1、 1 3.2 用频率估计概率 1.知道 通过 大量 的重 复试 验， 可 以用 频 率来估 计概 率； （重 点） 2.了解 替代 模拟 试验 的可 行性. 一、情 景导 入 我们知道，任意抛一枚均匀的硬币， “ 正面 朝上 ”的 概率 是 0.5 ，许 多科 学家 曾 做过成 千上 万次 的实 验， 其中部 分结 果如 下 表： 实验者 抛掷次 数n “正面 朝上 ”次数 m 频率 m/n 隶莫弗 布丰 皮尔逊 皮尔逊 2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.518 0.5069 0.5016 0.5005 观 察上 表， 你获 得什 么启示
2、 ？ （ 实 验次数 越多 ，频 率越 接近 概率） 二、合 作探 究 探究点 ：用 频率 估计 概率 小 颖 和 小 红 两 位 同 学 在 学 习 “ 概 率 ”时 ， 做掷 骰子 （ 质地 均匀的 正方 体） 试 验，她 们共 做了 60 次试 验， 试 验的 结果 如 下表： 朝上的 点数 1 2 3 4 5 6 出现的 次数 7 9 6 8 20 10 （1） 计 算“3 点 朝上 ”的 频率和 “5 点 朝上 ” 的频 率； （2 ）小颖说：“ 根据试验，一次试 验 中出现 5 点朝 上 的概 率大 ” ；小 红说 ： “ 如果 掷600 次 ， 那 么出 现 6 点朝 上 的 次
3、数正 好 是 100 次. ” 小 颖和小 红的 说法 正 确吗？ 为什 么？ 解： （1） “3 点朝 上 ” 的频 率为 6 60 1 10 ， “5 点 朝上 ”的 频率 为 20 60 1 3 ； （2 ） 小 颖 的 说 法 是 错 误 的 ， 因 为 “5 点朝上 ”的 频率 大并 不能 说明“5 点 朝上 ” 这一事 件发 生的 概 率大， 因 为当试 验的 次数 非常多 时， 随机 事件 发生 的频率 才会 稳定 在 事件发 生的 概率 附近. 小红的 说法 也是 错误 的， 因为掷 骰子 时 “6 点 朝上 ”这 个事 件的 发生具 有随 机性 ， 故如果 掷 600 次，
4、“6 点 朝上 ” 的次 数不 一 定是 100 次. 易错 提 醒： 频率 与概 率的联 系与 区 别： （1）联系：当试 验次数很多时，事件 发生的 频率 会稳 定在 一个 常数附 近， 人们 常 把这个 常数 作为 概率 的近 似值. （2 ）区别：事件发生的频率不能简 单 地等同于其概率. 概 率 从数量 上 反 映 了 一 个 随机事 件发 生的 可能 性大 小， 是 理论 值， 是 由事件 本质 决定 的， 只能 取唯一 值， 它能 精 确地反 映事 件发 生的 可能 性大小 ； 而 频率 只 有 在 大 量 重 复 试 验 的 前 提 下 才 可 近 似 地 作 为 这 个 事
5、件 的 概 率 ， 即 概 率 是 频 率 的 稳 定 值，而 频率 是概 率的 近似 值. 在 “ 抛 掷 一 枚 均 匀 硬 币 ” 的 试 验 中， 如 果手 边现 在没 有硬 币， 则 下列 各个 试 验中哪 个不 能代 替（ ） A.两张 扑克 ， “ 黑桃 ”代替 “正面 ” ， “ 红桃 ”代替 “ 反面 ” B.两个 形状 大小 完全 相同 ， 但颜 色为 一 红一白 的两 个乒 乓球 C.扔一 枚图 钉 D.人数 均等 的男 生、 女生 ， 以抽 签的 方 式随机 抽取 一人 解析： “抛 一枚 均匀 硬币 ” 的试 验中 ， 出现正 面和 反面 的可 能性 相同， 因此 所
