1、（2007.21）1 (10 分)请你画出一个以 BC 为底边的等腰ABC，使底边上的高 AD = BC（1）求 tan B 和 sinB 的值；（2）在你所画的等腰ABC 中，假设底边 BC = 5 米，求腰上的高 BE解析： （1）本题可根据三角形的特殊性（等腰三角形）和 AD=BC，先求出 AD 和 BD，CD 的关系，进而求出 tan B 和 sinB 的值；（2）由于是等腰三角形，B=C，求出了 sinB 也就是求出了 sinC，直角三角形 BCE 中，已知了 BC 的长，BE 就不难求出了（易错点：同角或等角三角函数的转换，很多还是没有转化的意识，这时候从最初教孩子时就要有意识的给
2、孩子重点强调。）解：如图，正确画出图形，（1）AB=AC，ADBC，AD=BC，BD= ， BC= AD即21AD=2BDAB= = BDtanB= 2， sinB= 2ADB5BDAAB5（2）在 RtBEC 中，sinC=sinABC= ， 5又sinC= ， = 故 BE 2 （米）BCE52注意： 本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，只要画出图形，熟练掌握知识点，正确解出此题并不难，难度中等。（2009.兰州）2 如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的 O 的圆心 O在格点上，则 AED 的正切值等于 解析： 考查的知识点是圆周角定理；锐角三角函数的
3、定义在RtABC 中，易知ABC 的正切值为 ；根据圆周角定理可得，21AED=ABC，（易错点：很多孩子不会转化相等的角，意识不到等角的三角函数值是相等的）由此可求出AED 的正切值（第 12 题）EODCBA解答：在 RtABC 中，AC=1，AB=2；tanABC= = ；AED=ABC，tanAED=tanABC= 故答案ABC21 21为： 213.如图所示， A、 B 两地之间有一条河，原来从 A 地到 B 地需要经过 DC，沿折线A D C B 到达，现在新建了桥 EF，可直接沿直线 AB 从 A 地到达 B 地一直BC=11km， A=45， B=37桥 DC 和 AB 平行，
4、则现在从 A 地到达 B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到 0.1km参考数据： ，sin370.60 ，cos370.80）1.42FEDCBA4537知识点：解直角三角形的应用作垂线将梯形转化成直角三角形和矩形。解析： 分别构造直角三角形将线段 AD、DC 、CB 求出来，然后与线段 AB 的长相比较即能得到答案解：过点 C 作 CGAB 于点 G，过点 D 作 DHAB 于点 H，四边形 CDHG 是矩形，DH=CG，在 RtCGB 中，CG=BCsin377.2km， BG=BCcos379.6km，在 RtADH 中，AD10.152km，AH=7.2km，少走的路=AD+CD+
5、BC-AB=AD+CD+BC-AH-GH-BG=AD+BC-AH-BG5.4km（2009.20）4.如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2.90m 的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1m矩形面与地面所成的角 为 78.李师傅的身高为 l.78m，当他攀升到头顶距天花板 0.050.20m 时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据：sin780.98，cos780.21，tan784.70.)知识点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题考查利用解直角三角形知
6、识解决实际问题的能力，把实际问题转化为数学问题解析： 本题中问题的解决要弄清楚电工李师傅所站的地方离地面的高度，通过解直角三角形来解决首先可求得点 A 离地面的距离，再用相似三角形对应边成比例，或者同角三角函数的比例，(易错点：学生多数想不到相似三角形，也不太能转化利用同角三角函数，故从开始就应该给孩子输入一种不用相似就用三角函数的思维方式)求得第三级离地面的高度，即可求得他头顶离房顶的距离解：过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 D 作 DFBC 于点 FAB=AC，CE= BC=0.5在21RtAEC 和 RtDFC 中，tan78= ，AE=ECtan780.54.70=2.35CA又
7、sin= = ，DF= AE= AE1.007CF73李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787头顶与天花板的距离约为：2.90-2.7870.110.050.110.20，他安装比较方便（2011.19）5 如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第高钢塔小明所在的课外活动小组在距地面 268 米高的室外观光层的点 D 处，测得地面上点 B 的俯角 为 45，点 D 到 AO 的距离 DG 为 10 米；从地面上的点 B 沿 BO 方向走 50 米到达点 C 处，测得塔尖 A的仰角 为 60。请你根据以上数据计算塔高 AO，并求出计算结果与实际塔高 38
