1、封一答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目： （ 同时标明 A、 B、 C 之一 ）组 别：( 填写研究生、本科生或专科生 )参赛队员信息(必填)： 姓 名专业班级 联系电话参赛队员1参赛队员2参赛队员3参赛学校：报名序号：（可以不填）封二答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：评阅情况（学校评阅专家填写）：学校评阅 1.学校评阅 2.学校评阅 3.评阅情况（联赛评阅专家填写）：联赛评阅 1.联赛评阅 2.联赛评阅 3.承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等
2、）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将愿意接受严肃处理。B 题：丁克与人口增长丁克现象会影响人口的增长。（1）对我国未来 50 年的丁克现象进行预测；（2）在相应预测基础上，对我国未来 50 年的人口进行预测。摘要中国近30 年来的计划生育政策在控制人口数量方面取得了非凡的成绩，但人口弹性增长、老龄化等现象仍然存在。21 世纪是我国人口
3、发展的一个极其重要的转折时期。随着中国经济的发展，我国人口变化出现了新现象，我国的人口形势也将出现很大的转变面对这一时期出现的人口新情况，我们将如何把握人口政策，将直接关系到百年过后中华民族的生存与发展。本文研究了丁克这一在我国出现的新现象发展形势及可能对我国人口增长的影响，我们分析了欧美发达国家的数据，认为在现代化的进程中丁克现象将会有进一步发展的趋势，结合我国的实际情况：我国正在现代化的建设的前进路上，我们面临很多问题，就业形势的压力加大，城市生存环境的变化，因此传统的欧美丁克概念在我国具有一定的局限性，不能代表的人口所面临的新情况。为此我们采用了扩大的丁克概念，即把传统的丁克概念与中国的
4、实际相结合引申为：两个具有代表性的能反映中国实际的丁克模型：1、城市农民工丁克概念；2、传统城市丁克概念。因此建立了两个具有代表性的模型（1）城市农民工丁克模型；（2）传统城市丁克模型。针对（1）我们采用了非线性常微分方程进行了研究（见 页） ，用统计计算的数据，建立了数学方程及表格图像形象的描述了这一模型的发展趋势。针对（2）我们采用了传统方法阻滞增长模型进行了研究（见 页） ，通过采集来的数据，建立了阻滞模型，建立了表格并用 MATLAB 绘出了图像，通过图像更加形象的表现了城市丁克的发展趋势，因为我们有关机构的统计数据太少，用传统的方法不能很好的建立精确的模型，我们将还应用现代方法根据灰
5、色系统理论,建立灰色动态(GM) 模型对传统城市丁克现象的发展进行研究（见 页）。同时我们将这两种模型进行比较研究两者的精确度，为对人口的预测选择更好的方法。针对问题二：我们将在研究出的模型基础上，把丁克现象作为一个参考因子对我国人口发展模型作了进一步的修正，并作出了合理的预测（见 页），预测出未来五十年的人口变化，并将是否考虑这一因素的模型进行比较，为我国制定合理的人口政策提供参考。关键词：城市农民工丁克现象 传统城市丁克现象 非线性微分方程 发展的阻滞增长模型 灰色动态(GM) 模型一、问题分析一对具有生育能力的夫妇自愿不要小孩,也就是我们所说的两人世界又称之为丁克家庭,意为“ 双收入,无
6、子女”这种家庭模式一年代开始在欧美等地流行。年代, 随着改革开放的进行, 它梢然地浸入到我们这个素来鼓吹“ 多子多福” 、“ 不孝有三, 无后为大”的传统国度里, 且呈一种逐步扩大的趋势。上海人口情报中心的一份资料显示：19891994年, 上海市区“ 丁克家庭” 约占全市家庭夫妇总数的3%4%, 人数佑计超过万。而北京市1984年以来约有3%的结婚夫妇自愿不生育, 多达7万人。1989年广州市结婚而不愿生育的人数只有10万, 1992年底则猛增到13万。“丁克”家庭是一种生活方式,它代表了轻松、自由、叛逆、胆识以及勇气等,总之,是一种前卫的家庭形式。选择丁克家庭,即选择了一种更为自主的生活方
7、式。但生活在中国这样一个受传统生育观念浸染的文化中,选择“丁克”家庭的生活方式,多数情况下会受到来自父辈乃至社会的压力。那究竟是什么因素促使“丁克”家庭作出了不生育这一选择呢?（1）工作竞争的压力；（2）经济因素；（3）婚姻因素；（4）不生育文化的影响；（5）社会经济水平的提高和社会保障能力的增强。“丁克”家庭使当今中国社会家庭结构日渐多样化。与全世界许多国家一样,中国的家庭结构正在朝核心家庭的方向发展,同时家庭结构日渐多样化。著名社会学家费孝通认为,在婚姻契约中不仅包含一种关系,而是包括两种相关联的社会关系夫妇关系和亲子关系。这两种关系不能分别独立,夫妇关系以亲子关系为前提,亲子关系也以夫妇
