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高中理科数学空间向量方法总结(家教专用).doc

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1、1平面法向量与立体几何引言:平面的法向量在课本上有定义,考试大纲中有“理解”要求,但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用,其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠,是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能,可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题,使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道 12 分的立体几何题将会变得更加轻松。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 的法向量 或 ,(,1)nxy(,)nxz或

2、 ,在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ,得 且 ,1,)nyz,ab0ab由此得到关于 的方程组,解此方程组即可得到 。,xn二、平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角:如图 4-1,设 是平面 的法向量,AB 是平面 的一条斜线, ,则 ABnA与平面 所成的角为:41,arcos.22|sin|co,|, 2|nABAB nBAn 如 图 中 :如 图 中 :例 3、 在例 2 中,求直线 与平面 所成的角。1A1CD解析:由例 2 知, , , ,即(,)n1(0,)13sinA3arcsi(2)、求面面角: 设向量 , 分别是平面 、 的法向量,则二面角 的平面角为:mnl

3、(图 5-1); (图 5-2)|arcos,n |arcos, nmnm2A BO n图 7两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图 5-1 中,的方向对平面 而言向外, 的方向对平面 而言向内;在图 5-2 中, 的方向对平面mnm而言向内, 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称 “外积” ,满足n“右手定则” )使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角。l例 4、 在例 2 中,求二面角 的大小。1DAC解:由例 2 知,平面 的法向量是 ,平面 的法向量是 ,1(,)nDAC2(0,

4、1)n设二面角 的大小为 ,则1AC,得 。21(,)0,3cosn 3arcos2、 求空间距离(1) 、异面直线之间距离:方法指导:如图 6,作直线 a、 b 的方向向量 、 ,ab求 a、 b 的法向量 ,即此异面直线 a、 b 的公垂线的方向向量;n在直线 a、 b 上各取一点 A、 B,作向量 ;求向量 在 上的射影 d,则异面直线 a、 b 间的距离为AB,其中|ndbna,(2) 、点到平面的距离:方法指导:如图 7,若点 B 为平面 外一点,点 A 为平面 内任一点,平面的法向量为 ,则n图 6n abAB 图 5-1nm图 5-2n图 4-1 BnAC AB图 4-2Cn3点

5、 P 到平面 的距离公式为: 0cosABndABABn 例 5、 在例 2 中,求点 到平面 的距离。11CD解析:由例 2 的解答知,平面 的单位法向量 ,1A03(,)n又 ,设点 到平面 的距离为 ,则1(0,)A11d。 所以,点 到平面 的距离为 。1033,(,)dn 1A1CD3(3) 、直线与平面间的距离:方法指导:如图 8,直线 与平面 之间的距离:a,其中 。 是平面 的法向量|ABndB,n(4) 、平面与平面间的距离:方法指导: 如 图 9,两 平 行 平 面 之 间 的 距 离 :,, 其 中 。 是 平 面 、 的 法 向 量 。|nABd,Bn3、 证明(1)

6、、证明线面垂直:在图 10 中, 向是平面 的法向量, 是直线maa 的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线( ) 。m(2) 、证明线面平行:在图 11 中, 向是平面 的法向量,是直线 a 的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直() 。0m(3) 、证明面面垂直:在图 12 中, 是平面 的法向量,m是平面 的法向量,证明两平面的法向量垂直( )n 0n(4) 、证明面面平行:在图 13 中, 向是平面 的法向量,图 11a图 10am图 9 A BnA aB n图 8图 12mn4是平面 的法向量,证明两平面的法向量共线( ) 。n nm三、利用法向量解 2008 年高考

7、立体几何试题例 6、 (湖南理第 17 题)如图 14 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD是边长为 1 的菱形,BCD60,E 是 CD 的中点,PA底面ABCD,PA2. ()证明:平面 PBE平面 PAB;()求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小.解:如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是 A(0,0,0) ,B(1,0,0) , P(0,0,2),3(,0),2C13(,)2D3(1,).2E()因为 平面 PAB 的一个法向量是 ,(,)E0(,)n所以 共线.从而 BE平面 PAB.0Bn和又因为 平面 PBE,故平面 PB

8、E平面 PAB.()易知 3(1,2)(0,PBE, ) ,(0,)(,)AD设 是平面 PBE 的一个法向量,则由 得:11(,)nxyz 10,nPBEA所以1120,30.xyz111,2.(2,0).yxzn故 可 取设 是平面 PAD 的一个法向量,则由 得:22(,)n 2,0PAnD所以 故可取2200,13.xyz220,3.zxy2(3,10).于是, 1212315cos, .nA图 13m n图 145故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小是 15arcos.点评:本题采用常规方法(即综合法)求这个二面角的平面角比较困难,而用向量法只要计算不出问题,一般

