内的物体数。如：1、二维范围内，把物体摆成 a 宽 b 高根据余数检查是否足数；2、三维范围内，把物体分别摆成长宽高各为 a，b，c 的长方体根据余数检查是否足数。 参考文献： 网络资料“韩信点兵” 。
