1、三角函数与三角恒等变换判断三角形的形状一、选择题（共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分）1 （5 分）已知 tanA+tanB+tanC0，则ABC 是（ ）A锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D任意三角形利用正切的和角公式变形形式 tanA+tanB=tan（A+B） （1 tanAtanB）化简整理解： tanA+tanB=tan（A+B ） （1tanAtanB）tanA+tanB+tanC=tan（A+B） （1tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC0，A， B，C 是ABC 的内角，故内角都是锐角故应选 A考查两角和的正切公式以及三角函数的符号，训练
2、运用公式熟练变形的能力2 （5 分）在ABC 中， = ，则 ABC 是（ ）A等腰三角形 B 直角三角形C 等腰或直角三角形 D等边三角形考点： 三角函数中的恒等变换应用720832 专题： 计算题分析： 利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得 sin2A=sin2B，进而推断出 A=B 或A+B=90，进而可推断出三角形的形状解答： 解：由正弦定理可得 = = = ，求得 sinAcosA=sinBcosB即 sin2A=sin2BA=B 或 2A+2B=180，A+B=90三角形为等腰或直角三角形故选 C点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断
3、解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决2010-2012 菁优网二、填空题（共 11 小题，每小题 4 分，满分 44 分）4 （4 分）在ABC 中，a 4+b4+c4a2b2b2c2a2c2=0，则 ABC 是 等边三角形 考点： 三角形中的几何计算720832 专题： 计算题分析： 利用配方法对 a4+b4+c4a2b2b2c2a2c2=0，化简整理得（a 2b2） 2+（a 2c2） 2+（b 2c2） 2=0，进而推断a2=b2，a 2=c2， b2=c2，判断三角形三边相等解答： 解： a4+b4+c4a2b2b2c2a2c2=0a4+b4
4、+c4=a2b2b2c2a2c22（a 4+b4+c4）=2（a 2b2b2c2a2c2）a4+b42a22b2+a4+c42a2c2+b4+c42b2c2=0（ a2b2） 2+（a 2c2） 2+（b 2c2） 2=0a2=b2， a2=c2，b 2=c2a=b=c故答案为等边三角形点评： 本题主要考查了解三角形问题解题的关键是利用配方法对题设进行化简整理5 （4 分）在ABC 中，cos （A B）cos（BC ）cos （C A）=1，则 ABC 是 等边三角形 考点： 两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用720832 专题： 计算题分析： 由三角函数的有界性知正弦与余弦的
5、取值范围都是1，1而此三式的乘积等于 1，只能是三式的值都为1，由此可解出结论解答： 解：由已知ABC 中，cos （A B）cos（BC ）cos （C A）=1，cos（A B）=cos（B C）=cos（C A）=1，AB=BC=CA=0A=B=C故ABC 是等边三角形，应填等边三角形点评： 本题考查三角函数的定义，有界性，解决本题易犯错误是不加判断直接化简，则难矣6 （4 分）在ABC 中，tanAtanB1，则 ABC 是 锐角三角形 考点： 两角和与差的余弦函数720832 专题： 计算题分析： 利用两角和的正切函数公式表示出 tan（A+B） ，根据 A 与 B 的范围以及 ta
6、nAtanB1，得到 tanA 和 tanB都大于 0，即可得到 A 与 B 都为锐角，然后判断出 tan（A+B）小于 0，得到 A+B 为钝角即 C 为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形解答： 解：因为 A 和 B 都为三角形中的内角，2010-2012 菁优网由 tanAtanB1，得到 1tanAtanB0，且得到 tanA0，tanB 0，即 A，B 为锐角，所以 tan（A+B）= 0，则 A+B（ ， ） ，即 C 都为锐角，所以ABC 是锐角三角形故答案为：锐角三角形点评： 此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题本题的关键是得到 tanA 和 tanB都
7、大于 0，进而得到 A 和 B 都为锐角7 （4 分）在ABC 中，sin 2A+sin2B=sin2C，则 ABC 是 直角三角形 考点： 正弦定理720832 专题： 转化思想分析： 利用正弦定理化角为边可得 a2+b2=c2，从而判定三角形的形状解答： 解： sinA= ，sinB= ，sinC= ， + = ，即 a2+b2=c2，ABC 是直角三角形，故答案为直角三角形点评： 本题考查了正弦定理的变形 sinA= ，sinB= ，sinC= ，比较简单，8 （4 分）在ABC 中，已知 ，则 ABC 的形状是 钝角三角形 考点： 两角和与差的正弦函数720832 专题： 计算题分析：