9、都能解决问题例 7、 (全国卷理科第 19 题)如图 14,正四棱柱 中, ,点1ABCD124AB在 上且 ()证明: 平面 ;E1CEC31E()求二面角 的大小1ADB解:以 为坐标原点,射线 为 轴的正半轴,x建立如图所示直角坐标系 yz依题设, 1(20)()(02)(4)BCEA, , , , , , , , , , , 1DE, , , , , 1(20)D, , , , ,()因为 , ,A故 , 又 ,所以 平面 1CB1DEB1ACBE()设向量 是平面 的法向量,则()xyz, ,n1, 故 , 令 ,则 , ,E1A2040xzy2z4x(42), ,等于二面角 的平面

10、角, 1C,n1DEB11cos42AC, n所以二面角 的大小为 1A4ars2点评:本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算,同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。例 9(安徽卷理第 18 题)如图 16,在四棱锥 中,底面 四边长为 1 的菱形,OABCD, , , 为 的中点, 为 的中点4ABCOABCD和2MN()证明:直线 ;()求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; MNA B CDEA1 B1C1D1yxz图 146()求点 B 到平面 OCD 的距离。解:作 于点 P,如图 16,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 轴建立坐标系APCD,xyz,222(0,)

11、(1,0)(,),(,0),(,)(0,1)(,0)4DOMN(1) 2(,1),(,),(,)4MNOP设平面 OCD 的法向量为 ,则nxyz0,nDA即 取 ,解得202yzx2z(,42)(1,1)(0,42)4MNnAA OCD和(2)设 与 所成的角为 ,B2(1,0)(1)A, 与 所成角的大小为cos,3MBDA ABMD3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,dO(0,42)n由 , 得 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为(1,02)O23n 3点评:本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,异面直线所成的角及点到平

12、面的距离等知识,考查空间想象能力和思维能力,利用综合法或向量法解决立体几何的能力。四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转x yzNMABDCOP图 167化为向量问题;(化为向量问题) (2) 、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3) 、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形问题)五、总结:以上介绍了平面的法向量及其二种求法,我们教材上只介绍了用

13、数量积(内积法)求法向量,而并没有介绍用向量积(外积法)求法向量,希望大家注意灵活应用,我们以此为工具,解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题,方法简便,易于操作,可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦,又可弥补空间想像能力的不足,发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能,平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。空间向量与立体几何一 利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦:1平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系,也是每年的必考内容,利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2题型灵活多样,难度为中档题,且常考常新。考向链接:1空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一

14、个重要内容,一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路:一是利用相应的判定定理和性质定理去解决;二是利用空间向量来论证。例 1:(2010安徽高考理科18)如图,在多面体 ABCDEF中,四边形 ABCD是正方形, EF AB, F, 2ABE, 90, , H为 的中点。(1)求证: H平面 D;(2)求证: C平面 ;(3)求二面角 的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题,考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明,亦可采用

15、向量法证明。【规范解答】8,/,.ABCDABCEFBAFBCBFHH四 边 形 为 正 方 形 , 又 且 ,平 面又 为 中 点 ,且 平 面 BGF如 图 , 以 为 坐 标 原 点 , 分 别 以 、 、 的 方 向 为x轴 、 y轴 、 z轴 的 正 方 向 建 立 坐 标 系 ,1,(2,0)(1,)(,0)(1,20)(,1)(0,).BACDEF令 则(1) (,)(0,1)/HFHFGE 设 C与 D的 交 点 为 , 连 接 GE、 ,则 ( ,-) , G又 平 面 B平 面 ,平 面 B(2) (2,)(01)0,.AACE又 且 =, 平 面 D.(3) 1111(,

16、)(1,)20.00,yzBEzyDA1设 平 面 的 法 向 量 为 nn由 即 , 得 ,( , )2222(,),(0,)1.001,1,-zCEyyzzA22设 平 面 的 法 向 量 为 nn由 即 , 得 ,( , ) 1221 1cos, ,2|60nn A即 二 面 角 B-DEC为 60。【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行;2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直;AE FBCDHGXYZ93、确定二面角的大小,可以先构造二面角的平面角,然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题,也可以采用向量法建

