1、反三角函数与解三角形一、知识梳理：1反三角函数与三角方程：2解三角形二、例题讲解：1.（上海市八校 2008学年第一学期高三数学考试试卷 5）设 cosx 2,63则 arcsinx的取值范围 答案： ,62 2 （上海市卢湾区 2010年 4月高考模拟考试）函数 arcsinyx（ 01 ）的值域为 3 （上海市黄浦区 2008学年高三年级第一次质量调研 5）三角方程 的解集2i0是_答案： (只要正确，允许没有化简) |(1),6kxZ4.（上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 11 题）若函数 存在反函数 ，且()yfx1()yfx函数 的图像过点 ，则函数tan()yfx(2,3)的图像
2、一定过点 _答案：1()rcsiaos)f (3,2)5 （上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 5 题） 在 中，角 所对的边分别为ABC、 、，若 则 _.答案： abc、 、 (3)cos,bAaCcosA36.（上海市长宁区 2010年高三第二次模拟）在 B中， 06， ,5AB且35S，则 BC的长为 ._217 （上海市徐汇区 2010年 4月高三第二次模拟） AC中，已知 2， C，则 A的最大值为_.8 （2010 年 4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）理科在 AB中，若2,3cba，则 ABC的外接圆半径长为 . 1589. （上海虹口区 08学年高三数学第一学期
3、期末试卷 6） 中，C则 _.答案：55 5,67,oscsosabAB10.（08 年上海市部分重点中学高三联考 7）已知 是锐角 中 的cba,ACB,对边，若 的面积为 ，则 答案： ,43AB31311 （1）已知 C内接于以 O为圆心，1 为半径的圆，且 054O，则 ABCS . 65（2）已知 O是 ABC的外心，2， 3， 21xy，若 AxByAC， (0)x，则 cos . 3412 （上海市嘉定黄浦 2010年 4月高考模拟） （本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分已知 ABC的周长为 )1(，且 sin2sinBCA（1）求边
4、长 a的值；（2）若 3sinABCS大（结果用反三角函数值表示） 12(本题满分 14分)本题共有 2个小题，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分解 (1)根据正弦定理， sinsinA可化为 bca 3 分联立方程组4(21)abc，解得 4a 6 分所以，边长 4 7 分(2) 3sinABCS，1ii62bcbc大 10 分又由(1)可知， 42，2 2()1cos 3bcabcaA 13 分因此，所求角 A的大小是1ros3 14 分13.（上海市长宁区 2010年高三第二次模拟） （本题满分 14分，第（1）小题 6分，第（2）小题 8分）设 cba,分别为 ABC的内角 ,
5、的对边，),2sin,(co),2sin,(coCCmm与 n的夹角为 3（1）求角 的大小；（2）已知 27c， ABC的面积 23S，求 ba的值。20、解：（1）由条件得Cnmcossinco，2 分又 213cos|nm，4 分,21cosC0，因此 3C。6 分（2） 24sinababS， 6ab。9 分由余弦定理得3cos2)(cos222 abbaCbac ，12分得出： 41)(2， 21。14 分14 （上海市徐汇区 2010年 4月高三第二次模拟） （本题满分 14分）在 ABC中，a、 b、 c是 A、 B、 C的对边，已知 045B, 06,231，求 的面积 ABS
6、.19解： 00875，-2 分0062sini75sin434A-6分由正弦定理14sii624abbB，-10 分13sin1622ABCSab。-14 分15 （上海市黄浦区 2008学年高三年级第一次质量调研 18） （本题满分 14 分）第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分. 中，已知 ，边 ，设 ， 的周长为 .323BCxABCy(1)求函数 的解析式，并写出函数的定义域；(2)求函数 的值域.()yfx ()fx1.解：(1)ABC 的内角和 A+B+C= ，且 ，,03Ax220,.3C由正弦定理，知 即,sinii()3bcxx4sin2()3bcx所以 24
7、s() 0yx(2)由(1)知， 2in4si2 ()33xx6sin23cosx54()()66x由正弦函数的图像知，当 时，有 .561sin(12于是， ，3sin()23x所以，函数 的值域是4 (0)3y x(43,616（嘉定区 20082009 第一次质量调研第 19 题） （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分如图，一船在海上由西向东航行，在 处测得某岛 的方位角为北偏东 角，前进AM后在 处测得该岛的方位角为北偏东 角，已知该岛周围 范围内有暗礁，现4kmB5.3km该船继续东行（1）若 ，问该船有无触礁危险？062如果
8、没有，请说明理由；如果有，那么该船自 处向B东航行多少距离会有触礁危险？（2）当 与 满足什么条件时，该船没有触礁危险？答案：解：（1）作 ，垂足为 ，ABMC由已知 ， ，所以 ，060301203AMB所以 ， ，（2 分）4B06所以 ，5.2sin0C所以该船有触礁的危险（4 分）设该船自 向东航行至点 有触礁危险，D则 ，（5 分）.3MD在 中， ， ，B42BC， ，2C5.0)3(.所以， （ ） （7 分）.1km所以，该船自 向东航行 会有触礁危险（8 分）5.（2）设 ，在 中，由正弦定理得， ，xABMABABsinsin即 ， ，（10 分）cos)sin(4M)si
