1、1第四章 解析函数的级数表示法1. 复数列和复数列的极限（1）定义 4.1 设 为一复数列，其中 为一(1,2)na .nnaii确定的复数. 如果对任意的正数 ，存在正整数 N，使得当 时，有(4.1)na成立，则称 a 为复数列a n当 时的极限，记作.limn并称复数列a n收敛于 a.（2）与实数列极限的关系：定理 4.1 复数列a n收敛于 a 的充分必要条件是：.lim,linnli.n2. 复级数（1）定义 设 为一复数列，表达式(1,23) nnai(4.2)12nnaa 称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前 n 项部分和为12,1,nnS 称为该级数的部分和
2、数列.nS显然，若一般项 an的虚部 则级数 实质上是实级数，因此实0(,)n 1na级数可以看作是复级数的特例.定义 4.2 若级数 对应的部分和数列 收敛于常数 S，即1nnSlimn那么 称为收敛的级数.数 S 叫做该级数的和，记为1na21.naS若 不存在，则称 为发散的级数.limnS1na我们首先研究级数(4.2)的收敛性问题.（2）收敛的条件： 定理 4.2 复级数 收敛于 S 的充要条件是实级数 和 分别收敛于 和 ，1na 1n1n其中 i,(,2).nnS定理 4.3 复级数 收敛的必要条件是1nalim0.na3.绝对收敛与条件收敛（1）定义 4.3 对于复级数 ，若
3、收敛，则称级数 绝对收敛；若1n1n1na发散，而 收敛，则称级数 条件收敛.1na1na1na（2）定理 4.4 如果级数 绝对收敛，则 也收敛，且不等式1n1na成立.11nna（3）推论 4.1 设 . 则级数 绝对收敛的充要条件是级数i,12,nn 1na和 都绝对收敛.1n1n4. 幂级数的概念所谓幂级数，是指形如(4.3)01000()()()n nn nazazaz 的表达式.给定 z 的一个确定值 z1，则(4.3)为复数项级数3(4.4)1010100()()()n nn nazazaz 若(4.4)所表示的级数收敛，则称幂级数(4.3)在 z1 处收敛， z1 称为(4.3
4、)的一个收敛点，否则则称为发散点.若 D 为级数(4.3)所有收敛点的集合，则级数在 D 上的和确定一个函数 S(z):(4.5)0100()()(),nnSzaza 称 S(z)为(4.3)的和函数.5.收敛半径和收敛圆定理 4.5 如果幂级数 在 收敛，则对于满足 的 z，级数必绝0naz1(0)1对收敛；如果在 处级数发散，则对于 的 z，级数必发散 .2z 2根据定理 4.5，幂级数(4.6)的收敛情况必是下列情形之一：1除 z=0 外，级数处处发散；2对于所有 z 级数都收敛，由定理 4.5 知，级数在复平面内处处绝对收敛；3存在一个正实数 R,使级数在|z|R 中发散（如图 4.1
5、）.我们把该正实数 R 称为级数(4.6)的收敛半径，以原点为中心，半径为 R 的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数(4.3)来说，它的收敛圆是以 z0 为中心的圆盘 .值得注意的是，在收敛圆的圆周上级数是收敛还是发散，不能作出一般的结论，要对具体级数进行具体分析6. 收敛半径的求法定理 4.6 若 的系数满足0naz1lim,na则1当 时， ；01R2当 时， (处处收敛 )；3当 时，R=0(仅有一个收敛点 z=0).定理 4.7 若幂级数 的系数满足0nazlim,n则1当 时， ；01R图 4.142当 时， ；0R3当 时， .7. 幂级数的运算及性质性质 4.1 若幂级数 和 的收敛
6、半径分别为 R1 和 R2，则幂级数0naz0nb的收敛半径不小于 ，且在 内有：0()nnabz12mi(,)Rz000().nnnazbab性质 4.2 若幂级数 和 的收敛半径分别为 R1 和 R2，则幂级数0n0n20102100()()()niabzabzabz 的收敛半径不小于 ，且在 内有：12min,RR000().nnnniazbabz上述性质说明了由两个幂级数经过相加或相乘的运算后，所得到的幂级数的收敛半径只是大于或等于 R1 和 R2 中较小的一个.定理 4.8 设幂级数 的收敛半径为 R，那么00()nnaz1它的和函数 在收敛圆 内是解析函数.00()()nf 0z2
7、 的导数可通过对其幂级数逐项求导得到，即()fz.100()()nnfzaz3 在 内可以逐项积分，即()fz0R00()()ddnnCCfzaz其中 C 为 内的曲线（证明略） .0z58.泰勒(Taylor) 展开式定理 4.9 设 K 表示以 z0 为中心，半径为 r 的一个圆， 在 K 内解析，则 可以()fz()fz在 K 内展开成幂级数，即(4.8)()0(),!nnfzfzz并称它为 在 z0 的泰勒(Taylor)展开式，(4.8)式右端的级数称为 的泰勒级数.()f ()fz间接展开法：由于解析函数在一点的泰勒展开式是唯一的，借助于已知函数的展开式并利用幂级数的一些性质来求得
8、另一函数的泰勒展开式，这种方法称为间接法 (4.13)21,1.nzz (4.14),!enz z (4.15)2052cos(1)!(1),.!nn nzzz (4.16)203521sin(1)!(,.!)!nnzzzz 9.罗朗级数，收敛圆环，罗朗展开式定理 4.11 双边级数 的收敛100101()()(),nnnnnazazaz 域若存在必为圆环： ，且在其收敛圆环内的和函数是解析的，而且可以逐0rzR项求积分和逐项求导数.定理 4.12 设 在圆环 内解析，那么()f0z(4.20)00(),nnfzarzR其中(4.21)101()d,2,2nnCfizA6这里 C 为圆环 内任
9、何一条绕 的正向简单闭曲线（如图 4.5） ，且(4.20)式0rzR0z是唯一的.注：罗朗展开式只能用间接展开法10. 孤立奇点（1）定义 4.4 若 为函数 的一个奇点，且存在一个去心邻域 , 0z()fz 0z在其中处处解析，则 称为 的孤立奇点.()fz（2）孤立奇点的罗朗级数：设 为 的一个孤立点，因为在 中 解0z()f 0z()fz析，由上一节的定理 4.12 知 可展成 的罗朗级数，即f0z0001()()()nnnnfzaza（2）孤立奇点的分类：我们按展开式中的负幂项部分的状况把孤立奇点分为三类：级数中不出现负幂项，此时称点 为 的可去奇点；1 0z()f级数中只含有有限个负幂项，则点 称为 的极点；z级数中含有无穷多个负幂项，点 称为 的本性奇点.3 0z()f例 4.7 求函数 在下列圆环内的罗朗级数.1()(2)fzz(1) ; (2) ;01(3) ; (4) ; (5) .2z01z1z
