1、第一章 数 列本章概述课程目标1.双基目标（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） ，了解数列是一种特殊的函数；（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；（4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.情感目标（1）通过本
2、章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力.（2） “兴趣是最好的老师” ，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索.（3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础.重点难点重点：等差数列与等比数列的通项公式.前 n 项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.方法探究1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2
3、.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程 .3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前 n 项和公式及其性质，体会它们的广泛应用.4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法.本章注
4、意问题：（1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理.（2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这
5、样的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果.（3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.1 数 列第 1 课时 数列的概念知能目标解读1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项.3.了解数列的分类.4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.重点难点点拨重点：了解数列的概念和简单表
6、示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、了解.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列.因此用记号 an表示数列时，不能把 an看成一个集合，这是因为：数列 an中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；数列 an中的数是可以重复的，即数列 an中可以有相等的项，如 1,1,2,2,，但集合中的元素是互异的；数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.(2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如 an.其中的右下角标 n 表示项的位置序
7、号.(3)an与 an是不同的概念， an表示数列 a1,a2,a3,an,，而 an仅表示数列的第 n 项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数 an，由于数列 an的每一项的序号 n 与这一项 an的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即 f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值 f(n)对应的自变量的值，即 n 的集合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的.4.通项公式(1)由于数列
8、可看做是定义域为正整数集 N+(或它的有限子集)的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数 n 是相应的自变量.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1,2,3去替代公式中的 n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如 的近似值，精确到 1,0.1,0.01,0.001,0.0001,所构成的数列21,1.4,1.41,1.414,1.4142，就没有通项公式.注意：(1
9、)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如 an=(-1) n，可以写成 an=(-1) n+2，还-1 ( n 为奇数)可以写成 an= ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.1 ( n 为偶数),(2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.如数列 2,4,8,根据有限项可以写成 an=2n，也可以写成 an=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可.5.数列的递推公式(1)递推公式：如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项 an与它的前一项 an-1 (或前几项)间
10、的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)关于递推公式及应用需注意的几个问题：通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映 an和 n 之间的关系，即 an是 n 的函数，知道任意一个具体的 n 值，通过通项公式就可以求出该项的值 an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出 an.如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出“基础”数列 an的第 1 项或前几项；递推关系数列 an的任一项 an与它的前一项 an-1 (或前几项)之间的关系，并且这个关系
11、可以用一个公式来表示.注意：(1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息.(3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项.例如：设数列 an满足：a1=1，写出这个数的前 5 项.an=1+ (n1)1由题意可知a1=1,a2=1+ =1+1=2,a3=1+ =1+ = ， a4=1+ =1+ = ， a5=1+ =1+ = .121331241358此数列前 5 项分别为：1，2， ， ， .58本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但
