1、1,量 子 力 学 (Quantum Mechanics),主讲人：侯邦品,2,参考资料,量子力学教程，周世勋编著，1979 年2 月第一版，高等教育出版社。 量子力学教程，曾谨言编著，2003 年2 月第一版，科学出版社出版发行的普通高等教育“十五”规划教材 量子力学卷一，曾谨言著，2000 年1 月第三版，科学出版社 量子力学，苏汝铿编著，2002 年 12 月第二版，高等教育出版社发行的面向21世纪课程教材。 量子力学，张永德著，2002 年3 月第一版，科学出版社出版发行的普通高等教育“十五”规划教材 量子力学新进展（第一辑），曾谨言，裴寿镛主编，2000 年7 月第一版，北京大学出版
2、社 量子力学新进展（第二辑），曾谨言，裴寿镛，龙桂鲁主编，2000 年10 月第一版，北京大学出版社 量子力学新进展（第三辑），曾谨言，龙桂鲁，裴寿镛主编，2003 年10 月第一版，清华大学出版社,3,量子力学新进展（第四辑），龙桂鲁，裴寿镛，曾谨言主编，2007年3月第一版，清华大学出版社 量子力学朝花夕拾-教与学篇，王文正,柯善哲,刘全慧主编, 2004年10月第一科学出版社 Quantum Mechanics Non-Relativistic theory,L. D. Landau and E. M. Lifshitz, 1977 , Pergamon Press The Princi
3、ples of Quantum Mechanics， P. A. M. Dirac，1958，Oxford University Press Quantum MechanicsVol.,， A. Messiah，1973，Noth-Holland Publishing Company 量子力学习题精选与剖析（上册，下册），钱伯初，曾谨言著，1999年第二版，科学出版社 量子力学教程习题剖析，孙婷雅编，2004 年1 月第一版，科学出版社。,4,目 录,前言 第0章 经典物理学碰到的困难及量子学的形成 0.1 经典物理学碰到的困难及量子论的诞生 0.2 量子力学形成过程 第1章 波函数与薛定谔方
4、程 1.1 量子系统的状态由波函数来描述 Schrdinger方程 第2章 一维定态薛定谔方程的解 2.1一维无限深势阱 2.2有限深对称方势阱 2.3 一维谐振子 2.4 动量表象,5,第3章 量子系统的物理量用算符来表示 3.1 算符的一般运算法则 3.2算符的对易关系 3.3厄密算符的本征方程及物理量测量 第4章量子力学的矩阵形式及表象交换 4.1量子力学状态的表象理论 4.2量子力学中力学量的表象理论 4.3量子力学关系式在表象中的具体形式 4.4量子力学的Dirac抽象表示 第五章力学量随时间的演化与对称性 5.1力学量随时间的演化 5.2守恒量与对称性关系 5.3空间的均匀性（平移
5、不变性）与动量守恒,第3章 量子系统的物理量用算符来表示 3.1 算符的一般运算法则 3.2算符的对易关系 3.3厄密算符的本征方程及物理量测量 第4章量子力学的矩阵形式及表象交换 4.1量子力学状态的表象理论 4.2量子力学中力学量的表象理论 4.3量子力学关系式在表象中的具体形式 4.4量子力学的Dirac抽象表示 第五章力学量随时间的演化与对称性 5.1力学量随时间的演化 5.2守恒量与对称性关系 5.3空间的均匀性（平移不变性）与动量守恒,6, 5.4空间的各向同性（旋转不变性）与角动量守恒 5.5空间反射不变性与宇称守恒 5.6时间的均匀性与能量守恒 5.7全同粒子体系与波函数的交换
6、对称性 第6章 中心力场 6.1中心力场中粒子运动的一般性质 第7章 自旋 7.1 电子自旋 7.2 在磁场作用下的自旋粒子及简单的Zeeman效应 7.3 自旋轨道相互作用导致的物理现象 7.4 自旋单态与三重态 第8章 力学量本征值问题的代数法 8.1 谐振子的Hamiltonian量的另一种解法 第9章 定态微扰论 9.1 非简并定态微扰论 9.2简并情况下的定态微扰论,7,1、19世纪末，经典物理存在的局限性,前 言,到了19世纪末，已建立了三大物理理论：牛顿力学： 确定了宏观经典粒子的运动规律；麦克斯韦电动力学： 确定了电磁场和电磁波的运动规律；热力学和统计物理： 确定了热平衡态的物
