1、24.2.2 直线和圆的位置关系一、课前预习 (5 分钟训练)1.已知 RtABC 的斜边 AB=6 cm,直角边 AC=3 cm.(1)以 C 为圆心，2 cm 长为半径 的圆和 AB 的位置关系是_；(2)以 C 为圆心，4 cm 长为半径的圆和 AB 的位置关系是_；(3)如果以 C 为圆心的圆和 AB 相切，则半径长为_.2.三角形的内心是三角形_的交点.3.O 的半径 r=5 cm，点 P 在直线 l 上，若 OP=5 cm，则直线 l 与O 的位置关系是( )A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交4.设O 的半径为 3，点 O 到直线 l 的距离为 d，若直线 l 与O 至少
2、有一个公共点，则 d应满足的条件是( )A.d=3 B.d3 C.d3 D.d3二、课中强化(10 分钟训练)1.如图 24221,已知AOB=30,M 为 OA 边上一点,以 M 为圆心、2 cm 为半径作M.若点 M 在 OA 边上运动,则当 OM=_ cm 时 ,M 与 OB 相切.图 242212.O 的半径为 R，直线 l 和 O 有公共点，若圆心到直线 l 的距离是 d，则 d 与 R 的大小关系是( )A.dR B.dR C.dR D.dR3.在 Rt ABC 中，C=90， AB=10，AC=6，以 C 为圆心作C 和 AB 相切，则C 的半径长为( )A.8 B.4 C.9.
3、6 D.4.84.O 内最长弦长为 m，直线 l 与O 相离，设点 O 到 l 的距离为 d，则 d 与 m 的关系是( )A.d=m B.dm C.d D.d2m25.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形6.如图 24222，PA、PB 是O 的两条切线，切点是 A、B.如果 OP=4，PA=23，那么AOB 等于( )图 24222A.90 B.100 C.110 D.1207.已知在 RtABC 中，ABC=90 ，D 是 AC 的中点，O 经过 A、D、B 三点， CB 的延长线交O 于点 E(如图
4、 24223(1).在满足上述条件的情况下，当CAB 的大小变化时，图形也随着改变(如图24223(2)，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系.图 24223观察上述图形，连结图 24223(2)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段 CE 相等；连结_.求证：_=CE.证明：8.如图 24224,延长O 的半径 OA 到 B,使 OA=AB,DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点 B 作 DE 的垂线,垂足为点 C.求证:ACB= OAC.31图 24224三、课后巩固(30 分钟训练)1.如图 2 4225，已知同心圆 O，大圆的弦 AB=CD，且 AB 是小圆的切线，
5、切点为 E.求证：CD 是小圆的切线.图 242252.如图 24226，是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 PA、PB 分别相切于点 A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心 O，若OAB=25，求APB 的度数.图 242263.已知如图 24227 所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，D=90，ADBC=AB，以AB 为直径作O， 求证：O 和 CD 相切.图 242274.如图 242 28 所示，已知 AB 为O 的直径，C、 D 是直径 AB 同侧圆周上两点，且CD=BD，过 D 作 DEAC 于点 E，求证：DE 是O 的切线.图 242285.如图 24229，已知正方形
6、ABCD 的边长为 2,点 M 是 BC 的中点,P 是线段 MC 上的一个动点,P 不运动到 M 和 C,以 AB 为直径作O ，过点 P 作O 的切线交 AD 于点 F,切点为 E.求四边形 CDFP 的周长.图 242296.如图 242210 所示，已知 AB 为半圆 O 的直径，直线 MN 切半圆于点 C，AD MN于点 D，BEMN 于点 E，BE 交半圆于点 F，AD=3 cm，BE=7 cm，(1)求O 的半径；(2)求线段 DE 的长 .图 2422107.如图 242211,已知A 与B 外切于点 P,BC 切A 于点 C,A 与B 的内公切线PD 交 AC 于点 D,交
