1、课题:组合第1课时,授课:张贤华,学校:衡阳市第八中学,时间:2010年上期,数学选修2-3第一章计数原理1.2排列与组合,问题提出,1.在排列的定义中元素具有哪些性质？,元素的互异性,有序性.,2.排列数公式有哪两种形式？排列数公式是应用什么原理推导出来的？,连乘形式与阶乘形式,是应用乘法原理推导出来的.,3.利用排列原理可以求得某些计数问题的方法数,但在实际生活中还存在大量不符合排列原理的计数问题,这需要我们进一步研究求解这些计数问题的方法数的一般原理.,问题提出,组合第1课时,探究一：组合的概念,思考1：“从甲、乙、丙3名同学中选出2人分别担任班长和团支书”与“从甲、乙、丙3名同学中选出
2、2人去参加会议”的方法数相同吗？二者有什么不同之处？,前者有顺序，后者没有顺序.,思考2：“北京、天津、上海、重庆4个民航站之间的直达航线的飞机票”与“北京、天津、上海、重庆4个民航站之间的直达航线的飞机票价”的种数相同吗？二者有什么不同之处？,前者有顺序，后者没有顺序.,探究一：组合的概念,思考3：“从甲、乙、丙3名同学中选出2人去参加会议”可以概括为从3个不同的元素中取出2个合成一组,“北京、天津、上海、重庆4个民航站之间的直达航线的飞机票价”可以概括为从4个不同的元素中取出2个合成一组,这两个事例都可归结为组合问题,一般地,组合是什么概念？,从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组,
3、叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,探究一：组合的概念,思考4：在同一个组合中是否有相同的元素？两个组合相同的充要条件是什么？,两个组合的元素完全相同.,思考5：从1,2,5三个数字中任取2个相加、相减、相乘、相除,哪些是排列问题？哪些是组合问题？排列与组合有何共性和个性？,共性：都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素；,个性：排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.,探究一：组合的概念,探究二：组合数的概念,思考1：从a,b,c,d四个元素中任取2个、3个元素的组合分别有哪些？,ab ac ad bc bd cd,abc abd acd bcd,思考2：从4个不同元素中取出2
4、个元素的所有不同组合共有6个,取出3个元素的所有不同组合共有4个,这些不同组合的个数称为组合数,一般地,组合数是什么概念？,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.,思考3：用符号 表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数,那么 , 分别等于多少？,探究二：组合数的概念,(abc),(abd),探究三：组合数公式,思考1：写出从a,b,c,d四个元素中任取3个元素的所有组合,并利用这些组合写出从a,b,c,d四个元素中任取3个元素的所有排列.你能发现 与 两者之间的关系吗？为什么会有这种关系？,(acd),(bcd),abc acb
5、bac bca cab cba,abd adb bad bda dab dba,acd adc cad cda dac dca,bcd bdc cbd cdb dbc dcb,思考2：一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素作排列,可分哪两步进行？每步各有多少种不同的方法？,先从n个不同元素中取出m元素合成一组,有 种方法；再将取出的m个元素作全排列,有 种方法.,思考3：根据分步乘法计数原理可得什么结论？,探究三：组合数公式,思考4：公式(m,nN*,mn)叫做组合数公式,这个公式如何用阶乘形式表示？,探究三：组合数公式,思考5：特别地,当m1时, 等于多少？当mn时, 等于多少？,思考
6、6：当m0时, 等于多少？ 有实际意义吗？,规定：,探究三：组合数公式,理论迁移,例1 求从a,b,c,d,e五个元素中任取3个元素的组合数,并写出所有组合.,例2 求证：,理论迁移,例3 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人,问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事？,例4 平面内有10个不同的点,以其中每两个点为端点的线段共有多少条？,理论迁移,变式1：平面内有10个不同的点,以其中每两个点为端点的有向线段共有多少条？,变式2：凸10边形共有多少条对角线？,课堂小结,1.排列与组合的本质区别在于排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关,一般可理解为“排列是站队,组合是开会”.,2.组合数公式是建立在排列数公式的基础上,尽管其运算式是一个分式,但其运算结果一定是正整数,对复杂的组合数计算可利用计算器完成.,P25练习：1，2，3，4，5.,作业布置,
