1、24.1.4 圆周角一、课前预习 (5 分钟训练)1.在O 中，同弦所对的圆周角 ( )A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.都不对2.如图 24-1-4-1，在O 中，弦 AD=弦 DC，则图中相等的圆周角的对数有( )A.5 对 B.6 对 C.7 对 D.8 对图 24-1-4-1 图 24-1-4-23.下列说法正确的是( )A.顶点在圆上的角是圆周角 B.两边都和圆相交的角是圆周角C.圆心角是圆周角的 2 倍 D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4.如图 24-1-4-2,已知 A、B、 C、D 、E 均在O 上,且 AC 为O 的直径,则A+ B+C=_ 度.二、课中强化(1
2、0 分钟训练)1.如图 24-1-4-3，把一个量角器放在 BAC 的上面，请你根据量角器的读数判断 BAC 的度数是( )A.30 B.60 C.15 D.20图 24-1-4-3 图 24-1-4-4 图 24-1-4-52.如图 24-1-4-4，A、B、C 是 O 上的三点,ACB=30, 则AOB 等于( )A.75 B.60 C.45 D.303.如图 24-1-4-5，OB、OC 是O 的半径，A 是O 上一点，若已知B=20，C=30，则A=_.4.在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 分别是 3 和 2，则BAC 的度数是_ _.5.如图 24-1-4-6 所示，设 P、Q
3、 为线段 BC 上两定点，且 BP=CQ，A 为 BC 外一动点，当点 A 运动到使BAP=CAQ 时，ABC 是什么三角形？试证明你的结论.图 24-1-4-6三、课后巩固(30 分钟训练)1.如图 24-1-4-7，已知O 中，AB 为直径，AB=10 cm，弦 AC=6 cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC、AD 和 BD 的长.图 24-1-4-72.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图 24-1-4-8 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )图 24-1-4-83.已知 A、C、B 是O 上三点，若AOC=40，则ABC 的度数是( )A.10 B.2
4、0 C.40 D.804.如图 24-1-4-10(1)，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的 O 交 AB、AC 于D、E.(1) 求证： DOE 是等边三角形.(2)如图 24-1-4-10(2)，若A=60 ，ABAC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.图 24-1-4-105.四边形 ABCD 中，AB DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图 24-1-4-11，求 BD 的长.图 24-1-4-116.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻，当甲带球冲到 A 点时，乙已跟随冲到 B 点，如图 24-1-4-12.此
5、时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？图 24-1-4-127.如图 24-1-4-13 所示，在小岛周围的 APB 内有暗礁，在 A、B 两点建两座航标灯塔，且APB=，船要在两航标灯北 侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？图 24-1-4-138.在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图 24-1-4-14(1)所示：图 24-1-4-14AOC 是ABO 的外角,AOC=ABO+BAO.又OA=OB, OAB=OBA.AOC=2ABO,即ABC= AOC.21如果ABC 的两边都不经过圆心，如图 24-1-4-14(2)(3)
6、,那么结论会怎样 ?请你说明理由.9、如图 24-1-4-15 所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，ODBC，交 AC 于 D，BC=4 cm.(1)求证：AC OD；(2)求 OD 的长；(3)若A=30，求O 的直径 .图 24-1-4-1510.如图 24-1-4-16 所示，AB 是O 的直径，C、D、E 都是O 上的点，则12=_.图 24-1-4-16 图 24-1-4-1711、如图 24-1-4-17 所示，AB 为O 的直径，P、Q、R、 S 为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A.APB 为锐角 B.AQB 为直角C.ARB 为钝角 D.ASBARB参考答案一、课
7、前预习 (5 分钟训练)1.在O 中，同弦所对的圆周角 ( )A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.都不对思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.答案：C2.如图 24-1-4-1，在O 中，弦 AD=弦 DC，则图中相等的圆周角的对数有( )图 24-1-4-1A.5 对 B.6 对 C.7 对 D.8 对思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.先找同弧所对的圆 周角：弧 AD 所对的1=3；弧 DC 所对的2= 4；弧 BC 所对的5=6；弧 AB 所对的7=8.找等弧所对的圆周角