7、性。,8,虽然三大经典理论在解释某些自然现象取得了巨大的成功，但它们存在局限性，譬如：,9,物理学出现了一些物理现象与经典理论解释相矛盾。如黑体辐射问题，光电效应，原子系统出现的线状光谱及原子的稳定性，固体与分子的比热问题等，这些物理现象都不能用经典物理理论给予圆满的解释。正是在这样的背景下，德国物理学家马克思.普朗克为了合理解释黑体辐射能谱，而在1900年12月14日提出了一个崭新的物理概念量子论。,2、量子论的提出,、背景,10,(2)、 量子力学与其它学科之间的关系：,11,(3)、量子力学的近代发展及其应用：,12,第0章 经典物理学碰到的困难及量子学的形成,0.1 经典物理学碰到的困
8、难及量子论的诞生,0.1.1黑体辐射问题普朗克(Planck)量子论的提出,一、黑体辐射问题,固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到激发而发射电磁波的现象称为热辐射。所辐射电磁波的特征仅与温度有关。,13,（一）维恩（Wien）公式 1896年维 恩从热力学原理普遍理论并加上些特殊的假设得出一个分布公式：,维恩公式在高频段与实验相吻合，而在低频段与实验有明显的偏差。,黑体辐射问题：黑体辐射处于平衡状态时的能量密度随频率（波长）的分布。,固体在温度升高时颜色的变化,14,（二）瑞利（J. W. Rayleigh）金斯（J. H. Jeans）公式瑞利和金
9、斯根据经典电动力学和统计物理学得出另外一个公式：,为Boltzman常数.,该公式在低频段部分与实验曲线相符合，而在高频段有明显偏离（当 成为发散的，即紫外发散困难）。,15,（三）普朗克（Planck）公式普朗克分别从瑞利公式和维恩公式求出其能量的涨落，并将二者 相加作为插值公式的能量涨落，从而得出插值公式，即普朗克公式：,其中 为Planck常数。该公式在全频段皆与实验曲线完全符合。,16,17,二普朗克量子论的提出,Planck量子论:对于一定频率的辐射，物体只能以 能量单位 不连续地发射或吸收辐射能量。 为Planck常数,能量单位 称为能量子。Planck于1900年12月14日在德
10、国物理学会上报告了这个理论的推导，以及根据辐射实验定出了Planck常数。这日被定为量子理论的诞生日。,德国物理学家普朗克(1858-1947） 因提出量子假说，荣获1918年诺贝尔物理学奖,18,（a）光电子产生的条件：照射光的频率必须大于一定值，即由金属材料确定的频率。 （b）每个光电子的能量：光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光的强度无关，光的强度只影 响光电子的数目。,光电效应无法由经典物理解释。因按照光的电磁理论光的能量只决定于光的强度，而与光的频率无关。,0.1.2 光电效应爱因斯坦（Einstein）光量子论,一、光电效应,指一束光照射到金属上，有电子从金属表面逸出的物理现象
11、,光电效应具备以下几个特点（勒纳1902年总结出）：,19,（1）光辐射场由光量子（光子）组成，每一个光子的能量与辐射场的频率关系为：（2）光子的动量与辐射场的波长有如下关系：,二、Einstein的光量子论及光的波粒二象性,Planck的能量子概念提出之初并不引人注目，对其量子论引起人们注意的是到1905年爱因斯坦用量子论合理解释光电效应，即光的量子论。光量子论的具体内容：,20,描述粒子的物理量E和P分别与描述波的物理量频率v(w)与波长（ ）由等式联系起来，由此看出，光既具有粒子性，又具有波动性，光量子论及光的波粒二象性由康普顿（Compton）散射实验证实。,按照光量子论，光照射到金属