17、立空间直角坐标系,转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题,思路简单,易于操作,推荐使用。二:利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦:1线线角、线面角是高考命题的重点内容,几乎每年都考。2在各类题型中均可出现,特别以解答题为主,属于低、中档题。考向链接:1利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:(1)异面直线所成角设 分别为异面直线 的方向向量,则(2)线面角设 是直线 的方向向量, 是平面的法向量,则ln2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:(1)建立恰当的空间直角坐标。 (2)求出相关 点的坐标。 (3)写出向量坐标。 (4)结合公式进行论证、计算。 (5

18、)转化为几何结论。【方法技巧】 (1)空间中证明线线,线面垂直,经常用向量法。(2)求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。(3)线面角的范围是 090,因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的,要取绝对值。三:利用空间向量求二面角考情聚焦:1二面角是高考命题的重点内容,是年年必考的知识点。2常以解答题的形式出现,属中档题或高档题。考向链接:求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大10小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为:设 分别为平面 的法向量,则 与 互补或相等,

19、【高考真题探究】 1. (2010广东高考理科 0)若向量 ar=(1,1,x), br=(1,2,1), cr=(1,1,1),满足条件()2cabrr=-2,则 x= .【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】 先算出 ca、 2b,再由向量的数量积列出方程,从而求出 .x【规范解答】 (0,1)x, (,42),由 ()2cabrr得 (0,1)24)x,即 ,解得 .x【答案】23. (2010陕西高考理科8)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA平面ABCD, AP=AB=2, BC= , E, F 分别是 AD,PC 的中点.()

20、证明: PC平面 BEF;()求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。【规范解答】解法一 ()如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2, BC=2,四边形 ABCD 是矩形.A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0),D(0, ,0),P(0,0,2)又 E,F 分别是 AD,PC 的中点,E(0, 2,0),F(1, ,1). P=(2, ,-2) BF=(-1, ,1) EF=(1,0, 1) , C =-2+4-2=0, PC =2+0-2=0, , E,PCBF,PCEF,

21、B ,PC平面 BEF(II)由(I)知平面 BEF 的法向量 1(2,),n平面 BAP 的法向量112(0,2),nAD128,nA设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ,则121282cos, ,4nA 045, 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 0456. (2010四川高考理科18)已知正方体 ABCD的棱长为 1,点 M是棱 A的中点,点 O是对角线 的中点.()求证: OM为异面直线 A和 BD的公垂线;()求二面角 的大小;()求三棱锥 C的体积 .【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力

22、,考查应用向量知识解决数学问题的能力,转化与化归的数学思想.【思路点拨】方法一:几何法 问题() ,分别证明 OMA, BD即可. 问题(II)首先利用三垂线定理,作出二面角 BC的平面角, 然后通过平面角所在的直角三角形,求出平面角的一个三角函数值,便可解决问题.问题()选择便于计算的底面和高,观察图形可知, 和 都在平面 CA内,且 OBCADS,故 MOBCADOMAVV,利用三棱锥的体积公式很快求出 OMDV.方法二:建立 空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解.【规范解答】(方法一):(I)连结 .取 的中点 K,则 为 BD的中点,连结 K.点 是棱 A的中点,点 O是 BD的

23、中点,由 K,得 M. ,ABD, AKBD平 面 . AKBD. OM.12又 OM与异面直线 A和 BD都相交, 故 OM为异面直线 A和BD的公垂线,(II)取 的中点 N,连结 ,则 NBC平 面 ,过点 过点 作 HC于 ,连结 H,则由三垂线定理得, B. M为二面角 B的平面角.121,sin454N.在 RtH中. taMNH故二面角 MBC的大小为 arctn2.(III)易知, OBCADS,且 BC和 OAD都在平面 A内,点 O到平面MAD的距离 12h, 1324MOMDVVSh.(方法二):以点 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 xyz,则 1,0), (,

24、)B, (0,1)C, (,01)A, (,)C, (0,1)(I) 点 是棱 A的中点,点 是 BD的中点, (,)2M, (,)2O, (,)2M, 0,1A, 1,BD.O, 0, , ,又 M与异面直线 A和 B都相交,故 为异面直线 和 D的公垂线,(II)设平面 C的一个法向量为 1(,)nxyz, 1(0,)2BM, (1,0)BC.10,.nB即10,2.yzx13取 2z,则 ,1xy. (2,)n. 取平面 BC的一个法向量 2(0,1)n.1212cos, 39n,由图可知,二面角 M的平面角为锐角,故二面角 MBC的大小为 1arcos.(III)易知, 1244OBCDAS四 边 形 ,设平面 OBC的一个法向量为31(,)nxyz,1,BD, (1,0), 310,.nB即 110,.xyz取 1z,则 1y,从而 3,.点 M到平面 OBC的距离 312Mnd.12134OBCBVS.

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