1、第 1 页（共 9 页）兰州第十中学 数学组2013 年最新八年级数学竞赛讲座 第二十二讲 直角三角形的再发现直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论如图，在 RtABC 中，C=90，CDAB 于 D，则有：1同一三角形中三边的平方关系：AB 2=AC2+BC2，AC2=AD2+CD2，BC 2=CD2+BD22角的相等关系：A=DCD，B=ACD3线段的等积式：由面积得 ACBC=ABCD；由 ACDCBDABC，得
2、CD2=ADBD，AC 2=ADAB，BC 2=BDAB以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识注 直角三角形被斜边上的高分成的 3 个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中例题求解【例 1】 等腰三角形 ABC 的底边长为 8cm，腰长 5cm，一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 025cm秒的速度移动，当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时，点 P 运动的时间为 (江苏省常州市中考题)思路点拨 为求 BP
3、需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动 态过程第 2 页（共 9 页）【例 2】 如图，在矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，S 矩形 ABCD=40cm2，S ABE ：S DBA =1：5，则 AE 的长为( ) A4cm B5cm C6cm D7cm (青岛市中考题)思路点拨 从题设条件及基本图形入手，先建立 AB、AD 的等式【例 3】 如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，DB 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，点 G 在BE 上，连结 DG 并延长交 AE 于 F，若FGE=45(1)求证：BDBCBGBE；(2)求证：AGBE；(3)若 E
4、为 AC 的中点，求 EF：FD 的值 （盐城市中考题）思路点拨 发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础(1)证明GBDCBE；(2)证明ABGEBA；(3)利用相似三角形，把求 FDE的值转化为求其他线段的比值【例 4】 如图， H、Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 BH=BQ，过 B 作 HC 的垂线，垂足为 P求证：DPPQ (“祖冲之杯”邀请赛试题)第 3 页（共 9 页）思路点拨 因BPQ+QPC=90，要证 DPPQ，即证QPC+DPC=90，只需证BPQ=DPC，只要证明BPQCPD 即可注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的
5、基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解法，以培养我们发散思的能力 【例 5】 已知 ABC 中，BCAC，CH 是 AB 边上的高，且满足 BHAC2，试探讨A 与B 的关系，井加以证明 (武汉市选拔赛试题)思路点拨 由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出A 与B 的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质， 推导判定两个三角形相似的条件注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问
6、题吗?并加以证明学力训练1 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 1，P 是 CD 边的中点 ，点 Q 在线段 BC 上，当 BQ= 时，三角形 ADP 与三角形 QCP 相似(云南省中考题)2 如图，RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，DFCB 于 E，若 BE=6，CE=4，则AD= 3如图，平行四边形 ABCD 中，AB=2，BC=2 3，AC=4，过 AC 的中点 O 作 EFAC 交 AD 于 E，交 BC 于F，则 EF= (重庆市竞赛题)4P 是 RtABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 作直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，满足这样条件的直线共
7、有( )第 4 页（共 9 页）A1 条 B 2 条 C3 条 D4 条(2001 年安徽省中考题)5在ABC 中，AD 是高，且 AD2=BDCD，那么BAC 的度数是( )A小于 90 B等于 90 C大于 90 D不确定6 如 图，矩形 ABCD 中，AB= 3，BC=3，AEBD 于 E，则 EC=( )A 27 B 25 C 15 D 21 7如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BE AC 交 AC 于 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G，求证：AG2AFFC8如图，在平行四边形 ABCD 中，DBC45，DEBC 于 E，BFCD 于 F，DE、BF 相交于
8、H，BF、AD 的延长线相交于 G求证；(1)AB=BH；(2)AB 2=GAHE (青岛市中考题)9如图，在 RtABC 中，ACB90，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，过点 C 作 CEAD 于 E，CE 的延长线交 AB 于点 F，过点 E 作 EGBC 交 AB 于点 G，AEAD=16，AB=4 5(1)求证：CE=EF；(2)求 EG 的长(河南省中考题)10如图，直角梯形 ABCD 中，A90，ACBD，已知 kADBC，则 = 第 5 页（共 9 页）(江苏省竞赛题)11如图，在 RtABC 中，两条直角边 AB、AC 的长分别为 l 厘米、2 厘米，那么直角的角平分线的
9、长度等于 厘米12如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AC 和 BC 上，C90，DEAB，且 3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么 AB 的长为 ( “我爱 数学”初中数学夏令营试题)13如图，ABC 为等腰直角三角形，C=90，若 AD= 31AC，CE= BC，则1 与2 的大小关系是( )A12 B12 C1=2 D无法确定(天津市竞赛题)14如图，ABC 中，CDAB 交 AB 于点 D，有下列条件：A=BCD；A+BCD=ADC； ACB；BC 2=BDBA其中，一定能判断ABC 是直角三角形的共有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 (2003 年河南省竞赛题)1
10、5如图，在直角梯形 ABCD 中， AB=7，AD=2，DC=3，如果边 AD 上的点 P 使得以 P，A、D 为顶点的三角形和以 P、B、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点 P 有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个16如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD 是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DF AC 交 BC 于点 F求证：(1)四边形 CEDF 是正方形；(2)CD 2=AEBF(山东省竞赛题)17如图，在 RtABC 中，BCA=90，CDAB 于 D，已知 RtABC 的三边长都是整数，且 BD=113，求RtBCD 与 RtACD 的周长之比第 6 页（共
11、 9 页）(全国初中数学联赛题 )18如图，在 RtABC 中，C=90，A 的平分线 AD 交 BC 边于 D，求证： BDCA2(昆明市竞赛题) 19如图，已知边长为 a 的正方形 ABCD，在 AB、AD 上分别取点 P、S，连结 PS，将 RtSAP 绕正方形中心 O 旋转 180得 RtQCR，从而得四边形 PQRS试判断四边形 PQRS 能否变化成矩形?若能，设 PA= x，SA=y ，请说明 x 、y 具有什么关系时，四边形 PQRS 是矩形；若不能，请说明理由(山东省济南市中考题)20如图，在ABC 中，ACB90(1)当点 D 在斜边 AB 内时，求证： ABDBCD2；(2)当点 D 与点 A 重合时，(1)中的等式是否存在?请说明理由；(3)当点 D 在 BA 的延长线上时，(1)中的等式是否存在?请说明理由(全国初中数学竞赛题)第 7 页（共 9 页）第 8 页（共 9 页）第 9 页（共 9 页）
