1、一、函数依赖的逻辑蕴涵定义：设有关系模式 R(U)及其函数依赖集 F，如果对于 R 的任一个满足 F 的关系 r 函数依赖 XY 都成立，则称 F 逻辑蕴涵 X Y，或称 XY 可以由 F 推出。例：关系模式 R=(A,B,C),函数依赖集 F=AB,BC, F 逻辑蕴涵 AC。证：设 u,v为 r中任意两个元组：若 AC 不成立，则有 uA=vA,而 uCvC而且 AB, BC,知uA=vA, uB=vB, uC=vC,即若 uA=vA则 uC=vC，和假设矛盾。故 F逻辑蕴涵 AC。满足 F依赖集的所有元组都函数依赖 XY（XY 不属于 F集），则称 F逻辑蕴涵 XY（XY 由 F依赖集中
2、所有依赖关系推断而出）二、Armstrong 公理1、定理：若 U为关系模式 R的属性全集，F 为 U上的一组函数依赖，设X、Y、Z、W 均为 R的子集，对 R(U,F)有：F1(自反性)：若 XY(表 X包含 Y），则 XY 为 F所蕴涵；(F1:XX)F2(增广性): 若 XY 为 F所蕴涵，则 XZYZ 为 F所蕴涵；(F2:XZY)F3(传递性): 若 XY,YZ 为 F所蕴涵，则 XZ 为 F所蕴涵；F4(伪增性)：若 XY，WZ(表 W包含 Z）为 F所蕴涵，则 XWYZ 为F所蕴涵；F5(伪传性): 若 XY，YWZ 为 F所蕴涵, 则 XWZ 为 F所蕴涵；F6(合成性): 若
3、 XY,XZ 为 F所蕴涵，则 XYZ 为 F所蕴涵；F7(分解性): 若 XY,ZY (表 Z包含于 Y）为 F所蕴涵，则 XZ 为F所蕴涵。函数依赖推理规则 F1F7 都是正确的。2、Armstrong 公理：推理规则 F1、F2、F3 合称 Armstrong公理；F4 F7 可由 F1、F2、F3 推得，是 Armstrong公理的推论部分。三、函数依赖的闭包 定义：若 F为关系模式 R(U)的函数依赖集，我们把 F以及所有被 F逻辑蕴涵的函数依赖的集合称为 F的闭包，记为 F+。即：F+=XY|XYF “应用 Armstong公理从 F中导出的任何 XY” F 包含于 F+，如果 F
4、=F+，则 F为函数依赖的一个完备集。 规定：若 X为 U的子集，X 属于 F+。例：R=ABC,F=AB, BC, 求 F+解： F+ =A,AB,AC,ABC,B,C,AA,ABA,ACA,ABCA,BB,CC,AB,ABB,ACB,ABCB,BC,AC,ABC,ACC,ABCC,BBC,AAB,ABAB,ACAB,ABCAB,BC,AAC,ABAC,ACAC,ABCAC,BCB,ABC,ABBC,ACBC,ABCBC,BCC,AABC,ABABC,ACABC,ABCA,BCBC例：已知关系模式 R中U=A，B，C，D, E, G,F=ABC, CA, BCD, ACDB, DEG, BE
5、C, CGBD, CEAG,判断 BDAC 是否属于 F+解：由 DEG 知 DE，BDBE 又知 BEC，CA 所以 BEA, BEAC 由、知，BDAC，所以 BDAC 被 F所蕴涵，即 BDAC 属于F+例：已知关系模式 R中U=A，B，C，E, H, P, G,F=ACPE, PGA, BCE, AP, GAB, GCA, PABG, AEGB, ABCPH,证明 BGHE 属于 F+证：由 BCE 知 BC，BE, BGGC 又知 GCA，AP 所以 BGA, BGABCP 又 ABCPH，由、知 BGHE，所以 BGHE 被 F所蕴涵，即 BGHE 属于 F+四、属性集闭包 1、定
6、义：若 F为关系模式 R(U)的函数依赖集，X 是 U的子集，则由 Armstrong公理推导出的所有 XAi 所形成的属性集例：设 R=ABC,F=AB, BC当 X分别为 A,B,C是求 X+。解：当 X=A时，X+=ABC当 X=B时，X+=BC当 X=C时，X+=C* X代表的属性集可以决定的属性集（包括本身）2、定理：当且仅当 Y属于 X+时，XY 能根据 Armstron公理由 F导出。证：设 Y=A1,A2,An充分条件：当 Y属于 X+时,对于每个 i,XAi 可由公理导出。再用合并规则可得 XY。必要条件：若 XY 能够由公理导出,则根据分解规,XAi(i=1,2,n)成立，
7、所以 Y属于 X+。3、计算 X+(1)算法依据：若 F为关系模式 R(U)的函数依赖集,X,Z,W 是 U的子集,对于任意的 ZWF,若 XZ（表 X包含 Z）,则 XXW。(2)算法：a.令 X+ = X;b.在 F中依次查找每个没有被标记的函数依赖，若“左边属性集”包含于 X+ ，则令 X+ = X+“ 右边属性集 ”,为被访问过的函数依赖设置访问标记。c.反复执行 b直到 X+不改变为止。（先令 X+等于本身，然后在 F+中依次查找左边包含于 X+的属性，把其右边的对应属性并到 X中）(3)算法实现输入：关系模式 R的子集 X,R上的函数依赖集 F。输出：X 关于 F的闭包 X+算法伪
8、语言描述：Closure(X,F)olds=; news=X; G=F;while (olds!=news)olds=news;for (G中的每个函数依赖 WZ)if (news包含 W)news=newsZ;从 G中删除函数依赖 WZ;return news;例：已知关系模式 R中U=A，B，C，D, E, G,F=ABC, CA, BCD, ACDB, DEG, BEC, CGBD, CEAG,求(BD)+，判断 BDAC 是否属于 F+解：X+=BDEGCA结论：(BD)+=ABCDEG,BDAC 可由 F导出，即 BDAC 属于 F+例：已知关系模式 R中U=A，B，C，E, H,
9、P, G,F=ACPE, PGA, BCE, AP, GAB,GCA, PABG, AEGB, ABCPH,证明 BGHE 属于 F+证：因为,(BG)+ =ABCEHPG,所以 BGHE 可由 F导出，即 BGHE 属于 F+4、结论判定函数依赖 XY 是否能由 F导出的问题，可转化为求 X+并判定 Y是否是 X+子集的问题。即求闭包问题可转化为求属性集问题。判定给定函数依赖 XY 是否蕴涵于函数依赖集 F算法实现：输入：函数依赖集合 F,函数依赖 XY输出：若 XYF+输出真，否则输出假算法伪语言描述：number(F,XY) if (Y包含于 close(X,F)return 真elsereturn 假Ai|i=1,2,称为 X对于 F的闭包，记为 X+。