8、 对题设两边平方，求得 sin2A 的值根据 sin2A 小于零，求出 A 的范围得到答案解答： 解： （ sinA+cosA） 2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+sin2A=sin2A= 02A2，即 AABC 的形状是 钝角三角形故答案为：钝角三角形点评： 本题主要考查了二倍角公式的运用属基础题9 （4 分）在ABC 中，已知 cosBcosC= ，则ABC 的形状是 等腰三角形 考点： 三角形的形状判断720832 专题： 计算题2010-2012 菁优网分析： 利用积化和差公式和两角和公式对原式进行化简整理求得 cos（CB ）=0，进而判断出 C=B，三角形形状可知
9、解答： 解： cosBcosC= ，2cosBcosC=1cosA，cos（C B）+cos（C+B）=1cosAcos（C B）cosA=1 cosAcos（C B）=1CB=0C=B故三角形的形状为等腰三角形故答案为等腰三角形点评： 本题主要考查了三角形的形状判断解题的关键化简原式得到 cos（CB ）的值10 （4 分）在ABC 中，已知 a cosA=b cosB，则ABC 的形状是 ABC 为等腰或直角三角形 考点： 正弦定理的应用；两角和与差的余弦函数720832 专题： 计算题分析： 根据正弦定理把等式 acosA=bcosB 的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得 sin2
10、A=sin2B，进而推断 A=B，或 A+B=90答案可得解答： 解：根据正弦定理可知acosA=bcosB，sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2BA=B，或 2A+2B=180即 A+B=90，所以ABC 为等腰或直角三角形故答案为ABC 为等腰或直角三角形点评： 本题主要考查了正弦定理的应用，属基础题11 （4 分）在ABC 中，已知 sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2，则ABC 的形状是 等腰直角三角形 考点： 正弦定理的应用；余弦定理的应用720832 分析： 先通过合并同类项和辅角公式确定角 A、B 的值，从而确定三角形的形状
11、解答： 解： sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinA（sinB+cosB ）+cosA（sinB+cosB ）=（sinB+cosB） （sinA+cosA）= sin（A+ ） sin（B+ ）=2sin（A+ ）sin（B+ ）=2sin（A+ ）sin（B+ ）=1sin （A+ ）=1 ，sin （B+ ）=1A+ = B+ = A=B= C=2010-2012 菁优网ABC 是等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形点评： 本题主要考查通过确定角的值判断三角形的形状，属基础题12 （4 分）在ABC 中，已知 ，则ABC 的形状是 等边三角形
12、考点： 正弦定理；同角三角函数间的基本关系720832 专题： 计算题；转化思想分析： 根据正弦定理表示出 a，b 和 c，分别代入已知的 中，利用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值即可得到三角形的三个内角相等，得到三角形为等边三角形解答： 解：根据正弦定理得到： = = =2R，则 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入 中得： = = ，即 tanA=tanB=tanC，得到 A=B=C，所以ABC 的形状是等边三角形故答案为：等边三角形点评： 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题13
13、 （4 分）在ABC 中，已知 ，则 ABC 的形状是 直角三角形 考点： 三角函数恒等式的证明720832 分析： 利用三角恒等变换公式将公式变形，转化方向是变成简单的三角方程求角的值，通过角的值来确定ABC的形状解答： 证明：在ABC 中，sin（A+B）=2sin cos =2cos2 1=0cos（A+B ）=0A+B= ，即 C= ，ABC 是直角三角形故应填直角三角形点评： 考查利用三角恒等变换的公式进行灵活变形的能力，用来训练答题者掌握相关公式的熟练程度及选择变形方向的能力2010-2012 菁优网三、解答题（共 5 小题，满分 0 分）14在ABC 中，分别根据下列条件，判断三
14、角形的形状（1） （B 为锐角） ；（2）sinA=2cosCsinB；（3）A、B、C 成等差数列， a，b，c 成等比数列（4）acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC；（5） ；（6） （a 2+b2）sin（AB ）=（a 2b2）sin（A+B） 考点：三角形的形状判断720832 专题：计算题；综合题分析： （1）先由对数的运算性质化简，可得 ，从而可求 B，再利用正弦定理代入可求 A，C（2）利用正弦、余弦定理化简可得（3） ）A、B、 C 成等差数列，A+C=2B，从而可得 A+C= ，B= ，由 a、b、c 成等比数列可得 b2=ac，结合已知及
15、正弦定理可求（4）利用余弦定理可得由余弦定理可得=整理可得 ，从 而可得 a=b=c（5）先把已知整理可得，a 2+b2c2=ab，利用余弦定理可求 C，及 A+B，再由 代入可求（6） ）由（a 2+b2）sin（AB ） =（a 2b2）sin（A+B）可得 a2sin（AB ）sin（A+B） +b2sin（A B）+sin（A+B） =0整理可得 sin2A=sin2B，从而可得解答： 解：（1）lgalgc=lgsinB= lg B 为锐角， ，由正弦定理可得， ，2010-2012 菁优网整理可得 cosC=0ABC 为等腰直角三角形（2）sinA=2cosCsinB由正弦定理及余
