1、1抽象函数问题在高中课本中，所遇到的函数大多数是具体的（如已给出函数的解析式） ，对于抽象函数涉及较少，这类问题解答起来有一定的难度，下面就抽象函数的解题策略和常用方法，探讨如下：先看下面两个例题：例 1 已知函数 ， ，常数 ，且 .()fxR0a1()()fxfxa求证： 是周期函数，并且 是它的一个周期.()f 2例 2 已知函数 ， ，常数 ，且 .()fx0a1()()fxfxa求证： 是周期函数.()f分析：对于例 1，由周期函数定义知只需证 即可.(2)(fxafx1)()()1()2()(2) )ffxaffffxa fxxxf 是周期函数，且 是它的一个周期.()f2对于例
2、2 呢，回忆一下，你学过的哪个公式的结构与 类似呢？在1()()fxfxa三角中，有 .而 的周期为 ，tan1tan()4tan()41txfxxtn()4是 的 4 倍.那么，例 2 的周期是否是 呢？只需证 即可. (4)(fafx()11()1()()21() ()()()fxfxafffxa xffxf(4)(2) ()1(2)fxfxaffxafx是周期函数，且 是它的一个周期.()f42启示：对抽象函数问题如例 2，若难以下手，可构建一个符合条件的具体函数模型，以便有助于问题的解答.例 3 设函数 的定义域是 R，对任意的 都有 ，()fx,xyR()()fxyfy当 时， ，又
3、 .0x021（1） 讨论 的奇偶性，并加以证明.()fx（2） 求 在 上的最大值与最小值.6,分析：如何下手，构建一个满足条件的函数模型， ，又由当 时，(0)ykx0x，知 ，再由条件： 知 ，奇函数，图像如下：()0fxk(2)1f()2f显然， .maxmin()(6)3,()(6)3fffxf点评：由构建函数模型（并画图） ，一个较难的问题获得解题的思路，及相应的结论（合情猜想）解模：（1）将 代入 ，以 替换0xy()()fxyfy(0)fx中的 ，得 . 为 R 上的奇函数.y()(ff x（2）先证： 为 R 上的减函数（这点很重要） ，任取 且 ，由x12,12x3式得 ，
4、由已知“ 时， ”及 ，则由2121()()fxfxf0x()0fx210x式得： ，再由 为奇函数得： .21210()f21()ff为 R 上的减函数.因此 在 上的最大值应为 ，而()fx)fx6,(6)f 64()4()2f f f3(2)13f同理可得， 的最小值为 .x(6)3f点评：以上所用方法为赋值法（如令 ）与变量代换法（以 替换 ） 、变0xyxy形法（后面所用的方法）.抽象函数问题的解题策略与常用方法：.解题策略：力求构建一个满足条件的具体函数模型，以利于解答.三种常用解题方法：方法一：取特殊值的方法（赋值法）方法二：变量代换的方法（代换法）方法三：对抽象函数关系式作适当
5、的变形（变形法）.几类常见的抽象函数模型：（1） ()()fxyfy正比例函数（2） 或 幂函数()()ffx()xffy（3） ()()fxyfy指数函数（4） 对数()(),(0,)ffxy函数（5） 正()(1fxyfyf切函数例 4已知 的定义域为 ，对任意角的 都有 ，()fxN,xyN()()fxyfy4且 ，则 _.(1)2f()3(4)(201).129fff识模：构建函数模型：指数函数 又 ，知 ，于是()xfa()f2,()xaf(2)3(4)01.1(29)fff23401129.8例 5设函数 ，为奇函数， ，则(),fxR1(),(2)(2)ffxf（ ）()fA.0
6、 B.1 C. D.552解模：解法一、 (1)(12)(12)ffff.(2)ff(53(f f.选 C.12解法二、由已知中的三个条件构建函数模型 ，于是 .1()2fx5()2f点评：解法一不易想到，如 ，变形较难，方法二简捷.(1)f例 6已知函数 ， 满足 ， ，且当()fxR)()fxyfy (1f时，有 ，如果 ，试求 的取值范围.xyy()32x识模：由已知，有 ，如果把 2 写成 的形式，()()fxfx0()fx则 ，由条件“ 时，有 ”得， ，可求得20(3)fxy(fy3的范围.注意，在 中，要注意必须在定义域内.()3)()fxfx2009 个5解模：由于 21()2