12、板上时，能量为 的光子被电子吸收，电子将这部分能量一方面用来克服金属表面对它的吸引，另一部分为电子离开金属表面后的动能，即,三、Einstein用光量子论解释光电效应,阿尔伯特-爱因斯坦(1879-1955）因发现光电效应定律，荣获了1921年诺贝尔物理学奖,21,原子的正电荷及大部分质量都集中在很小的原子中心，形成原子核，而电子则围绕原子核旋转，该模型能很好地解释 粒子的大角度偏转问题，但不能解释原子的稳定性问题和原子的大小问题。,0.1.3 原子问题Bohr(玻尔)的原子理论,一、原子模型问题,1、汤姆逊（J. J. Thomson）的原子模型：,正电荷均匀分布在原子中，而电子则以某种规律
13、镶嵌其中。 局限在于无法解释原子散射实险中的大角度偏转现象。,2、卢瑟福（E. Rutherford）的有核原子模型：,卢瑟福于1911年用 粒子对原子的散射，提出了有核原子模型：,22,电子围绕原子核旋转的运动是加速运动，按照经典电动力学原理，电子不断辐射能量，而其轨道半径不断缩小，最后电子将会湮没在原子核中，原子就会“崩溃”。同时按照经典理论，原子将发射连续辐射谱。而与客观世界中的原了稳定地存在自然界，以及原子的线状光谱相矛盾。,二、原子的稳定性问题,三、原子的大上问题,按照经典理论来考虑卢瑟福模型，却找不到一个合理原子的特征长度。,23,1、电子在原子中不可能沿着经典理论所允许的所有轨道
14、运动，而只能在一些特殊的轨道上运动，这些分立的轨道与分立的能量（E1，E2，E3，）相对应，电子在这样的轨道上运动是处于稳定状态，即定态（Stationary state）。当电子处在这种状态时，它们不吸收也不发生辐射，只有当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，才会吸收能量或发生辐射。,四、玻尔（Bohr）原子理论,2、原子在两定态之间跃迁时，吸收或发射辐射的频率由下列关系式确定：,丹麦物理学家玻尔(1885-1962） 因在研究原子结构和原子辐射方面的贡献，荣获1922年诺贝尔物理学奖,24,q是电子的一个广义坐标，p是对应的广义动量。回路积分是沿运动轨道积分。,3、量子化条件,玻尔根据对应原
15、理（Correspondence Principle）求出氢原子的能级公式，并导出角动量量子化条件：,索莫非（Sommerfeld）将量子化条件推广：,25,（1）、该理论只能解释氢原子光谱的规律 性，而不能合理解释其余原子。（2）、不能系统解决谱线的强度。（3）、只能处理简单的周期运动而不能处理非束缚态问题。（4）、并没有从根本上解决能量不连续性的本质。,4、Bohr量子论的局限性：,26,014 德布罗意（de Brolie）物质波及波粒二象性德布罗意根据几何光学中的费马（Fermat）原理与动力学中的最小作用原理的相似之处，并在光具有波粒二象性的启发下，提出象电子这类实物粒子（静止质量m
16、0）也具有波的性质，即称为德布罗意物质波，该粒子的能量和动量与其波长和频率满足如下关系：,该公式被称为德布罗意公式,法国物理学家德布罗意 (1892-1987） 因发现电子的波动性，荣获1929年诺贝尔物理学奖,27,例1. 用德布罗意关系式可将平面波 表示成：例2.自由粒子的德布罗意波长。解：由 及德布罗意关系式 ， 可得 。 例3.如果是被U伏的电势差加速的电子的德布罗意波长解：由 及德布罗意关系式 可得：,28,为什么平时很少见到实物粒子波动性？由于h是一个很少的量，实物粒子的波长很短，在一般宏观条件下，物体的特征长度与其波长不匹配情况下，波动性不会表现出来。德布罗意假说（实物粒子具有波
17、动性）的正确性由戴维孙（Davi- sson）和 革末(Germer)的电子衍射实验所证实。,29,0.2量子力学形成过程,经过20多年的时间，在许多物理学家的共同努力下，量子力学这一门理论体系才最终形成。主要的贡献有：,30,31,第1章 波函数与薛定谔方程,量子系统的状态,波函数,量子系统的动力学演化,薛定谔方程,运 动 方 程,32,11 量子系统的状态由波函数来描述,1.1.1 对微观粒子波粒二象性的认识,一、错误看法 1：微观粒子的波动性被看成物质波包。,批 判 I：波包会扩散，即微观粒子要膨胀，这与实际相悖。(说明见教材P5）批 判 II：波包衍射后变成许多部分，即微观粒子被分割成