8、8 米之间的误差(参考数据： 1.732， 1.414.结果精确到 0.1 米)32知识点：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，涉及到的知识点为：等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值。解析： 先作 DFBO 于点 F，根据 DEBO，=45可判断出DBF 是等腰直角三角形，进而可得出 BF 的值，再根据四边形 DFOG 是矩形可求出 FO 与 CO 的值，在 RtACO 中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出 AO 的长，进而可得出其误差 （易错点：由于受图形中塔的干扰，不宜看出 DG=OF，所以最好将塔去掉，在画一个只有两个直角
9、三角形的图）解：作 DFBO 于点 F，DEBO，=45，DBF=45，RtDBF 中，BF=DF=268，BC=50，CF=BF-BC=268-50=218，由题意知四边形 DFOG 是矩形，FO=DG=10，CO=CF+FO=218+10=228，在 RtACO 中，=60，AO=COtan602281.732=394.896，误差为 394.896-388=6.8966.9 （米） 即计算结果与实际高度的误差约为 6.9 米（2012.15）6.如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， B=30， BC=3，点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B、 C 重合） ，过点 D 作 DE
10、 BC 交 AB 边于点 E，将 B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处，当 AEF 为直角三角形时， BD 的长为_.知识点：翻折变换（折叠问题） ； 含 30 度角的直角三角形；勾股定理解析：首先由在 RtABC 中，ACB=90，B=30，BC=3，即可求得 AC 的长、AEF 与BAC 的度数，然后分别从从AFE=90与EAF=90去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得 CF 的长，继而求得答案（2012.20）7 某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点 C 处拉直固定。小明为了测量此条幅的长度，他先
11、测得楼顶 A 点的仰角为 45，已知点 C 到大厦的距离 BC=7 米，ABD=90.请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数。参考数据：tan310.60,sin310.52，cos310.86）.知识点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析： 设 AB=x 米根据AEB=45，ABE=90得到 BE=AB=x，然后在 RtABD 中得到tan31= 求得 x=24然后在 RtABC 中，利用勾股定理求得 AC 即可 （易错点：16x很容易分不清那个是要求的条幅，这说明仔细读题很重要，还有就是把模型一给学生讲透）解：设 AB=x 米AEB=45，ABE=90，BE=AB=x 米，在 RtA
12、BD 中，tanD=，即 tan31= x= =24即 AB24 米，在 RtABCBDA16x31tan6.0中， AC= =25 米2ABC247E CD BA第 7 题EF CDBA第 6 题（2013.19）8 我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位. 如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 BE，背水坡坡角BAE=68，新坝体的高为 DE，背水坡坡角 DCE=60. 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到 0.1 米. 参考数据：sin68
13、0.93，cos680.37，tan682.50，1.73）.3知识点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题本题考查了解直角三角形的应用，难度较低，解答本题的关键是解直角三角形解析： 在 RtBAE 中，根据 BE=162 米，BAE=68，解直角三角形求出 AE 的长度，然后在 RtDCE 中解直角三角形求出 CE 的长度，然后根据 AC=CE-AE 求出 AC 的长度即可解：在 RtBAE 中，BE=162 米，BAE=68，AE= = =64.8（米） ，68tanBE50.21在 RtDCE 中，DE=176.6 米，DCE=60，CE= = = 102.1（米） ，tD37.6则 AC