7、(4)ff()3)()3)(fxfxf203()(4xff243x的取值范围为 (,点评：满足条件的模型为对数函数 .2logyx例 7已知函数 ，它满足：对任意的 都有 ，()0gx,yR()()gxygy且当 时， .0x1（1） 求 的值；()（2） 求证： ；()gxy（3） 判断 的单调性并证明.()x识模：满足条件的函数模型为指数函数， ，由条件“ 时， ”，()xga0x()1gx知 .故猜想： ， 为单调增函数.1a(0)1g()x6解模：（1）设 ，且令 ，则 ，0xy(0)()()(0gxgxg由条件“ ”得， .()g()1g（2） ，又)(xyxyg()0x()(xgy
8、（3）任取 ，且 由（2）得 ，再由条件“ 时，12,R12211()(0”得 .()gx21()xg又因为 2111()()(02xxgg又由于 ， ，即 .由 得0gx10121)(21()gx又 ， 是 R 上的单调增函数 .21()点评：由 不能直接得到 ，必须说明 .21()gx21()gx1()0gx例 8设 是定义在 R 上的偶函数，其图像关于直线 对称，对任意()fx 都有 ，且 .12,0,x1212)()fx(1)0fa（1） 求 及 ；(f4（2） 证明 是周期函数.)x识模：由 ， 及 ，可构建指数函1212()ffx12,0,(1)0fa数 ， ，由此猜想 ， （不算
9、正式解答）.再由()xfa12,0,()fa4f为偶函数及图像关于直线 对称，画示意图如下.（不妨设 ）f 1x 1a由此可获得一个重要信息：的周期为 2.（合情猜想）()fx7解模：（1）当 时，有12,0,x1212()()fxfx则， ，()()0ff,因为 2(2f111()()44fff又 ， ，0fa2fa4(f（2）依题意， 关于直线 对称，()yfx1()2),fxxR又由偶函数知， ，由上式得以 替换上式中的 ，得 .因此 是 R 上的周期函数，且xx()2),fx()fx2 是它的周期.例 9已知函数 对任意的 都有 且()fxR1()(2)fxf.(0),1fm8（1）
10、求 与 的值；(2)f4f（2） 求证 是周期函数并求出它的一个周期.x识模：此题难以构建函数模型，可用介绍的方法.解模：由已知： 1()(2)fxf1()()fxfx（1） 由得， ，()(0)ffm1142ff（2） 由得， ()1()11(2)fxfxfxf()(6)(4)2 (),()(4) 11fxfxf fxRfxfx 是周期函数，并且它的一个周期为 6.()f例 10已知函数 ， ，对任意的， ，都有()fxR,mnR，且 ，当 时， .1()(2fmnfn()0f12x()0fx（1） 求 ；)（2） 求和 ；(1)(3.(),)fffnN（3） 判断函数 的单调性，并予以证明
11、.x识模：若无常数可构建正比例函数，现有一个常数可构建函数 .()fxkb令 ，得 ，代入 得0,mn11(0)(0)()22fff9.再由 得， ， 数学模型为 ，12b()0f1()012fkk1()2fx，则数列 为公差为 1、首项为 的等差数列.()fnn2， 显然为单调增函数.2nS()fx解模：（1） ；111()()0222ff（2）当 时，n()(1nfnffn又 ， 构成以 为首项、公差为 1 的等差数列，()f()f.212(1)2.()nffn（3） 为 R 上的递增函数，证明如下：x任取 ，且 ，则12,12x22121()()(2ffxfxfx证： ，只需证：()fxf10设 ，则 ，02()()()22fxffx由已知“当 时， ”知， ，即1x)010,()2由于 ， ， ，即证明了 是 R 上2121(fx21()fxffx的单调递增函数.模型归纳模型：抽象函数问题给出函数 满足的函数关系式及某些条件，而没有给出()fx的解析式，求 的某些点的值，讨论 的奇偶性、周期性、单调性，或求()fx()fx()f的最大值与最小值，等等.10解题模型：小结：力求构建（函数模型） ，三种方法（赋值法、代换法、变形法）注意：1.有的抽象函数难以构建函数模型（如例 9）2.满足某个函数关系式的函数模型不一定是唯一的（不深究）