18、小块，这也与 实际 相悖（微观粒子的完整性） 错误根源：夸大微观粒子的波动性一面。,33,二、错误看法 2：微观粒子的波动性看成许多粒子组成的疏密波（纵波）,批 判：单个粒子同样具有波动性（单个粒子同样可形成衍射 和干涉图样） 错误根源：片面强调微观粒子的粒子性,34,微观粒子的波粒二象性是指：微观粒子具有质量、电荷、自旋等内禀属性，以及具有相干叠加性的干涉，衍射等波动性的矛盾统一体。这一点可以从Einstein光量子以及de Broglie的实物微粒的动量与波长，能量与频率的关系式可以看出来，而且已被实验所证实。,35,112 概率波及波函数。（probability wave and wa
19、ve function）,36,真正将微观粒子的粒子性和波动性和谐统一起来归功于Born对描述微观粒子状态波函数的统计解释。微观粒子的波动性中相干性（干涉及衍射）与经典波动（如声波，光波等）表现出来的相干现象并无差异。但微观粒子波动性中的相干性是一个一个粒子（或单个粒子）空间分布形成的。 在介绍波函数概念之前先看两个实验：,37,子弹流的双孔实验,38,子弹流的双孔实验,39,子弹流的双孔实验,40,声波的双缝干涉实验,吸音板,41,声波的双缝干涉实验,42,声波的双缝干涉实验,吸音板,43,为什么两种图存在如此大的区别?,物理意义,数学形式,声波的双缝干涉实验,子弹流的双孔实验,子弹流的双孔
20、实验,声波的双缝干涉实验,相干分布,无相干分布,几率相加,振幅相加,44,仅开上面的缝1时，吸收屏上所获得的波强度为：,仅开下面的缝2时，吸收屏上所获得的波强度为：,子弹流的双孔实验：,仅开上面的孔1时，靶上子弹的分布为：,仅开下面的孔2时，靶上子弹的分布为：,同时打开孔1和2时，靶上子弹分布为：,声波的双缝干涉实验：,45,同时打开缝1和2时，吸收屏上得到的强度分布为：,其中,为干涉项，正是干涉项的存在，才导致图1.2的干涉图样。,46,一、微观粒子的状态用波函数描述,譬如，自由粒子的波函数,微观系统和经典系统描述状态方式有何区别?,波函数指用来描述微观粒子波动性的函数，只要知道其系统的波函
21、数，其它性质便知道。,47,波函数在空间中某一点的模方与在该点粒子的分布几率成比例 。,玻恩，M.(Max Born 18821970)德国理论物理学家 : 因提出波函数的统计解释，于1954年获得诺贝尔奖,二、波函数的玻恩统计解释,48,在物理上有意义的是相对概率，而不是其绝对概率，故为了处理问题方便，将总的概率（几率）设为1。,三、波函数的归一化条件,按波函数的统计解释，由波函数 (x, y, z, t) 描述的微观粒子在dxdydz 体积微元中t 时刻的概率分布为,则,在量子力学中，描述微观系统束缚态的波函数满足归一化条件。,49,波函数的常数因子不确定性具体内容：,（c为常数）是描述系
22、统的同一状态。,四、波函数的常数因子不确定性,内积符号的引入：,内积符号表示的归一化条件：,50,即 描述状态时的相对几率与 描述状态时的相对几率相同，故 （c为常数）是描述系统的同一状态。,但在经典情况下，当乘上一个常数时，系统就变成另一种状态。 如当声波振幅加大一倍，而它的强度就变成4倍，即它的能量相应增加，些时就变成另一种状态。,例：用 描述微观粒子的状态，则 处相对于 处的相对几率为：,51,如果用来描述系统状态的波函数不满足归一化条件，如满足,现设,根据本节的五，是描述系统的同一状态，由于,即,五、怎样进行波函数的归一化,52,注意：归一化后，并不表明改变了系统的状态，只不过是对问题
23、的处理带来方便。,53,即使加上归一化条件，波函数仍然有一个模为1的相因子不确定性。设,六、波函数的相位因子不确定性,54,1、波函数的模方 为有限值,物理要求在任何有限体积元找到粒子的几率为有限值，推广为：波函数满足平方可积（模方的积分为有限值）。,2、波函数的模方 为单值,按照统计解释， 代表系统在t时刻 处出现的几率，而在空间某一点出现的几率在同一时刻不会有两种情况。,3、波函数及其梯度在其运动空间所有点是连续的,七、波函数满足的自然（标准）条件,55,对于N个粒子组成的体系，它的波函数表示为 其中 分别表示各粒子的坐标， 此时表示粒子1分别在体积微元 同时 粒子2分别在体积微元 同时