14、=CE-AE=102.1-64.8=37.3（米） （2014.河南）9在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为300位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 侧得潜艇 C 的俯角为 680.试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin6800.9,cos68 00.4,tan68 02.5. 1.7)3ECDBA图6860知识点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解关键也就是易错点是从哪个点构造这个直角三角形。解析： 过点 C 作 CDAB，交 BA 的
15、延长线于点 D，则 AD 即为潜艇 C 的下潜深度，分别在 RtACD 中表示出 CD 和在 RtBCD 中表示出 BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解 解：过点 C 作 CDAB，交 BA 的延长线于点 D，则 AD 即为潜艇 C 的下潜深度，根据题意得：ACD=30，BCD=68 ，设 AD=x，则 BD=BA+AD=1000+x，在 RtACD 中，CD= =ACDtan= x，在 RtBCD 中，BD=CDtan68 ，1000+x= xtan68 解得：x=30tan 3 308 米，潜艇 C 离开海平面的下潜深度为 308 米168t15.270（2011.宁德）10图 1 是
16、安装在斜屋面上的热水器，图 2 是安装该热水器的侧面示意图已知，斜屋面的倾斜角为 25，长为 2.1 米的真空管 AB 与水平线 AD 的夹角为 40，安装热水器的铁架水平横管 BC 长 0.2 米，求：（1）真空管上端 B 到 AD 的距离（结果精确到 0.01 米） ；（2）铁架垂直管 CE 的长（结果精确到 0.01 米） 知识点：解直角三角形的应用；矩形的判定与性质分析： （1）过 B 作 BFAD 于 F构建 RtABF 中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案（2）根据 BF 的长可求出 AF 的长，再判定出四边形 BFDC 是矩形，可求出 AD 与 ED 的长，再用 CD
17、的长减去 ED 的长即可解答解：（1）过 B 作 BFAD 于 F在 RtABF 中，sinBAF= ，BF=ABsinBAF=2.1sin40ABF1.350真空管上端 B 到 AD 的距离约为 1.35 米（2）在 RtABF 中，cosBAF= ，AF=ABcos BAF=2.1cos401.609ABBFAD，CDAD，又 BCFD，四边形 BFDC 是矩形BF=CD ，BC=FD在 RtEAD 中，tanEAD= ，ED=ADtanEAD=1.809tan250.844CE=CD-ED=1.350-0.844=0.5060.51ADE安装铁架上垂直管 CE 的长约为 0.51 米(2
18、011.梧州)11.如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长 CD=6m，坡角到楼房的距离 CB=8m在 D 点处观察点 A 的仰角为 54，已知坡角为 30，你能求出楼房 AB 的高度吗？（tan541.38，结果精确到0.1m）解直角三角形的应用-仰角俯角问题 ； 解直角三角形的应用- 坡度坡角问题 分析： 过 D 点作 DFAB，交 AB 于点 F首先在直角三角形 ECD 求得线段 DF 的长，然后在 RtADF中求得 AF 的长，然后求 AB 的长即可解：过 D 点作 DFAB，交 AB 于点 F在 RtECD 中，CD=6， ECD
19、=30 ，DE=3=FB ，EC=33DF=EC+CB=8+3 在 Rt ADF 中，tanADF= ， AF=DFtan54AF= （8+3 ）3DFA31.38AF18.20 AB=AF+FB=18.20+3=21.2021.2楼房 AB 的高度约是 21.2m(2011.广西)12.2011 年 3 月 11 日 13 时 46 分日本发生了 9.0 级大地震，伴随着就是海啸山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示） 已知山坡的坡角AEF=23，测得树干的倾斜角为BAC=38，大树被折断部分和坡面的角ADC=60，AD=4
20、米（1）求DAC 的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位） （参考数据：21.4，31.7，62.4）知识点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 综合性较强，有一定的复杂性解析： （1）通过延长 BA 交 EF 于一点 G，则CAD=180-BAC-EAG 即可求得；（2）作 AHCD 于 H 点，先求得 AH 的长，然后再求得 AC 的长解：（1）延长 BA 交 EF 于一点 G，则DAC=180-BAC-GAE=180-38- （90-23 ）=75；（2）过点 A 作 CD 的垂线，设垂足为 H，则 RtADH 中，ADC=60，AHD=90 ，DAH=30 ，AD=4 ，DH=2，AH=2 3RtACH 中，CAH= CAD-DAH=75-30=45，C=45，故 CH=AH=2 ，AC=2 6故树高 2 +2 +210 米63