7、BC 于点 M.(1)求证:CD=PB;(2)如果 DNBC,求证:DN 是B 的切线.图 2422118.在直角坐标系中，O 1 经过坐标原点 O，分别与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴交于点 A、B.(1)如图 242212，过点 A 作O 1 的切线与 y 轴交于点 C，点 O 到直线 AB 的距离为 , = ，求直线 AC 的解析式;51BCA3(2)若O 1 经过点 M(2，2)，设BOA 的内切圆的直径为 d，试判断 d+AB 的值是否会发生变化?如果不变，求出其值; 如果变化，求其变化的范围.图 242212参考答案一、课前预习 (5 分钟训练)1.已知 RtABC 的斜边 AB=
8、6 cm,直角边 AC=3 cm.(1)以 C 为圆心，2 cm 长为半径 的圆和 AB 的位置关系是_；(2)以 C 为圆心，4 cm 长为半径的圆和 AB 的位置关系是_；(3)如果以 C 为圆心的圆和 AB 相切，则半径长为_.思路解析：由勾股定理知此直角三角形斜边上的高是 cm，因此当圆与 AB 相切时，23半径为 cm.23答案：（1）相离 （2）相交 （3） cm22.三角形的内心是三角形_的交点.思路解析：由三角形的内心即内切圆圆心到三角形三边相等.答案：三个内角平分线3.O 的半径 r=5 cm，点 P 在直线 l 上，若 OP=5 cm，则直线 l 与O 的位置关系是( )A
9、.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交思路解析：点 P 也可能不是切点，而是直线与圆的交点.答案：D4.设O 的半径为 3，点 O 到直线 l 的距离为 d，若直线 l 与O 至少有一个公共点，则 d应满足的条件是( )A.d=3 B.d3 C.d3 D.d3思路解析：直线 l 可能和圆相交或相切 . 答案：B二、课中强化(10 分钟训练)1.如图 24221,已知AOB=30,M 为 OA 边上一点,以 M 为圆心、2 cm 为半径作M.若点 M 在 OA 边上运动,则当 OM= cm 时,M 与 OB 相切 .图 24221思路解析：根据切线的定义,可得 OM=22=4.答案：42.O
10、 的半径为 R，直线 l 和 O 有公共点，若圆心到直线 l 的距离是 d，则 d 与 R 的大小关系是( )A.dR B.dR C.dR D.dR思路解析：直线 l 与O 有公共点，则 l 与直线相切或相 交，所以 dR.答案：D3.在 Rt ABC 中，C=90， AB=10，AC=6，以 C 为圆心作C 和 AB 相切，则C 的半径长为( )A.8 B.4 C.9.6 D.4.8思路解析：作 CDAB 于 D，则 CD 为C 的半径，BC= = =8，由面积相等，得 ABCD=ACBC.2ACB2610CD= =4.8.1086答案：D4.O 内最长弦长为 m，直线 l 与O 相离，设点
11、 O 到 l 的距离为 d，则 d 与 m 的关系是( )A.d=m B.dm C.d D.d2m2思路解析：最长弦即为直径，所以O 的半径为 ，故 d .答案：C5.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形思路解析：直径边必垂直于相切边.答案：B6.如图 24222，PA、PB 是O 的两条切线，切点是 A、B.如果 OP=4，PA=23，那么AOB 等于( )图 24222A.90 B.100 C.110 D.120思路解析：PA、PB 是O 的两条切线，切点是 A、B,PAOA，PBOB.APO=BPO.
12、OP4，PA=2 ，OA=2.APO=BPO=30，即APB=60. AOB=120.3答案：D7.已知在 RtABC 中，ABC=90 ，D 是 AC 的中点，O 经过 A、D、B 三点， CB 的延长线交O 于点 E(如图 24223(1).在满足上述条件的情况下，当CAB 的大小变化时，图形也随着改变(如图24223(2)，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系.图 24223观察上述图形，连结图 24223(2)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段 CE 相等；连结_.求证：_=CE.证明：思路分析：由切线的性质定理和三角形中位线定理和线段垂直平分线性质定理来解决.
