1、 博士教育 封智勇 1函数知识点总结基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式 中, 表示速度, 表示时间, 表示在时间 内所走的路程,则变量是_,常量是vtstst_。在圆的周长公式 C=2r 中，变量是_，常量是_.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。*判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）
2、y=x (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1 中，是一次函数的有（ ）1x（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零或负整数的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：1.下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（ ）Ay= By
3、= Cy= Dy= 2x1224x2x2.已知函数 ，当 时，y 的取值范围是 （ ）yxA. B. C. D.23525253y253y3、函数 y= 的自变量 x 的取值范围_x4.小强在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm 的等腰三角形,请你写出底边长 y(cm)与一腰长为 x(cm)的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围.平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向 右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐
4、标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。博士教育 封智勇 23、不同位置的点的坐标的特征 各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限 0,yx点 P(x,y)在第二象限 点 P(x,y)在第三象限 ,yx点 P(x,y)在第四象限
5、 0坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上 ，x 为任意实数；点 P(x,y)在 y 轴上 ，y 为任意实数y 0x点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等；点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称 横坐标相等，纵
6、坐标互为相反数；点 P 与点 p关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互 为相反数；点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（ 1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 （3）点 P(x,yx到原点的距离等于 2yx对称性：若直角坐标系内一点 P（ a， b） ，则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（ a， b） ，P 关于 y 轴对称的点为P2（ a， b） ，关于原点对称的点为 P3（ a， b）.坐标平移：若直角坐标系内一点 P（ a， b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P
7、（ a h， b） ，向右平移 h 个单位，坐标变为 P（ a h， b） ；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（ a， b h） ，向下平移 h 个单位，坐标变为 P（ a， b h）.如：点A（2，1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A（7，1）4、函数平移规律：左加右减、上加下减5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其
8、对应的函数值） ；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。例题 博士教育 封智勇 31、如果 p（a+b,ab）在第二象限，那么点 Q (a,-b) 在第 象限.2、已
9、知点(1-a,a+2) 在第二象限，则 a 的取值范围是 3、如果点 M（a，b）在第四象限，那么点 N（b，a）在第 象限。4、点 A（3，5）在第_象限，到 x 轴的距离为_，到 y 轴的距离为_。5、平面直角坐标系中的 P（3,-5 ） ，关于 x 轴对称的点 的坐标为 ；关于 y 轴对称的点 的坐标为 1P2P关于原点对称的点 的坐标为 ；36、已知线段 MN=4，MNy 轴，若点 M 坐标为(-1,2)，则 N 点坐标为 .7、已知 轴上点 P 到 轴的距离是 3，则点 P 坐标是_。xy8、已知点 M 在 轴上，则点 M 的坐标为 。a4,9、若点 P 到 轴的距离为 2，到 轴的
10、距离为 3，则点 P 的坐标为 _10、将点 P（ 3， 2）向下平移 3 个单位，向左平移 2 个单位后得到点 Q（x ， y） ，则 xy=_11、已知点 M 与点 N 关于 轴对称，则 x + y = _ 。yx,x12、点 Q（-4,5）到 x 轴的距离是 ，到 y 轴的距离是 13、 （3，4）关于 x 轴对称的点的坐标为_，关于 y 轴对称的点的坐标为_，关于原点对称的坐标为_.14、点 B（5，2）到 x 轴的距离是 _，到 y 轴的距离是_，到原点的距离是_15.已知点 A(2a+3b,-2)和点 B（8,3a+2b）关于 x 轴对称，那么 a+b=16 如果代数式 有意义，那
11、么直角坐标系中点 p(m,n)的位置在哪一个象限？1mn17.一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了.图中能基本上反映出亮亮这一天(0 时24 时)体温的变化情况的是( ).18.小丽的家与学校的距离为 km,她从家到学校先以匀速 跑步前进,后以匀速 走完余下的路程,共用 . 0d1v21()v0th下列能大致表示小丽距学校的距离 y(km)与离家时间 t(h)之间关系的图象是( )t0d0O tyAt0d0O B tyt0d0O C tyt0d0O D ty19 题图19.一农民带了若干千