8、关系为必要条件。这是三角形的三边,是不能短缺的,而“丁克”家庭是建立在姻缘基础上的,只包含一种社会关系,即夫妻关系,只是单纯的横向家庭关系,是一种新型的家庭关系。越来越多的丁克家庭的出现,冲击了中国社会以主干家庭和核心家庭为主流的社会家庭结构,使中国社会家庭结构日渐多样化。人们在婚姻中有了更多的自主性和选择性,使传统社会中维系中国家庭关系的纽带变得相对脆弱。“丁克”家庭意味着部分现代家庭已从传统的繁衍后代为中心的“亲子轴”逐渐转化成以二人世界为轴心的“夫妻轴”。当今中国处于经济的转型期,社会环境也变得越来越开放和宽容,人们的家庭观念逐渐多元化,人们自我选择的空间更为宽泛,人们既可以选择生育,也
9、可以选择不生育。“丁克家庭”作为一种与中国传统完全不同的一种生活方式,正逐渐被更多的人接受和理解。“丁克”家庭缓解了中国巨大的人口压力。2000 年中国人口已经达到129533 万人,这样庞大的基数,即使严格执行计划生育政策,每年仍要净增1600 万人以上,何况超生现象还无法避免。所以至少要到21 世纪40 年代高达16 亿人口时,才能实现人口的负增长。正如上文所提到的,“丁克”家庭的夫妻双方文化程度普遍较高,绝大多数都是大学以上文化,有的还是硕士或博士。面对中国人口过剩的红色警报,面对白色浪潮的呼啸而至,为国分忧的民族责任感使这些人放弃自身生育。虽然他们的这种不生育行为对减少中国人口的数量不
10、会起到决定性的影响,但随着中国“丁克”家庭的增多,他们的这种减少人口的隐性作用必将会凸现出来,在一定程度上会缓解中国巨大的人口压力。但同时将加剧我国老龄化趋势，加重社会负担，减少社会劳动力数量，从而影响我国经济社会的可持续发展，为此我们必须清楚的预测丁克现象对我国人口的深刻影响，合理的制定政策，更好的促进经济社会的发展。二、模型假设1、把研究的社会人口当作一个整体，当作一个系统考虑。2、所有表征和影响人口变化的因素都是在整个社会人口平均意义下确定的。3、假定预测期间没有大规模的瘟疫、地震等自然因素的干扰。4、通过历年来人口状态统计分析，所得北京上海城市丁克人口的比重为全国丁克人口的比重。5、假
11、定从现在起的 50 年左右，人们的生育观念不会发生突变。6、我国的经济持续健康发展，人民生活水平稳步提高，收入持续增长。7、国家促进农村劳动力转移的政策不会改变。8、我国社会的就业形势良好，就业充分。9、全国农村剩余劳动力数量以 2008 年的 4.2 亿作为总量，不会有大规模增加。10、以 1990 年作为计时起点，即 t=0。11、我们认为实现城市化的标志是城乡收入均等。12、假定所有查得数据为准确无误的。13、以现有的医疗条件作为基础，假定医疗水平在预测期内不会有大的提高。14、预测其为短期为 50 年，长期不超过 80 年。三、符号说明问题一：丁克现象预测模型模型一：城市农民工丁克模型
12、的符号符号 说明A(t) 农民工中丁克人数所占比重（%）（18）0 第十八年的农民工中丁克人数所占比重统计数据J(t) 农民收入（元）g(t) 农民工迁进城市数量（万人）tw 中国实现城市化元年h(t) 城市居民收入（元）模型参数，建模时求得模型参数，建模时求得T 农民工转移结束的时间点E 计算与实际之间的误差模型二：传统城市丁克模型的符号（阻滞模型）模型三：传统城市丁克模型的符号（灰色动态(GM) 模型）符 号 说 明()ixki 为 0 时表示的是原来的数据，i 为 1 时表示累加到 k 的累加数据()i第 k 个累加数据的估计值：i 为 1 时t时间变量a模型参数，建模时求得u模型参数，
13、建模时求得B最小二乘法的矩阵T最小二乘法的矩阵的转秩y变量的向量矩阵()ek残差x相对误差平均相对误差21s原始数据方差2残差方差p小误差概率问题二：丁克现象对我国人口增长的影响与人口预测符号 说明p(a,t) t 年末的年龄 ade 的人口密度N(a,t) t 时刻年龄小于 a 的人口数（a ，t） t 时刻年龄为 a 的死亡率g(a,t) t 时刻年龄为 a 岁a1 育龄妇女年龄的上限a2 育龄妇女年龄的下限(t) 连续情况下 t 时刻出生婴儿总数h（a，t） 妇女生育模式函数符号 说明x(t) 城市居民中丁克所占的比重r 固有增长率xm 城市中最大容载丁克的比重0计时起点时的丁克比重K（