13、答案：AE AE证法一：如图，连结 OD,ABC90，CB 的延长线交 O 于点 E,ABE90.AE 是O 的直径.D 是 AC 的中点，O 是 AE 的中点,OD= CE.21OD= AE,AECE.证法二：如图，连结 BD,在 RtABC 中，ABC90,D 是 AC 的中点,ADCDBD.12.四边形 AEBD 内接于O,1DAE.2DAE.AE CE.证法三：如图，连结 DE,同证法一，得 AE 是O 的直径,ADE 90.D 是 AC 的中点,DE 是线段 AC 的垂直平分线 .AE CE.8.如图 24224,延长O 的半径 OA 到 B,使 OA=AB,DE 是圆的一条切线,E
14、 是切点,过点 B 作 DE 的垂线,垂足为点 C.求证:ACB= OAC.31图 24224证明:连结 OE、AE,并过点 A 作 AFDE 于点 F,DE 是圆的一条切线,E 是切点 ,OE DC.又BCDE, OEAFBC.1=ACB,2=3.OA=OE,4= 3.4=2.又点 A 是 OB 的中点,点 F 是 EC 的中点.AE=AC.1= 2.4=2=1,即ACB= OAC.31三、课后巩固(30 分钟训练)1.如图 2 4225，已知同心圆 O，大圆的弦 AB=CD，且 AB 是小圆的切线，切点为 E.求证：CD 是小圆的切线.图 24225思路分析：证切线的两种方法是：作半径，证
15、垂直；作垂直，证半径.本题属于，前一个例题属于.证明：连结 OE，作 OFCD 于 F.AB 切小圆于 E，OEAB.OFCD ，AB=CD ，OE=OF.CD 是小圆 O 的切线.2.如图 24226，是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 PA、PB 分别相切于点 A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心 O，若OAB=25，求APB 的度数.图 24226思路分析：由切线的性质定理和等腰三角形“三线合一”定理解决.解法一：PA、PB 切O 于 A、B，PA=PB.OAPA.OAB=25,PAB=65.APB=180652=50.解法二：连结 OB，如图(1).PA、PB 切O 于 A、B，
16、OAPA，OBAB.OAP+ OBP=180.APB+AOB=180.OA=OB， OAB=OBA=25.AOB=130.APB=50.解法三：连结 OP 交 AB 于 C，如图(2).PA、PB 切O 于 A、B，OAPA，OPAB.OP 平分APB，APC=OAB=25.APB=50.3.已知如图 24227 所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，D=90，ADBC=AB，以AB 为直径作O， 求证：O 和 CD 相切.图 24227思路分析：要证O 与 CD 相切，只需证明圆心 O 到 CD 的距离等于半径 OA(或 OB或 AB)即可，即在不知道圆与直线是否有公共点的情况下通常过圆心作
17、直线的垂线21段，然后证垂线段的长等于半径(“作垂直，证半径”)，这是证直线与圆相切的方法之一.证明：过 O 作 OECD 于点 E.OECD，OEC=90.D=90，OEC=D. ADOE.ADBC， ADBC OE.来源:Zxxk.ComOA=OB,CE=DE.OE= (AD+BC).21ADBC=AB，OE= AB.O 与 CD 相切.4.如图 242 28 所示，已知 AB 为O 的直径，C、 D 是直径 AB 同侧圆周上两点，且CD=BD，过 D 作 DEAC 于点 E，求证：DE 是O 的切线.图 24228思路分析：要证 DE 是O 的切线，根据切线的判定定理，连结 OD，只须证
18、明ODDE 即可，即 “作半径，证垂直”这是证明圆的切线的另一方法.证明：连结 OD、AD.弧 CD=弧 BD，1=2.OA=OD，2=3.1=3.AEOD.AEDE ，ODDE.DE 是O 的切线.5.如图 24229，已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 是 BC 的中点,P 是线段 MC 上的一个动点,P 不运动到 M 和 C,以 AB 为直径作O ，过点 P 作O 的切线交 AD 于点 F,切点为 E.求四边形 CDFP 的周长.图 24229思路分析：从圆外一点引圆的两条切线，可证切线长相等，则可将四边形 CDFP 的周长转化为正方形边长的 3 倍.解：四边形 ABCD 是正方