6、选 的 替代物 的试 验结 果只 能有 两个， 且出 现的 可 能性相 同， 因 此 A 项、B 项、D 项都 符合 要 求，故 选 C. 方 法总 结： 用替 代物 进行试 验时 ， 首 先 要 求 替 代 物 与 原 试 验 物 所 产 生 的 所 有 可能均 等的 结果 数相 同， 且所有 结果 中的 每 2 一对应 事件 的概 率相 等； 其次所 选择 的替 代 物不能比实物进行试 验时 更困难. 替代物通 常选用 ： 扑 克、 卡片、 转盘 、 相同 的乒 乓球 、 计算器 等. 某 篮 球 队 教 练 记 录 了 该 队 一 名 主 力前锋 练习 罚篮 的结 果如 下： 练习罚 篮
7、次 数 30 60 90 150 200 300 400 500 罚中次 数 27 45 78 118 161 239 322 401 罚中频 率 （1 ）填表：求该前锋罚篮命中 的 频率（ 精确 到0.001）； （2 ）比赛中该前锋队员上篮得分并 造 成对 手 犯规 ， 罚 篮一 次， 你能估 计这 次他 能 罚中的 概率 是多 少吗 ？ 解 ： （1 ） 表 中 的 频 率 依 次 为 0.900 ， 0.750 ， 0.867 ， 0.787 ， 0.805 ， 0.797 ， 0.805 ， 0.802 ； （2 ）从表中的数据可以发现，随着 练 习次数 的增 加， 该前 锋罚 篮命
8、中 的频 率稳 定 在0.8 左右 ， 所 以估 计他 这次能 罚中 的概 率 约为0.8. 方法总 结： 利用 频率 估计概 率时 ， 不能以某一次练习的 结果 作为估计的概率. 试验的 次数 越多 ， 用 频率 估计概 率也 越准 确 ， 因此 用多 次试 验后 的频 率 的稳定 值估 计概 率. 在 一 个 不 透 明 的 盒 子 里 装 有 颜 色 不同的 黑、 白两 种 球 ，其 中白 球 24 个， 黑 球若干. 小 兵 将 盒 子 里 面的球 搅 匀 后 从 中 随 机 摸 出 一 个 球 记 下 颜 色 ， 再 把 它 放 回 盒 子 中， 不 断重 复上 述过 程， 下表是
9、试验 中的 一 组统计 数据 ： 摸球的 次 数 n 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白 球的 次 数 m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白 球的 频率 m n0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1） 请估 计： 当 n 很大时 ，摸 到 白 球 的 频 率 将 会 接 近 （ 精 确 到 0.1）； （2）假如 你摸一次， 估计你摸 到白 球 的概 率P（ 白球 ） ； （3） 试估 算盒 子里 黑球 有 多少个. 解： （1 ）0.6 （2）0.6 （3） 设黑 球有 x 个 ，
10、则 24 24x 0.6 ， 解得 x 16. 经检验 ， x16 是 方程 的解 且符合 题意. 所以盒 子里 有黑 球 16 个. 方 法总 结： 本题 主要 考查用 频率 估 计概率 的方 法， 当摸 球次 数增多 时， 摸到 白 球的频率 m n 将 会 接 近 一 个 数值 ， 则 可 把 这 个 数值近 似看 作概 率， 知道 了概率 就能 估算 盒 子里黑 球有 多少 个. 三、板 书设 计 用频率 估计 概率 用频率 估计 概率 用替代 物模 拟试 验估 计概 率通过实 验， 理解 当实 验次 数较大 时实 验频 率 稳定于 理论 频率 ， 并 据此 估计某 一事 件发 生 的概率. 经 历 实 验 、 统 计等活 动 过 程 ， 进 一 步发展学生合作交流 的意 识和能力. 通过动 手实验 和课 堂交 流， 进一 步培养 学生 收集 、 描述、 分析 数据 的技 能， 提 高数学 交流 水平 ， 发展探 索、 合作 的精 神.