9、n(co4北 MA B C北 MA B CD而 ，（12 分）)sin(co4cosinBMCBx所以，当 ，即 ，5.327)si(4即 时，该船没有触礁危险（14 分）87)sin(co三、课后作业：1（南汇区 2008学年度第一学期期末理科第 17题） （本题满分 14分） 某轮船以 30 海里/时的速度航行，在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60，向北航行 40 分钟后到达 B 点，测得油井 P 在南偏东 30，轮船改为北偏东 60的航向再行驶 80 分钟到达C 点，求 P、C 间的距离。答案：解：如图，在ABP 中， ，APB=30,BAP=12040326B由正弦定理知 得
10、6分AsinsiP103BP在BPC 中， ，又PBC=9080346BC22 07P可得 P、C 间距离为 (海里) 14 分72. （浦东新区 2008学年度第一学期期末质量抽测卷数学第 19题） （满分 14 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分中，三个内角 A、 B、C 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ABabc60Bca)3(（1）求角 的大小；（2）已知当 时，函数 的最大值为 3，求 的面积.2,6x xaxfsin2co)(AC答案：解 （1 ）因为 ，所以 ， 10B10CA120分因为 ，由正弦定理可得： 3 分ca)3( si)(s
11、i)n3co3)(n)2sin(sin AA ，整理可得： 5si1co)1(A1ta分所以， （或 ） 645A分（2） ，令 ，因为 ，所以 7 分xaxfsini21)(xtsin2,61,2t， 9 分18)4(212attg ,t若 ，即 ， ， ，则 （舍去） 1024a)maxgf 35a分若 ，即 ， ， ，得 111418)4(2axf 24分若 ，即 ， ， ，得 （舍去）124agf)1(maxa3a分故 ， 14 分326ABCS3. (上海市青浦区 2008学年高三年级第一次质量调研第 18题)（本题满分 14 分）第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
12、已知 为 的三个内角，且其对边分别为 .、 、 abc、 、若 且 .(cos,in),(cos,2in),Am1mA(1)求 ；(2)若 ，三角形面积 ，求 的值.A23a3Sbc、答案：解：(1) (cos,in),(os,2in),2，又2icAmnA1m，又1cos(0,).3(2) ,13sin24ABCSbcbc4,由余弦定理，得 222osaAbc又 ，3a,bc，故 .216()bc44.已知平面向量 )1,(sinxa， )cos,3(xb，函数 baxf)(（1）写出函数 )f的单调递减区间；（2）设16(xfg，求直线 2y与 )(xg在闭区间 ,0上的图像的所有交点坐标
13、.解：（1）)6sin(co)sin(3)(xxxf，4 分单调递减区间)(42,Zkk； 6 分（2）1sin)6()xxfg， 8 分解 )(，即 2sin， ,0得 65,，12 分所以交点坐标为：),65(, 14分5. 已知平面向量 (sin2),1ax， b(3,cos2x)，函数 baxf)(（1）写出函数 )xf的单调递减区间；（2）设nng(lim,(0x2)，求函数 ()yfx与 )(g图像的所有交点坐标.(1)62sin(co)2si(3)( xxxf，2 分单调递减区间为k,(kZ)63； 6 分（2）1,(0x)g)2,()， 8 分当 0x时，解2sin(x)16，
14、得x3， 10 分当 时，解i()，无解， 11 分当 x2时，解sin(2x)06，得17x2， 13 分所以交点坐标为：(,1)3，7,) 14 分6（闸北区 09 届高三数学第 14 题） （本小题满分 14 分）在 中，内角 所对的边长分别是 .ABC , ,abc（）若 ， ，且 的面积 ，求 的值；2c3ABC 3S,（）若 ，试判断 的形状.2sin)si(n答案：解：（）由余弦定理及已知条件得，.3 分24ab又因为 的面积等于 ，所以 ，得 2 分ABC 31sin32abC4ab联立方程组 解得 ， 2 分24ab，（）由题意得 ， 3 分Acosincsi当 时， ， 为
15、直角三角形 2 分cos0A2BC当 时，得 ，由正弦定理得 ，iiba所以， 为等腰三角形 2 分BC7. （上海市浦东新区 2010年 4月高考预测理科） （本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 8分，第 2小题满分 6分.已知向量 )3cos,(,)3sin( mxbyxa )(R，且 0ba. 设 )(xfy. （1）求 )xf的表达式，并求函数 )f在92,18上图像最低点 M的坐标.（2）若对任意9,0， (xt恒成立，求实数 t的范围.解：（1） 0ba，即 03cosinmxy，2分消去 m，得 yssin3， 即)63i(2coi)( xxxf，2 分92,18时， 635,， 1,2)sin(，2 分即 )(xf的最小值为 1，此时 92x所以函数 的图像上最低点 M的坐标是)1,(2分（2） 19)(xtf, 即)63sin(2tx， 当,0x时, 函数)i()(f单调递增， xy9单调递增，所以xy9)63sin(2在,0上单调递增，2 分所以)i(的最小值为 1, 2分为要19)63sin(2tx恒成立，只要 1t，所以 0t为所求.2 分