14、a，t） t 时刻 a 岁妇女的人口比重（t）总和生育率函数b(t) 不孕不育的患病率d（t） 丁克现象影响系数z1 政策性调整系数z2 政策性调整系数四、模型的建立与求解问题一：丁克现象预测模型城市农民工丁克模型1.确立模型函数对所研究的地区，假定我们暂时只考虑移民对人口发展过程的影响，不考虑自然的生死过程。以 1990 年为计时起点，即 t=0，我们认为影响农民工生育率的因素有：收入水平，就业情况，我们认为影响农民工就业情况的主要因素为城市农民工流入的数量。很显然我们可以建立农民工丁克增长率微分方程如下：(t0,s0) （8）这里的 r 称为固有增长率，表示丁克比例很低时（理论上是 x=0
15、）的增长率。令 s=r/ ，则（8）变为，r(x)=r（1-x/ ） （9）我们将（8）回带到(7)得，=rx(1-x/ ) ，x(0)= 0（10）解此方程：0(1)mdxrxt当 时，x21mdxrt令 得，1zmdzrtxrzt令 ，()pt()mqtx根据公式 ()()()ptdptdPtdcyeqe所以， ()rtrtrtmztx即 1()rttce将初始条件 即 代入上式得，0()xt0()ztx进而得，(11)0()0()1mrtxte3. 确定参数为了计算参数我们将把（10）变形为，（ ）/x=r-sx, s=r/ (12) 我们应用最小二乘法估计这个模型的参数 r 和 ，利用
16、以下数据表七：城市丁克现象比率时间（年） 百分率（%）11 9.4%12 10.9%13 12.4%14 13.8%15 14.7%16 15.4%17 18.1%经过 matlab 软件的计算得到，r=0.0992 =40.32% 得到图像如下，4.模型检验我们将 t=17，代入模型中得到 x（17）=19.3%E=(19.3%-18.1%)/18.1%=6.63%所以可以认为这一模型是符合要求的。5.模型改进将 t=17 的数据加进去重新确定参数 r=0.1010 =37.56%通过这个模型我们将预测 2060 得到如下数据，表八：城市丁克现象比率预测数据时间（年） 百分比（%） 时间（年
17、） 百分比（%）20 20.1 40 35.822 23.6 45 37.225 25.8 50 37.3628 27.9 55 37.2830 29.8 60 37.3132 32.235 34.4并得到如下图象：灰色动态(GM) 模型1.确立模型函数1.1模型的提出：灰色单数据列预测,是利用时间序列数据直接建模,将序列数据作一次累加生成后,建立微分方程。常用于预测的灰色动态模型GM(1 ,1) 为一阶微分方程，（13） (1)()dxaut其中： , 为参数， 是原数据 的累加生成值au(1)(0)x1.2 步骤如下： 将原始数据的前 i 项数据累加到第 i 项得到 ，数学公式表示为：(1
18、)xi(1)(0)1imx（14）其中： 是原始数据。(0) 用最小二乘法求 GM(1.1)模型中的参数 ， 。au1()TaByu（15）(1)(1) (0)()() (0)(1)(1)2,2233;2xxByixii（16） 建立函数，所得白化形式微分方程的解，(1)(1)atuxte（17） 时间响应函数离散化，求得 的灰色预测模型，(1)x(18)(1)(1) (0,12.)aiuxie1.3 模型的确立：不同维数(或长度)序列模型, 所得参数 a , u 的值是不一样的, 因而预测值也不同。为提高预测精度, 必须筛选适当维数的灰色模型,通过以往的经验，58 维的灰色模型中，5 维的准
19、确度最高，应为它排除较远数据对现在预测的影响，所以我们就选择 5 维灰色预测模型进行建模。同时构造等维的新陈代谢模型。所谓新陈代谢模型, 即由原始数据 建模(0)()(0)(0)1,2,.1xx后求得预测值 , 将此最新信息加入序列 ,并去掉最老信息 以保(0)1xn ()持序列长度不变,如此反复类推则可建立 GM(1 ,1) 模型群。2.模型求解我们用五维GM(1.1)模型进行预测，为了确定灰色模型是否有效，按下述步骤进行： 求出 与 之残差 ，相对误差 和平均相对误差 ：(0)xk(0)()ekx， ()(0)ex， (0)1%k1nk 求出原始数据平均值 ，残差平均值 ：xe， (0)n
20、kix(0)21nke 求出原始数据方差 与残差方差 ，均方差比值 和小误差概率 ：1s2sCp， 2(0)1nksx22(0)2nke，1Cs(0) 16745peks其中 ， ， 值越小， 值越大，则模型精度越好。由此，我们可以(p判断是否将此模型用于丁克现象的长期预测。我们选用20012005年丁克比率建立5维灰色动态预测模型。表九：20012005年城市丁克比率时间（年） 百分率（%）11 9.4%12 10.9%13 12.4%14 13.8%15 14.7%所建5维GM (1 , 1) 基础模型求出参数的表达式如下:=-62.254 +20.3689 （ 1） （ +1） 0.17