24、粒子N分别在体积微元 中的概率。 归一化条件,八、多个粒子系统的波函数,56,113 波函数的态叠加原理,一种描述：,另一种描述：,存在一种操作,当作用到处于 态的系统时，得到一个结果为a；而当系统处 态时，这种操作结果为b。如果系统处在 与 的叠加态时，这种操作结果既可能是a,又可能是b,出现a的几率为 ，而出现b的几率为 （已假定 和 已被归一化）。,态叠加原理的具体内容为：如果 和 是微观粒子可能的状态，则它们的叠加其中C1和C2为复常数，也为系统的一个可能的状态。,57,考虑电子双缝衍射,= C11 + C22 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是： |2 = |C11+ C2
25、2|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,相干项 正是由于相干项的出现，才产生了干射条纹。,一个电子有 1 和 2 两种可能的状态， 是这两种状态的叠加。,58,114 动量分布概率,现考查波包，它是许多单色平面波叠加而成，而每个单色平面波,对应确定动量 ，故对波包来说，存在动量的概率分布。此时，用描述波包的状态，则根据态叠加原理可表示成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即,59,(r)是以坐标 r 为自变量的波函数，坐标空间
26、波函数，坐标表象波函数； c(p) 是以动量 p 为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。,描述动量的概率分布， 描述动量分布的概率波幅（波函数）。它的具体形式有傅立叶逆变换可得到：,60,求证：若 (r)已被归一化，则 c(p)也满足归一化条件,61,62,63,115 不确定度关系(Uncertainty relation),一、举例（教材P11),二、不确定关系的准确表达式（后面章节严格证明）,不确定关系表明：微观粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，这是微粒的波粒二象性的反映。,三、不确定关系的定性理解,64,假设采用光确定微粒的位置，要想测量位置越精
27、确，即x越小，这就要求探测光的波长越短，根据德布罗意关系式p=h/可知，动量越大，也就是p越大。,不确定关系指出了经典物理与量子物理之间的界限，当h0时，量子力学回到了经典力学。,65,116 力学量的平均值与算符的引进,由统计物理可知： 当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。 在量子力学中，基于波函数的几率含义，可确定取值的几率。,一、力学量的平均值,66,（1）在坐标表象中：坐标平均值公式,设(x) 是归一化波函数，| (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，则,（2）
28、在动量表象中：动量平均值公式,67,二、用坐标表示波函数时的算符引进,1、坐标和动量的具体形式,68,体系状态用坐标表象中的波函数 (x) 描写时，坐标 x 的算符就是其自身，而动量的算符变成关于坐标的微分算符，即,一维情况,另外,69,三维情况,2、动能的具体形式,3、角动量的具体形式,70,角动量的分量形式：,4、哈密顿算符：,71,在经典力学中为哈密顿函数，而在量子力学中被称,哈密顿算符。它在系统某种状态的取值可确定系统的能量。,5、一般算符：,72,6、 用坐标表示波函数时任意力学量的平均值,一维情况：,若波函数未被归一化，则：,三维情况：,思考题：用动量表示波函数时的算符的表示及平均