12、要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项.知能自主梳理1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列.（2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 .（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,an,简记为： .数列的第 1 项 a1也称 ， an是数列的第 n 项，叫数列的 .2.数列的分类项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 .3.数列的通项公式如果数列 an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n)，那么式子叫作数列 an的 .4.数列的表示方
13、法数列的表示方法一般有三种： 、 、 .答案 1.(1)次序 (2)项 (3) an 首项 通项2.有穷数列 无穷数列3.通项公式4.列表法 图像法 解析法思路方法技巧命题方向 数列的概念例 1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4;(4)1,-1,1,-1,1,-1;(5)6,6,6,6,6.分析 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决.解析 （1）是集合，不是数列；（2） 、 （3） 、 （4） 、 （5）是数列.其中（3） 、 （4）是无穷数列，
14、（2） 、 （5）是有穷数列.变式应用 1 下列说法正确的是( ) A.数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列B.数列 1,2,3 与数列 1,2,3,是同一数列C. 1,4,2, ， 不是数列35D.数列2 n-3与-1,1,3,5,不一定是同一数列答案 D解析由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故 A、B 均不正确，C 中显然是数列，D 中数列2n-3是确定数列，通项公式为 an=2n-3，但-1,1,3,5，前 4 项符合 an=2n-3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列.命题方向 数列
15、的通项公式例 2 写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,;(2) ， ， ， ，；3154638(3) ,2, ，8， ，;292(4) ， ， ， ，.1232542742分析 通过观察，找出所给出的项与项数 n 关系的规律，再写通项公式.解析 (1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n，故原数列的一个通项公式为 an=2n+1.(2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列2 n，分母各项分解因式：13,35，57，79,为相邻奇数的乘积，即(2 n-1)(2n+1)，故原数列的一个通项公式为 an= .)12(3)由于在所给数列的
16、项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列 , ， ， ， ，中，分母为 2，分子为 n2，故 an= .21492652(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，其通项公式为 2n-1；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为( n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n，综合得原数列的一个通项公式为 an= = .1)(212n说明 在根据数列的前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索
17、各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31，;（2）1， ， ， ，；41（3）0.9，0.99，0.999， 0. ，. 9个项 有第 n解析 （1）注意观察各项发现各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为2n,故原数列通项公式为 an=2n-1,nN +;（2）调整为 ， ， ， ，它的前几项都是自然数的倒数， an= ；21341（3）0.9=10.1，0.99=10.01，0.999=10.001，第 n 项 an=0. =10. 1
18、=1 . 9个 0n个 n1命题方向 数列通项公式的简单应用例 3 在数列 an中通项公式是 an（-1） n-1 ,写出该数列的前 5)1(2项，并判断 是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.1708分析 由通项公式写出数列的前 5 项，令 an= ,判断是否有正整数解即可.1708解析 a1=(-1) 0 ， a2=(-1) 1 ， a3=(-1) 2 .232944509a4=(-1) 3 ， a5=(-1) 4 .7236695该数列前 5 项分别为： ， ， ，- , .120314令(-1) n-1 = 得)(278n1 且为奇数8n2-81n+81=0. n
19、=9.所以 是该数列中的第 9 项.170说明 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是.变式应用 3 以下四个数中，哪个是数列 n（ n1）中的项（ ）A. 380 B. 39 C. 32 D.23分析 数列 an的通项公式 f(n)=n(n+1)，对于某个数 m，若 m 是数列 an中的项，则 n（ n+1）= m 必有正整数解.若无正整数解，则 m 肯定不是 an中的项.答案 A解析 依次令 n(n+1)=23 或 32 或 39 检验知无整数解.只有 n（ n+1）=
20、380 有整数解n=19.探索延拓创新命题方向 数列的递推公式例 4 在数列 an中， a1=2,a2=1,且 an+2=3an+1-an,求 a6+a4-3a5.分析 由 a1=2， a2=1 及递推公式 an+2=3an+1-an,依次找出 a3,a4,a5,a6即可.解析 解法一： a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an, a3=3a2-a1=31-2=1,a4=3a3-a2=31-1=2,a5=3a4-a3=32-1=5,a6=3a5-a4=35-2=13, a6+a4-3a5=13+2-35=0.解法二： an+2=3an+1-an,令 n=4,则有 a6=3a5-a4, a