21、12（19）表十：20012005年城市丁克比率时间（年） 实际值（%） 理论值（%） 误差p（%）11 9.4 9.2346 1.75%12 10.9 11.2401 3.12%13 12.4 12.6897 2.34%14 13.8 13.9693 1.23%15 14.7 14.8963 1.36%对比20012005 年预测结果仅仅是最低位数略有不同，由此我们可以判定，此模型可以用于丁克的长期预测中。中国未来50 年人口发展动态预测我们将2000-2005年的净增量输入进程序(见附表B)中，可以逐年得出丁克人口比重的预测值，进而求出未来个年的预测数据，为了后面制定方案的需要，我们给出了
22、2008-2065年间的连续年份预测值(见表)表十一：2008-2065年间的连续年份预测值时间（年） 百分率 （%） 时间（年） 百分率 （%） 时间（年） 百分率 （%）18 16.4234 34 40.332 50 43.998219 17.8746 35 41.5515 51 43.756820 19.5133 36 41.7397 52 43.215221 21.4536 37 42.0656 53 42.963122 23.3831 38 42.1602 54 46.589823 25.5888 39 42.2823 55 43.563224 27.9748 40 43.2134
23、56 42.582825 30.5316 41 43.6301 57 43.569826 33.3568 42 43.9652 58 75.325627 34.4014 43 42.3697 59 89.961228 34.2274 44 43.0756 60 99.125629 35.403 45 43.6123 61 101.269830 35.6275 46 43.3652 62 130.369831 36.9031 47 43.7628 63 160.987632 37.7001 48 42.3687 64 205.271833 38.188 49 42.5639 65 269.781
24、9我们通过matlab进行直线拟合，得到形象直观的图像（图一） ，我们可以从中找到规律，通过观察我们发现在模型中所预测的数据中，有些是不准确的当时间t58所得的数据发生了突变，我们认为这是模型存在一定的时间限制导致的，因此我们选择t58时间段作为有效数据，我们重新绘图得到如下图象（图二）图像如下：图一 图二我们将传统阻滞增长模型与灰色动态预测模型进行了比较得到如下图象： 3.模型比较和分析我们发现两个模型总的发展趋势是相同的，不同之处是两个模型的稳定值是不同的，综合两个模型我们可以认为我国丁克家庭的比率在38%42%的范围，由于我国政府的对丁克现象还没有专门的统计，我们能收集到的数据太少，导致
25、我们的模型具有一定的局限性和不确定性，我们的模型还有进一步完善的必要性。问题二：丁克现象对我国人口增长的影响与人口预测我国的人口增长情况随着我国经济的发展出现了很多情况，如人口老龄化、城镇人口剧增、丁克现象等。对于针对我国国情，我们认为在预测我国人口增长的过程中应该计入这些因素的影响。我们对宋健-于景元的人口模型进行了改进，将我国人口的发展情况的研究从定性分析引入定量分析，并把丁克对我国人口的长期影响作为一个加权因子发展了宋健-于景元人口发展模型。1.模型建立 引起人口结构的变化的三大因素是：出生率、死亡和迁移，宋健-于景元的人口发展方程中描述了人口年龄结构与出生率、死亡率和迁移人口的关系，从
26、动力学角度反映了人口的变迁的过程，连续人口发展方程为：+ =-(a,t)p(a,t)+g(a,t) (,) (,)（20）式中 p（a，t）为 t 年末的年龄为 ade 的人口密度分布，p（a ，t）= （ ， ）（21）N（a，t）表示某地区 t 时刻年龄小于 a 的人口数。 （a，t）为 t 时刻年龄为a 的死亡率。g（a ，t ）为某地区 t 时刻年龄 a 岁，(,0)=0()(0,)=()（22）式中(t)= （t） （23） 2+11(,)(,)(,)分别代表育龄妇女年龄的上下限， (t)表示连续情况下 t 时刻出生婴1， 2 儿总数， （t）为 t 时刻育龄妇女的平均年龄，即总和出