29、值公式,73,作 业 题：,P8:练习题1练习题2 P14:思考题,74,12 Schrdinger方程,75,（1）方程是线性的。因该方程是描述系统状态随时间的演化规律，而 系统的状态满足态叠加原理（线性的表现）。 （2）这个方程的系数不应包含状态的参量：动量，能量等。,121自由粒子系统的Schrdinger方程,在此推导过程中遵循二个原则：,自由粒子的波函数为平面波：,76,波函数随时间的变化，故将 对时间求导：,但遵循原则（2），不能有E作为系数，但,77,再由于,即有,该式为自由粒子遵循的Schrdinger方程。,和,由前面的推导方式，有,所以,78,可知粒子能量E和动量P与下列算
30、符有对应关系,1.2.2 粒子在势场 中运动的Schrdinger方程,由于粒子在势场 中运动，其能量为,79,注意： 1、Schrdinger方程不是通过数学手段导出的，而是一种基本假设，只不过是借用自由粒子进行教学说明，它的正确性是通过大量的实验和理论间接证明的。 2、从Schrdinger方程可知，Hamiltonian量在量子力学中具有双重作用；它既是量子系统进行时间演化的动力学因素，又是确定系统能量的物理量。 3、 由于Schrdinger方程是时间的一阶导数，是坐标的二阶导数，故该方程不满足Lorentz不变性，故称为非相对论Schrdinger方程。,80,1.2.3 多粒子系统
31、的Schrdinger方程,设体系由 N 个粒子组成， 质量分别为 i (i = 1, 2,., N) 体系波函数记为 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为：,81,1.2.4 一般系统的Schrdinger方程,其中 为系统的哈密顿量。,自由粒子的哈密顿量：,譬如：,82,势场为U(r）粒子的哈密顿量：,多粒子系统的哈密顿量：,83,1.2.5 定域的概率守恒定律,前面讲了量子系统的状态随时间的变化规律，现在考虑在空间闭区域粒子几率随时间的变化规
32、律。,在空间闭区域 v 内粒子的几率为,则有,而由薛定谔方程,84,对薛定谔方程取复共轭，有,85,86,令,几率密度,几率流密度矢量,则有,闭区域上找到粒子的总几率在单位时间内的增量等于单位时间内通过的封闭表面 S 流入内的几率。,几率守恒定律,87,令趋于 ，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则上式右面积分趋于零，于是 有：,上式表明粒子在整个空间出现的几率不变。一般非相对论或低能的实物粒子都满足这个条件。,量子系统其它守恒定律：,88,质量守恒定律：,电荷守恒定律：,89,、定态 Schrdinger 方程,如果粒子所处的势场U不显含时间
33、，即,Schrdinger方程为：,用分立变量法进行求解：,1.2.6 定态Schrdinger方程和能量本征方程,90,由上面的方程可知：方程左边最多与时间t有关，而不与 有关，方程的右边最多与 有关，而不与t相关，而 与 t是两个独立的变量，故两边都应等于一常量E，即：,91,由此有,从而得到在 中运动的粒子的Schrdinger方程,的解,92,其中,满足：,该方程便是定态Schrdinger方程。,二、能量本征方程,由,在经典力学为Hamilton函数，在量子力学中,为量子力学中的哈密顿算符。将上式代入定态Schrdinger方程中，便 有,93,这就是,的本征方程或能量的本征方程。,
34、本征方程：指的是一个算符作用到一个波函数上等于一个数量乘以波函数（ ） ，只要是系统处在本征方程的本征波函数所描述的状态，此时系统的本征方程中的算符代表的力学量便有确定的值。所以，由,可知：只要系统处在描述的状态，系统便有确定的能量，此时的状态便是定态。,思考题：一个算符的两个本征波函数的叠加构成的波函数仍为该算符的本征波函数吗？,94,由于,，即,当然,同样满足,为系统的定态。,所以,思考题：定态指的是不随时间变化的状态吗？,95,三 定态的性质,定态：能量为唯一确定的状态。,定态的性质：,（1）粒子在空间几率密度与时间无关,96,（2）几率流密度与时间无关,（3）任何不显含t的力学量平均值