21、6+a4-3a5=0.说明 递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心.变式应用 4 已知数列 an的首项 a1=1,an=2an-1+1(n2)，那么 a5= .答案 31解析 由递推关系式 an=2an-1+1 和 a1=1 可得a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.名师辨误做答例 5 已知数列 an的前 4 项为 1,0,1,0，则下列各式可以作为数列 an的通项公式的有（ ） an= 1+(-1) n+1; an=sin2 ，( nN +); an= 1+(-1) n+1
22、+( n-1)(n-2);21 21 an= ;cos1 ( n 为偶数) an=0 ( n 为奇数)A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个误解 D辨析 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误.正解 B 将 n=1,2,3,4 分别代入验证可知均正确.均可以作为数列的通项公式，而不是数列的通项公式，答案选 B.课堂巩固训练一、选择题1.数列 ， ，2 ， ，则 2 是该数列的（ ）515A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 10 项 D.第 11 项答案 B解析 数列 ， ，2 ， ，的一个通项公式为 an= (nN ),令132 ,得 n=7.故选 B.5132.数列
23、0， ， ， ， ，的通项公式为（ ）253A.an= B. an= C. an= D. an=112答案 C解析 解法一：验证当 n=1 时， a1=0,排除 A、D；当 n=2 时， a2= ,排除 B，故选 C.31解法二：数列 0， ， ， ， ，即数列 ， ， ， ， ，31253203456该数列的一个通项公式为 an= ,故选 C.13.数列 1，3，6，10， x，21，中， x 的值是（ ）A.12 B.13 C.15 D.16答案 C解析 3-1=2,6-3=3,10-6=4,x-10=5 , x=15.21-x=6二、填空题4.已知数列 an的通项公式为 an=2n+1,
24、则 ak+1= .答案 2 k+3解析 an=2n+1, ak+1=2(k+1)+1=2k+3.5.已知数列 an的通项公式 an= (nN +),则 是这个数列的第 项.)21120答案 10解析 令 an= ,即 = ,120)(10解得 n=10 或 n=-12（舍去）.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式.(1)-1,1,-1,1;(2)-3,12,-27,48;(3) ， , ， ;532173(4) ， ， ， .468解析 (1)各项绝对值为 1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为 an=(-1) n;(2)各项绝对值可以写成 312,322,332
25、,342,，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为 an= (-1) n3n2;(3)因为 = , = ，各项分母依次为 5,8,11,14，为序号 3n+2；分子依次为 3,4,5,6218476为序号 n+2，故通项公式为 an= ;2(4)因为分母 3,15,35,63 可看作 22-1,42-1, 62-1，8 2-1，故通项公式为 an= =1)2(.142n课后强化作业一、选择题1.已知数列 , , , , ,则 0.96 是该数列的（ ）23451nA.第 22 项 B.第 24 项 C.第 26 项 D.第 28 项答案 B解析 因为数列的通项公式为 an= , 由 =0.
26、96 得 n=24，故选 B.1n2.已知 an=n2+n,那么（ ） A.0 是数列中的项 B.20 是数列中的项C.3 是数列中的项 D.930 不是数列中的项答案 B解析 an=n(n+1),且 nN +, an的值为正偶数，故排除 A、C；令 n2+n=20,即 n2+n-20=0,解得 n=4 或 n=-5(舍去). a4=20,故 B 正确；令 n2+n=930,即（ n+31）( n-30)=0. n=30 或 n=-31(舍去) a30=930,故 D 错.3.下面四个结论：数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集1，2，3， n）上的函数.数列若用图像表示，从图像上看
27、都是一群孤立的点.数列的项数是无限的.数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是（ ）A. B. C. D.答案 A解析 数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表示式可以不唯一.例如数列 1，0，-1，0，1，0，-1，0的通项可以是 an=sin ，也可以是 an=cos2等等.2)3(n4.数列 2，0，4，0，6，0，的一个通项公式是（ ）A.an= 1+(-1) n B. an= 1+(-1) n+121C.an= 1+(-1) n+1 D. an= 1+(-1) n答案 B解析 经验证可知 B 符合要求.3n+1(n 为奇数)5.已知数列 an的通项公式是 an= ,则 a2a
28、3等于（ ） 2n-2(n 为偶数)A.70 B.28 C.20 D.8答案 C解析 由通项公式可得 a2=2,a3=10, a2a3=20.6.(2012天津武清区)已知数列 an的通项公式为 an=n2-14n+45，则下列叙述正确的是（ ） A.20 不是这个数列中的项 B.只有第 5 项是 20C.只有第 9 项是 20 D.这个数列第 5 项、第 9 项都是 20答案 D解析 令 an=20,得 n2-14n+45=0,解得 n=5 或 n=9,故选 D.7.已知数列 , , ， , ,则 5 是它的第（ ）51739A.18 项 B.19 项 C.20 项 D.21 项答案 D解析
29、 观察可得 an的通项公式: an= ,(nN +),5 = = ,所以165126nn=21.8.已知数列 an对任意的 p、 qN +满足 ap+q=ap+aq，且 a2=-6，那么 a10等于（ ）A.-165 B.-33 C.-30 D.-21答案 C解析 对任意 p、 qN +都有 ap+q=ap+aq. a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.二、填空题9.已知数列 ,3, , ,3 , ,则 9 是这个数列的第 3153)12(3n项.答案 14解析 数列可写为 , ， ， ， ， ,57)12(3n所以 an= , 令 =9. n=14.)12(3)12(310.