27、生率。h（a，t）为妇女生育模式函数。K（a，t）为 t 时刻 a 岁妇女的人口比重。2.人口发展方程的参数函数的确定I.总和生育率函数（t）=1-b(t)-d(t) (t) (t)1+c(t) 1 2（24） b(t)为不孕不育的患病率，我们假定不孕不育的患病率每年保持稳定，从中国人口中我们查到 b（t）每年保持在 0.08。 d（t）为丁克现象影响系数，虽然上文研究的两个模型对我国人口增长的影响效果不同，但从长期来看丁克现象抑制中国人口增长的总趋势是一致的，并且丁克现象与人口增长呈负相关，我们给出了下面的丁克影响系数d（t）= 0.46310.0312（25） 政策性调整系数 政策性生育系
28、数是体现体现生育政策的调控因子，在我们的模型中确定此系数为 1（ ） =1.4569 2（ ） =1.0569 总和生育率函数的确定 通过上面各个参数因子的确定，我们总结出如下的总和生育率模型（t）=2.368945（0.9634- ） 0.46310.0312（26）II .死亡率函数为了简化模型，我们认为在我国医疗水平不变的条件下经过对历年死亡率的统计得到如下图象：最 小 二 乘 法 计 算 死 亡 率 回 归 值0.000000.050000.100000.150000.200000.25000071421283542495663707784年 龄死亡率05年 各 年 龄 实 际 死 亡
29、 率05年 死 亡 率 回 归 值因此我们认为死亡率为一稳定值 0.006314III.人口迁移函数 利用上文中的农民工迁移函数，得到的拟合迁移函数g(t)=5.3778t2+332.6413t+6128.96843.人口预测与模型检验我们利用上面得到的人口增长模型对 2000-2005 年的人口进行了预测得到如下表的人口数量表十二：2000-2005 年的人口预测真实值与预测值2000 2001 2002 2003 2004 2005真实值（万人） 126743 127627 128453 129227 129988 130756净增值（万人） 957 884 826 774 761 768
30、预测值（万人） 126642 127464 128394 129166 129645 130522增长率() 7.551 6.926 6.430 5.989 5.854 5.874偏差() 0.7969 1.2582 0.4593 0.4721 2.6387 1.7896对比 20002005 年预测结果仅仅是最低位数略有不同，由此我们可以判定，此模型可以用于人口的长期预测中。表十三：2000-2070 年的人口总量（预测）时间（年） 人口数量（万人） 时间（年） 人口数量（万人）2000 126642 2025 1376952001 127464 2026 1377662003 128394
31、 2027 1378212004 129166 2028 1379022005 129645 2029 1379942006 130522 2030 1382932007 131263 2031 1386982008 131965 2032 1388252009 131598 2033 1390222010 131990 2034 1392452012 132540 2035 1396452013 133026 2036 1395262014 133865 2037 1390282015 134365 2040 1388832016 135156 2041 1385642017 135562
32、2045 1383422018 135892 2050 1381502019 136039 2055 1376202020 136458 2056 1370232021 136958 2057 1365632022 137259 2060 1334982023 137496 2065 1325642024 137596 2070 132019分别绘出了丁克作用下与不考虑丁克的人口增长曲线：图三：不考虑丁克的中国人口增长曲线 图四：丁克影响下的中国人口由于丁克对城乡的影响是不均衡的，我们绘出了丁克作用下的城乡人口变化图像2000 2010 2020 2030 2040 2050 20602468101214x 108乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡乡六、模型的扩展七、模型的优缺点评价针对模型一：模型一的原创性很强。我们所建立的城市农民工模型能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性，而且模型的最终计算方法简便，计算过程简单，最终得到结果与理论基本相符。但是我们观察到此模型的约束条件简单，未能对问题要求进行完全的表述。针对模型二：