35、与t 无关,97,当满足下列两个等价条件中的任何一个时， 就是定态波函数： 1. 描述的状态其能量有确定的值； 2. |2 与 t无关。,98,四 非定态的性质,非定态：由若干能量不同对应的本征态叠加构成的状态。,例如：Schrdinger方程的通解,为一个非定态。式中叠加系数cE 由初态,确定,99,（2）几率流密度与时间无关,非定态的性质：,（1）粒子在空间几率密度随时间改变,100,（3）除守恒量外，不显含t的力学量在非定态中的平均值随t变化。,101,作 业 题：,P24:习题1.1P25:习题1.3P26:习题1.5,102,2.1一维不含时量子系统的一般性质,在不显含时间的势场 V
36、(r) 中运动粒子的Schrdinger方程,一维不含时量子系统：指系统的自由度为一维，而其势能部分（更一般指的Hamiltmian量）不显含时间的量子系统。,第2章 一维不含时量子系统,的特解（定态）为,2.1.1 一维不含时量子系统,103,其中,与E满足的,该方程既称谓能量本征方程，又可称谓不含时Schrdinger方程。,2.1.2 一维不含时量子系统本征方程的一般性质,性质1 设 (x)是方程,的一个解，对应的,也是该方程的解，且对应的能量仍为E。,能量本征值为E，则（x）,证明：取不含时Schrdinger方程的复共轭,104,由于力学量对应的算符（厄米算符）的本征值为实数，且势函
37、数也为实变量，故,即,与,满足相同的不含时Schrdinger方程，且对应的能量为E.,105,性质2 如果不含时量子系统的能级属于非简并，则相应的能量本征函数总可以（并不是一定）取为实数 。,能级非简并：对应一个能量取值E，只对应一个状态(x)，即能量不简并。,能级简并：对应一个能量取值E，对应的状态不只一个，即有多个描述不同状态的能量本征 函数1(x)， 2(x)， 3(x)， f(x), 则称能级简并度为f。,由性质1可知， (x)与 (x)都是能量本征方程的解，且对应的能量为E，如果该量子系统的能级是非简并的，则 (x)与 (x)描述同一个量子态 ： (x)=c (x)。则,106,（
38、为实常数),可以取 =0，则,(x)= (x),即，(x)为实数,107,性质3 对应于能量的某个本征值E，总可以找到方程,一组实解，凡是等于E的任何解，均可以表示为这一组实解的线性叠加。,证明：（i） 如果(x)= (x) ，当然满足上面的性质。,（ii）如果(x)是复解，按性质1， (x)也是对应相同能量本征值E的方程的一个解。按叠加原理,也是等于能量E的本征解。反解 出(x)和 (x) ，可得,还是对应能量E的本征解吗？,108,而,和,是实解 。,性质4 设V(x)具有空间反射不变性： V(x)= V(-x) 。如果(x)是对应能量E的一个本征解，则(-x)也是能量为E相对应的本征解。
39、,证明：,109,当 x-x, 并由于V(x)=V(-x), 则,即(-x)也是能量为E相对应的本征解,性质5 设V(x)具有空间反射不变性:V(x)= V(-x) ，且该系统本征方程的解 无简并，则该系统的解必有确定的宇称（Parity）。,证明： 按性质4，如果V(x)= V(-x) ，则(x) 和(-x)是对应同一能量为E的本征解 如果系统不存在简并，则 (x) 和(-x)代表同一个解，即,110,则,c2 =1,当c=1时，,(x) =(-x)，则称为偶宇称解,当c=-1时，,(x) =-(-x)，则称为奇宇称解,对于能级有简并的系统，能量本征态并不一定就具有确定宇称。,111,性质6