19、形,A=B=90.AF、BP 都是O 的切线.又PF 是O 的切线,FE=FA,PE=PB.四边形 CDFP 的周长为AD+DC+CB=23=6.6.如图 242210 所示，已知 AB 为半圆 O 的直径，直线 MN 切半圆于点 C，AD MN于点 D，BEMN 于点 E，BE 交半圆于点 F，AD=3 cm，BE=7 cm，(1)求O 的半径；(2)求线段 DE 的长 .图 242210思路分析：(1)连结 OC，证 OC 为梯形中位线.在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.(2)连结 AF，证四边形 ADEF 为矩形，从而得到 AD=EF，DE=AF，然后在 RtABF 中运
20、用勾股定理,求 AF 的长.解：(1)连结 OC.MN 切半圆于点 C，OCMN.ADMN，BEMN，ADOCBE.OA=OB，OC 为梯形 ADEB 的中位线.OC= (ADBE)=5 cm.21所以O 的半径为 5 cm.(2)连结 AF.AB 为半圆 O 的直径，AFB=90. AFE=90.又ADE=DEF=90，四边形 ADEF 为矩形. DE=AF，AD=EF=3 cm.在 Rt ABF 中，BF=BEEF=4 cm，AB=2OC=10 cm.由勾股定理，得 AF= = =2 (cm),2BFA24101DE=2 cm.217.如图 242211,已知A 与B 外切于点 P,BC
21、切A 于点 C,A 与B 的内公切线PD 交 AC 于点 D,交 BC 于点 M.(1)求证:CD=PB;(2)如果 DNBC,求证:DN 是B 的切线.图 242211思路分析：证线段相等,一般先证两三角形全等.证圆的切线可以先作垂直,后证半径长即可.证明：(1)BC 切A 于点 C,DP 切A 于点 P,DCM=BPM=90,MC=MP.DMC=BMP,DCMBPM.CD=PB.(2)过点 B 作 BHDN,垂足为点 H.HDBC,BCCD,HDCD.BCD=CDH= BHD=90.四边形 BCDH 是矩形.BH=CD.CD=PB,BH=PB.DN 是B 的切线.8.在直角坐标系中，O 1
22、 经过坐标原点 O，分别与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴交于点 A、B.(1)如图 242212，过点 A 作O 1 的切线与 y 轴交于点 C，点 O 到直线 AB 的距离为 , = ，求直线 AC 的解析式;512BCA3(2)若O 1 经过点 M(2，2)，设BOA 的内切圆的直径为 d，试判断 d+AB 的值是否会发生变化?如果不变，求出其值; 如果变化，求其变化的范围.图 242212思路分析：由切线的性质和勾股定理可求出 A、C 两点的坐标，这样直线 AC 的解析式可求.解：(1)如图，过 O 作 OGAB 于 G，则 OG= ,512设 OA=3k(k0),AOB=90, = ,
23、BCA53AB=5k,OB=4k.OAOB=ABOG=2S AOB ,3k4k=5 .512k=1.OA=3,OB=4,AB=5.A (3,0).AOB=90,AB 是O 1 的直径.AC 切O 1 于 A，BAAC.BAC=90.在 Rt ABC 中, = ,BCA54BC= .425OC=BCOB= .9C(0, ).设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，则k= ,b= .49,03bk349直线 AC 的解析式为 y= x .(2)结论：d+AB 的值不会发生变化,设AOB 的内切圆分别切 OA、OB、AB 于点 P、Q、T，如图所示.BQ=BT,AP=AT,OQ=OP= .2dBQ=BT=OB ,AP=AT=OA .AB=BT+AT=OB +OA =OA+OBd.则 d+AB=d +OA+OBd=OA+OB.在 x 轴上取一点 N，使 AN=OB，连结 OM、BM、AM、 MN.M(2,2),OM 平分AOB.OM=2 .2BOM=MON=45.AM=BM.又MAN= OBM,OB=AN,BOMANM.BOM=ANM=45,ANM=MON.OA+OB=OA+AN=ON= = OM= 2 =4.2MNO2d+AB 的值不会发生变化，其值为 4.