16、弦定理可得，a=b化简可得，b=c所以ABC 为等腰三角形（3）A、B、 C 成等差数列，A+C=2B，从而可得 A+C= ，B=a、b、c 成等比数列 b2=ac由正弦定理可得 sinA ，整理可得 ，则 B=C= ，三角形ABC 为等边三角形（4）acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC由余弦定理可得=整理可得整理可得a=b=c三角形ABC 为等边三角形（5）由已知可得，a 3+b3c3=ac2+bc2c3（ a+b） （a 2ab+b2）=（a+b）c 2a2+b2c2=ab由余弦定理可得 ， ，2010-2012 菁优网sinA ，整理可得 ，则 B=C=
17、 ，三角形ABC 为等边三角形（6） （a 2+b2）sin（AB ）=（a 2b2）sin（A+B）可得 a2sin（A B）sin （A+B）+b 2sin（AB ）+sin（A+B）=0a2sinBcosA=b2sinAcosB由正弦定理 sin2AsinBcosA=sin2BsinAcosB整理可得 sin2A=sin2B，从而可得 2A=2B 或 2A+2B=三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形点评：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理综合解三角形，判断三角形的形状，还考查了三角函数的公式，属于对基本知识的求解，但要体会在化简中的技巧15在ABC 中，满足 试判断 ABC 的形状考
18、点： 三角函数中的恒等变换应用；弦切互化720832 专题： 计算题分析： 先对上式进行降幂化简解出有一角为直角，将这个结论代入下式，进行恒等变形可求一角为 45，进而可得答案解答： 解： sin2A+sin2B+sin2C=2 =2sin2C， （cos2A+cos2B）=cos 2C，cos（A+B）cos（AB）=cos 2CABC，cos（A+B）=cosCcos（AB）=cosC= cos （A+B）cos（AB）=cos （A+B）cos（AB）+cos （A+B ）=02cosAcosB=0cosA=0 或者 cosB=0，二者必有一为直角，不妨令 A 为直角则有 cot2B+c
19、ot2C=2， =22010-2012 菁优网 + =2 =4B+C=90sin2B+sin2C=14sin2Bsin2C=1（ 2sinBcosB） 2=1sin2B=12B=90，B=C=45故ABC 是等腰直角三角形点评： 考查用三角恒等变换公式进行变形证明的能力，要求有较强的观察总结能力及高超的组织材料的能力16在ABC 中，已知 ，试判断 ABC 的形状考点： 三角函数中的恒等变换应用720832 分析： 切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚 C 化为 A+B 用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角
20、余弦乘积为零，则两角中必有一个直角解答： 解：由已知得： ，sinAsinB+sinBsin（C B）=cosBcos（C B） ，移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，在 ABC 中，cosC= cos（A+B） ，sinAsinB=cos（A+B ） ，cosAcosB=0， cosA=0 或 cosB=0，ABC 是直角三角形点评： 和三角形有关的三角恒等变形，要求能用所有的公式特别是余弦的和差角公式 进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明17在锐角ABC 中，已知 ，求证：A、B、C 成等差数列考点： 余弦定理的应用；弦切互化720832 专题： 证明题分析
21、： 先根据正切函数的二倍角公式得到 B 与 的关系，再由两角和与差的正切公式化简 再将代入可得证解答：解： tanC=2tanB，所以 tanB=2010-2012 菁优网而 tan = = = =所以 tan =tanB因为 A，B，C 是锐角，所以 B， 是锐角，所以由 tan =tanB得知 B= ，即 A，B，C 成等差数列点评： 本题主要考查正切函数的二倍角公式和两角和与差公式的应用属基础题18在ABC 中，满足 （1）试判断ABC 的形状；（2）当 a=10，c=10 时，求 的值考点： 三角形的形状判断；同角三角函数基本关系的运用720832 专题： 计算题分析： （1）根据题设
22、，可推断当 a=b 和 ab 两种情况当 a=b 可推断ABC 为等腰三角形；当 ab 时通过正弦定理及题设，求得 cot 的值，进而求出 A+B 进而推断ABC 的形状（2）根据 a=c 排除ABC 为直角三角形的情况，根据（1）可知 a=b，进而推断ABC 为等边三角形，进而求出A 和 的值解答： 解：（1）当 a=b 时，ABC 为等腰三角形当 ab 时，根据正弦定理 = = =tancot =1，即 = ，A+B=ABC 为以 C 为直角的直角三角形ABC 为直角三角形或等腰三角形（2）a=c=10，排除ABC 为直角三角形，则 ABC 为等腰三角形，即 a=b，又 a=c=10，所以 a=c=bA=60故 =tan30=点评： 本题主要考查和差化积和同角三角函数的基本关系的应用属基础题