8、，因为弧 AC=弧 DC，所以1=4，1=2，4= 3，2=3.由上可知，相等的圆周角有 8 对.答案：D3.下列说法正确的是( )A.顶点在圆上的角是圆周角 B.两边都和圆相交的角是圆周角C.圆心角是圆周角的 2 倍 D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半思路解析：本题考查圆周角的定义.答案：D4.如图 24-1-4-2,已知 A、B、 C、D 、E 均在O 上,且 AC 为O 的直径,则A+B+C=度.图 24-1-4-2思路解析：根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.答案：90二、课中强化(10 分钟训练)1.如图 24-1-4-3，把一个量角器放在 BAC 的上面，请你根据量角
9、器的读数判断 BAC 的度数是( )A.30 B.60 C.15 D.20图 24-1-4-3 图 24-1-4-4 图 24-1-4-5思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答.答案：C2.如图 24-1-4-4，A、B、C 是 O 上的三点,ACB=30, 则AOB 等于( )A.75 B.60 C.45 D.30思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.答案：B3.如图 24-1-4-5，OB、OC 是O 的半径，A 是O 上一点，若已知B=20，C=30，则A=_.思路解析：连结 AO，则 AO=OB，OA=OC ，所以A= B+ C=20+30=50.答案：504.在半径为 1 的O 中
10、，弦 AB、AC 分别是 3 和 2，则BAC 的度数是_ _.思路解析：如图(1)和图(2) ，分两种情况，作直径 AD，连结 BD，易知BAD=30，CAO=45，BAC=15或 75.(1) (2)答案：15或 755.如图 24-1-4-6 所示，设 P、Q 为线段 BC 上两定点，且 BP=CQ，A 为 BC 外一动点，当点 A 运动到使BAP=CAQ 时，ABC 是什么三角形？试证明你的结论.图 24-1-4-6思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.解：当BAP=CAQ 时， ABC 是等腰三角形.证明：如图，作出ABC 的外接圆，延长 AP、AQ 交该圆于 D、E，连结
11、DB、CE ，由BAP=CAQ，得弧 BD=弧 CE.从而弧 BDE=弧 CED，所以 BD=CE，CBD=BCE.又 BP=CQ，则BPD CQE ，这时D= E，由此弧 AB=弧 AC，故 AB=AC,即ABC 是等腰三角形.三、课后巩固(30 分钟训练)1.如图 24-1-4-7，已知O 中，AB 为直径，AB=10 cm，弦 AC=6 cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC、AD 和 BD 的长.图 24-1-4-7思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.解：AB 是直径，ACB=ADB=90.在 Rt ACB 中，BC=
12、 = =8.2ACB2610CD 平分ACB ，弧 AD=弧 BD.AD=BD.在 Rt ADB 中，AD=BD= AB=5 (cm).22.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图 24-1-4-8 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )图 24-1-4-9思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有 B 符合定 理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.A 和 C 中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D 中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选 B.答案:B3.如图
13、24-1-4-9，A、C、B 是 O 上三点，若AOC=40，则ABC 的度数是( )A.10 B.20 C.40 D.80思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.答案：B4.如图 24-1-4-10(1)，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的 O 交 AB、AC 于D、E.(1) 求证： DOE 是等边三角形.(2)如图 24-1-4-10(2)，若A=60 ，ABAC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.图 24-1-4-10思路分析：ABC 是等边三角形，所以B、C 均为 60，利用 60的圆周角定理，可知DOB、EOC
14、 均为等边三角形.第二种情形类似.（1）证明：ABC 为等边三角形，B=C=60.OB=OC=OE=OD，OBD 和OEC 都为等边三角形.BOD=EOC=60.DOE=60.DOE 为等边三角形 .（2）解:当A=60 ，ABAC 时， （1）中的结论仍然成立.证明：连结 CD.BC 为O 的直径，BDC=90.ADC=90.A=60，ACD=30. DOE=2 ACD=60.OD=OE，DOE 为等边三角形.5.四边形 ABCD 中，AB DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图 24-1-4-11，求 BD 的长.图 24-1-4-11思路分析：由 AB=AC=AD=a 可以 得到点