12、克自产的土豆进城出售,为了方便, 他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示,结合图象回答下列问题:(1)农民自带的零钱是多少?(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少?(3)降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是 26 元,问他一共带了多少千克土豆.博士教育 封智勇 49、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx
13、 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0 时，向上平移；当 b0 或 ax+b0（a，b 为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量的取值范围.例题画出函数 的图象，利用图象求：12xy（1） （4）当 时，求;,3)(;12)(;0 的 取 值 范 围求时当的 解 集不 等 式的 根
14、方 程 xyx 3yx 的取值范围；（5）求图象与坐标轴的两个交点间的距离；（6）求图象与坐标轴围成的三角形的面积17、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y= 的图象相同.bcxa博士教育 封智勇 6（2）二元一次方程组 的解可以看作是两个一次函数 y= 和 y= 的图象交2211cybxa 1bcxa2bcxa点.例题 1、已知一个正比例函数经过点 ，求它的解析式。(,3)2、 （1）已知 y 与 x+1 成正比例，当 x=5 时，y=12，则 y 关于 x 的函数解析式是_（2）y 与 3x 成正比例，当 x=8 时，y=12
15、，则 y 与 x 的函数解析式为_3、一个函数是经过原点的直线，并且这条直线经点（2，3a）和点（1，a5） ，求这个一次函数的解析式。4、已知一个一次函数经过点 和点 ，求它的解析式。(2,3)(,4)5、已知 是 的一次函数，且当 =8 时， =15：当 =10 时， =3，求：这个一次函数的解析式；yxxyxy当 =2 时，求 的值；6、已知函数 (1)2ymx(1)若函数图象经过原点,求 的值(2)若这个函数是一次函数,且 随着 的增大而减小,求 的取值范围.yxm7、直线 y=3-9x 与 x 轴的交点坐标为 _，与 y 轴的交点坐标为_ 8、若直线 y=kxb 平行直线 y=3x4
16、，且过点（1，-2），则 k=_ . 9、已知一次函数 y =（m + 4）x + m + 2（m 为整数）的图象不经过第二象限，则 m =_10、旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票设行李票 y(元)是行李重量 x(千克)的一次函数，如图 6-20 所示，求(1)y 与 x 之间的函数关系式 (2)旅客最多可免费携带行李的重量博士教育 封智勇 711、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市调查发现，如果月初出售，可获利 15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利 10%；如果月末出售可获利 30%，但要付出仓储费用 700 元，请问根据商场的资
17、金状况如何购销获利较多？12. 一 根 蜡 烛 长 20cm， 点 燃 后 每 小 时 燃 烧 5cm， 求燃 烧 时 剩 下 的 高 度 y（ cm） 与 燃 烧 时 间 x（ 小 时 ） 的 函 数 关系 并 画 出 函 数 图 象13. 一 个 弹 簧 ， 不 挂 物 体 时 长 12cm,挂 上 物 体 后 会 伸 长 ， 伸 长 的 长 度 与 所 挂 物 体 的 质 量 成 正 比 例 .如 果 挂 上 3kg物 体 后 ， 弹 簧 总 长 是 13.5cm， 求 弹 簧 总 长 是 y(cm)与 所 挂 物 体 质 量 x(kg)之 间 的 函 数 关 系 式 .如 果 弹 簧
18、最 大 总 长为 23cm， 求 自 变 量 x 的 取 值 范 围 . 14.拖 拉 机 开 始 工 作 时 ， 油 箱 中 有 油 20 升 ， 如 果 每 小 时 耗 油 5 升 ， 求 油 箱 中 的 剩 余 油 量 Q（ 升 ） 与 工 作 时 间t（ 时 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 指 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ， 并 且 画 出 图 象 . 博士教育 封智勇 815. 已 知 一 次 函 数 的 图 象 经 过 点 P（ 2， 0） ， 且 与 两 坐 标 轴 截 得 的 三 角 形 面 积 为 3， 求 此 一 次 函 数 的 解 析 式 . 16.
19、一次时装表演会预算中票价定为每张 100 元，容纳观众人数不超过 2000 人，毛利润（百元）关于观众人数 （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过 1000 人时，表演会组织者需向保险yx公司缴纳定额平安保险费 5000 元（不列入成费用）.请解答下列问题：（1）求当观众人数不超过 1000 人时，毛利润 y 关于观众人数 的函数解析式和成本费用 S（百元）关于观众人数x的函数解析式；x（2）若要使这次表演会获得 36000 元的毛利润，那么需售出多少张门票？需支付成本费多少元？17同学们知道，一次函数 的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图（1）中，0kbxy代表时间， 代表路程，那么从图象上可以看出，某人出发时 离某地（原点）2km，出发 1h 后，由xy 0x，即某人离某地 5km，他走了 3km，在图（2）中，OA，OB 分别表示甲、乙两人的运动图象，5,1得请根据图象回答下列问题：如果用 t 表示时间，s 表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系是：甲 ，乙 ；甲的运动速度是 km/h；两人同时出发，相遇时，甲比乙多走 km. xy21245-1（1）O O51015201 2 3 4 5 6甲乙Bt/hs/km(2)850400350O-100 1020 百 人/x百 元/y