30、已知数列 an中， an+1= 对任意正自然数 n 都成立，且 a7= ，则 a5= .2答案 1解析 由已知 a7= = , a6= .2613又 a6= = , a5=1.25311.已知数列 an的通项公式是 an= ,则它的前 4 项为 .12答案 ， ， ， .237415解析 取 n=1,2,3,4,即可计算出结果.当 n=1 时， a1= = ,当 n=2 时， a2= = ,37当 n=3 时， a3= = ,194当 n=4 时， a4= = .65212.下列有四种说法，其中正确的说法是 .数列 a,a,a,是无穷数列；数列 0,-1,-2,-3,的各项不可能为正数；数列
31、f(n)可 以看作是一个定义域为正整数 N+或它的有限子集 1， 2， ， n的函数值；已知数列 an ，则数列 an+1-an也是一个数列.答案 解析 题中显然正确，对于，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不正确，对于，数列可以看作是一个定义域为正整数 N+或它的有限子集1，2, n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以不正确.三、解答题13.根据数列的通项公式，写出它的前 4 项：（1） an= ;2（2） an= .)(解析 (1)在通项公式中依次取 n=1,2,3,4,便可得数列 an的前 4 项为:a1= ,a2= = ,a3= ,a4= = .34562(
32、2)在通项公式中依次取 n=1,2,3,4,便可得数列 an的前 4 项为： a1=-1,a2= ,a3=-,a4= .14.数列 an的通项公式是 an=n2-7n+6.（1）这个数列的第 4 项是多少？（2）150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项开始以后各项都是正数？解析 （1）当 n=4 时， a4=42-47+66.（2）令 an=150,即 n2-7n+6=150,解得 n=16(n=-9 舍)，即 150 是这个数列的第 16 项.(3)令 an=n2-7n+60，解得 n6 或 n1(舍)，从第 7 项起以后各项都是正数.15.已知数列 a
33、n中， a1=2,a17=66,通项公式是项数 n 的一次函数.（1）求数列 an的通项公式；（2）88 是否是数列 an中的项？解析 （1）设 an=an+b, a1=a+b=2, a17=17a+b=66, -得 16a=64, a=4,b=-2, an=4n-2(nN +).(2)令 4n-2=88，4 n=90,n= N+(舍去)，24588 不是数列 an中的项.16.（1）在数列 1, ,3, , ,中，3 是数列的第几项？175（2）已知无穷数列：12,23,34, n(n+1),判断 420 与 421 是否为该数列的项？若是，应为第几项？解析 (1) a1=1= ,a2= = , a3= ,a4= ,541231由此归纳得 an= = .)(4n令 an= =3 , n=12.3故 3 是此数列的第 12 项.5(2)由 an=n(n+1)=420,解得 n=20 或 n=-21（舍去） ，故 420 是此数列的第 20 项.由 an=n(n+1)=421,得 n2+n-421=0，此方程无正整数解，故 421 不是该数列中的项.说明 数列 an的通项公式为 an=f(n)，对于一个数 m,若 m 是此数列中的项，则方程f(n)=m 必有正整数解；反之，若 f(n)=m 无正整数解，则 m 肯定不是此数列中的项.