15、B、C 、D 在以 A 为圆心，以 a 为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.解：AB=AC=AD=a，点 B、C 、D 到 A 点距离相等.故以 A 为圆心，以 a 为半径作A，并延长 BA 交A 于 E，连结 DE.ABCD ，弧 BC=弧 DE.BC=DE=b.BE 为A 的直径，EDB=90.在 Rt EDB 中， BD= = ，BD 的长为 .2DB24ba24ba6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻，当甲带球冲到 A 点时，乙已跟随冲到 B 点，如图 24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速
16、将球传给乙，让乙射门好？图 24-1-4-12思路分析：在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门 MN 的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.解：考虑过 M、N 及 A、B 中任一点作圆，这里不妨过 M、N、B 作圆，则 A 点在圆外，设 MA 交O 于 C，则MANMCN，而MCN=MBN，所以MANMBN. 因此在 B 点射门为好.7.如图 24-1-4-13 所示，在小岛周围的 APB 内有暗礁，在 A、B 两点建两座航标灯塔，且APB=，船要在两航标灯北 侧绕过暗礁
17、区，应怎样航行？为什么？图 24-1-4-13思路分析：根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔 A、B 的视角小于 ，即可安全绕过暗礁区.解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔 A、B 的视角小于 ，即可安全绕过暗礁区.（1）在弧 APB 外任取一点 C，连结 CA、CB，设 CA 交弧 APB 于 F，连结 FB.AFB=，AFBC，C.（2）在弧 APB 的弓形内任取一点 D，连 结 AD 并延长交弧 APB 于 E，连结DB、EB.E=，ABD E，ADB .由（1） （2）知，在航标灯 A、B 所在直线北侧，在圆弧弧 APB 外任一点对 A、B 的视角都小
18、于 ;在圆弧弧 APB 上任一点对 A、B 的视角都等于 ;在圆弧弧 APB 内任一点对A、B 的视角都大于 .为此只有当对两灯塔的视角小于 的点才是安全点.8.在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图 24-1-4-14(1)所示：图 24-1-4-14AOC 是ABO 的外角,AOC=ABO+BAO.又OA=OB, OAB=OBA.AOC=2ABO,即ABC= AOC.21如果ABC 的两边都不经过圆心，如图 24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样 ?请你说明理由.思路分析：本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:
19、（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况） ；（2 ）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.解：如果ABC 的两边都不经过圆心,结论ABC= AOC 仍然成立.21(1)对图(2)的情况,连结 BO 并延长交圆 O于点 D,由题图(1)知:ABD= AOD,CBD= COD.21ABD+CBD= AOD+ COD,21即ABC= AOC.(2)对图(3)的情况仿图(2) 的情况可证.9、如图 24-1-4-15 所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，ODBC，交 AC 于 D，BC=4 cm.(1)求证：AC OD；(2)求 OD 的长；(3)若A=30，求O 的直径 .图 24-1
20、-4-15思路分析：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.（1）证明:AB 是O 的直径，C=90.ODBC， ADO=C=90. ACOD.（2）解:ODBC，又O 是 AB 的中点，OD 是ABC 的中位线.OD= BC= 4=2（cm ）.12（3）解:A=30 ，在 RtABC 中，A=30，BC= AB.AB=2BC=8（ cm）,即O 的直径是 8 cm.10.如图 24-1-4-16 所示，AB 是O 的直径，C、D、E 都是O 上的点，则12=_.思路解析：1 所对的弧是弧 AE，2 所对的弧是弧 BE，而弧 AE弧 BE=弧 AB 是半圆，因此连结 AD，ADB 的度数是 90，所以ADB=12.本题也可以连结EO，得到圆心角EOA 和 EOB,而EOAEOB=180，所以12=90，这是圆周角定理的直接应用.答案：90图 24-1-4-16 图 24-1-4-1711、如图 24-1-4-17 所示，AB 为O 的直径，P、Q、R、 S 为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A.APB 为锐角 B.AQB 为直角C.ARB 为钝角 D.ASBARB思路解析：AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以APB、 AQB、ARB、ASB 都是直角.由于 四个角都是直角，所以ASB=ARB=90.答案：B