40、 设V(x)= V(-x) ，则对应于任何一个能量本征值E，总可以找到本征 方程的一组解，每一个解都具有确定宇称。而等于能量本征值E的任何 解，都可由它们来展开。,证明：按性质4：,(x) 本征解E,(-x) 本征解E,则它们的线性叠加（按叠加原理）同样是对应能量E的本征解：,还是对应能量E的本征解吗？,112,则反解出,由此得证。注意：量子系统的解具有确定的宇称是由势函数的空间反射不变性引起的。,性质7 对于一维运动的粒子，设1(x)和2(x)是对应能量值为E的本征解，则,113,证明：设1(x)和2(x)是对应能量值为E的本征解，则：,(A),(B),将1B-2A,得,则,114,性质8
41、V(x是规则场 ，如存在束缚态，则必定是非简并的束缚态。,束缚态：指波出数在无穷远处为0，或将粒子约束在一定区域内，此时粒子所处的状态,证明：设1(x)和2(x)是对应能量值为E的本征解，按性质7：,若 1(x)和2(x)是束缚态，即x , 1(x) 0, 2(x) 0。则,在不含1(x)和2(x)的节点区域中，可用上式除以1(x) 2(x) ，便得,115,积分可得,故，1(x)和2(x)代表同一个量子态。,116,2.2 一维无限深势阱,系统的定态薛定谔为,(1),(2),无限深势阱中粒子的Hamimonim是：,117,方程（1）可变为：,（3）,其中,（4）,（5）,由于在,，,，,所
42、以,（6）,由连续性条件：,（7）,118,（8）,由此得到：,即,（9）,将（9）式代入（4）式，可得到体系的能量：,而系统的波函数为,其中系数由归一化条件确定为,。,则有,（10）,119,故一维无限深势阱中运动粒子的Schrdinger方程的特解其中,120,讨论： 1、一维无限深势阱中运动粒子的状态为束缚态束缚态：把无限远处为0的波函数所描写的状态，主要是由于外 加势场将粒子约束到有限的空间，束缚态的特点是其对应能谱是分离的 2、粒子的最低能级（n=1） 与经典粒子不同3、能级分布是不均匀的，能级越高，密度越小当4、除端点外，基态波函数无节点，而第k个激发态(n=k+1)有k个节点,1
43、21,2.2 有限深对称方势阱,粒子在有限深对称方势阱中运动粒子的Hamilton量（1）其中 （2）为阱宽， 为势场大小，本节仅讨论束缚态情况：,122,(i) 在势阱外（ ，经典禁区）：（3）其中 （4）则有 （5）再令 （6）（5）式可化解为 （7）方程（7）的解为：,123,因考虑束缚态情况： ，故：（8） 其中A，B为待定常数 另外：当 则（8）式中的,124,(ii) 在势阱内部（ ，经典允许区）： （9）其中 （10） 则（9）式为： （11） 其中 方程（11）的解具有如下形式：（12） 因此处势函数满足反射不变性：V(x) = V(-x) 。 按2.1节性质6可知，（11）式
44、的解必是有确定的宇称。,125,（a）偶宇称态 势阱内部（ ）采用的波函数为（13） 根据波函数满足的连续性条件：可确定其解。但此处只考虑能量本征值问题，对波函数的归一化系数可以不管，于是就采用：（14）或 （15）,126,利用（15）式，可得： （16） 由此可得到：（17） 令 （18） 则有： （19）（20） （19）与（20）式中的 满足超越代数关，可用数值,127,（b）奇宇称态（21） 同样利用连续性条件（15）式，可得：（22） 再利用（18）、（20）式，可得：（23）（24）联立求出系数 ，以致确定系统得能量取值。,128,讨论： （1）由 图2.3 a可知：无论势场 取
45、多大值，至少存在一个具有偶宇称的奇态。 （2）由 图2.3 bb可知：仅当势场 满足即 时才有可能出现最低的奇宇称的奇态。,129,130,用谐振子可以描述自然界中的简谐振动：如弹簧的振动，晶格的振动等，这些都是在平衡位置附近作微小振动，许多复杂的振动都可以分解为许多简谐振动来讨论，故谐振子的研究有着重要的学术价值。 一维线性谐振子的Hamilton量为 ：（1）设体系的波函数（能量本征波函数）为 ，则不含时Schrdinger方程（能量本征方程）为：（2）,2.3一维谐振子,131,令 ，则上式变为：（3）上式为一个变系数的二阶微分方程，当在无限远处 时上式近似为：（4）其解为 为保证波函数的有限性，故仅采用 ，现设（3）式的解为：（5）,
